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2022 年高考数学一轮复习讲练测（新高考·浙江）
第四章 三角函数与解三角形
专题 4.3 三角恒等变换（练）
【夯实基础】
1．（2021·北京高三其他模拟）已知 0, ，且 1cos2 3
，则sin （ ）
A． 3
3
B． 2
3 C． 1
3 D． 3
9
【答案】A
【解析】
由余弦的二倍角公式，先求出 2sin 的值，结合角 的范围可得答案.
【详解】
由 2 1cos2 1 2sin 3
，可得 2 1sin 3
又 0, ，则 3sin 3
故选：A
2．（2018·全国高考真题（文））（2018 年全国卷Ⅲ文）若
sin
，则
cos
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
cosα 䁞
故答案为 B.
3．（2021·高三月考（文））已知 2sin 2 1 sin 22
，则 tan 的所有取值之和
为（ ）
A．－5 B．－6 C．－3 D．2
【答案】D
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【解析】
利用诱导公式和二倍角公式化简已知式，得到 sin cos 或sin 3cos ，即得 tan 的可能取值，
求和即可.
【详解】
依题意得， 2cos2 1 sin 2 ，即 22 22 sin cos sin cos ，
即 22 sin cos sin cos sin cos ，
故sin cos 0 或 2 sin cos sin cos ，
所以 sin cos 或sin 3cos ，可得 tan 1 或 tan 3 ，
所以 tan 的所有取值之和为 2．
故选：D.
4．（2021·四川德阳市·高三二模（文））在平面直角坐标系中，已知点 2cos80 ,2sin80A ，
2cos20 ,2sin 20B ，那么 AB （ ）
A．2 B． 2 2 C． 2 3 D．4
【答案】A
【解析】
利用利用两点间的距离公式求得 AB .
【详解】
2 22cos20 2cos80 2sin 20 2sin80AB
4 4 8 cos20 cos80 sin 20 sin80
18 8cos 20 80 8 8 4 22
.
故选：A
5．（2022·河南高三月考（理））若 ,2
，且 2 3cos sin 2 10
，则 tan （ ）
A．-7 B． 1
3 C． 1
7
D．-7 或 1
3
【答案】A
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【解析】
利用二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，再解方程即可；
【详解】
解：因为 2 3cos sin 2 10
，
所以
2 2
2 2
cos sin 2 cos 2sin cos 3
1 sin cos 10
，
所以 2
1 2tan 3
tan 1 10
，
得 23tan 20tan 7 0 ，
则 tan 7 α 或 1tan 3
，
又 ,2
，
所以 tan 7 α .
故选：A
6．（2021·江苏淮安市·高三三模）设 2sin 46a ， 2 2cos 35 sin 35b ， 2
tan32
1 tan 32c
，则 a ，b ，
c 的大小关系为（ ）
A．b c a B． c a b
C． a b c D．b a c
【答案】D
【解析】
根据正弦函数的单调性，结合不等式性质，可得到 a 的范围；利用二倍角公式化简 b、c，结合函数单调性，
可得到 b、c 的大致范围；从而，可以比较 a、b、c 的大小.
【详解】
因为 sin 45 sin 46 sin 60 ，所以有 2 2 2sin 45 sin 46 sin 60 ，
即 2 2 22 3( ) sin 46 ( )2 2
，所以 1 3
2 4a ；
因为 2 2 2cos 35 sin 35 1 2sin 35 ，而sin 30 sin 35 sin 45 ，
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所以有 21 1sin 354 2
，所以 2 10 1 2sin 35 2
，即 10 2b ；
因为 2 2
tan32 1 2tan32 1 tan641 tan 32 2 1 tan 32 2
，而 tan 64 tan 60 3
所以 3
2c ；
显然，b a ，而 2 2 23 3 3( ) ( )2 4 4c ，所以 3
4c ，即 c a
所以 b a c
故选：D
7.（2019·北京高考模拟（文））如图，在平面直角坐标系 xOy 中，角 与角 均以Ox 为始边，终边分别
是射线 OA 和射线 OB．射线 OA，OC 与单位圆的交点分别为 3 4,5 5A
， ( 1,0)C .若
6BOC ，则
cos 的值是( )
A． 3 4 3
10
B． 3 4 3
10
C． 4-3 3
10
D． 4 3 3
10
【答案】C
【解析】
依题意，有： 3cos 5
， 4sin 5
= ， cos 3
2 ， 1sin 2
，
cos ＝ 3 3 1 4 4 3 3cos cos sin sin 2 5 2 5 10
.
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故答案为：C.
8．（2019·全国高考真题（文理））已知 a∈（0， π
2
），2sin2α=cos2α+1，则 sinα=（ ）
A． 1
5
B． 5
5
C． 3
3
D． 2 5
5
【答案】B
【解析】
2sin 2 cos2 1 ， 24sin cos 2cos . 0, , cos 02
．
sin 0, 2sin cos ，又 2 2sin cos 1 ， 2 2 15sin 1, sin 5
，又sin 0 ，
5sin 5
，故选 B．
9．（2021·全国高考真题）若 tan 2 ，则 sin 1 sin 2
sin cos
（ ）
A． 6
5
B． 2
5
C． 2
5 D． 6
5
【答案】C
【解析】
将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母( 2 21 sin cos )，进行齐次化处理，化
为正切的表达式，代入 tan 2 即可得到结果．
【详解】
将式子进行齐次化处理得：
2 2sin sin cos 2sin cossin 1 sin2 sin sin cossin cos sin cos
2
2 2 2
sin sin cos tan tan 4 2 2
sin cos 1 tan 1 4 5
．
故选：C．
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10.（2018 年全国卷 II 文）已知
tan
，则
tan
__________．
【答案】
.
【解析】
tan
tantan
tantan
tan
tan
，
解方程得
tan
.
【提升能力】
1. （2021·浙江高三其他模拟）“ 4 12
”是“ 2 1 1 33 cos sin 22 2
”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
运用二倍角和辅助角公式化简解不等式得解.
【详解】
因为 2 1 1 33 cos sin 22 2
，
2 1 3 1 3 1 33 cos sin 2 = cos2 sin 2 +2 2 2 2 2
得 1cos(2 )6 2
，所以
( )4 12k k k Z ，因此“ 4 12
”是“ 2 1 1 33 cos sin 22 2
”的充分不必要条
件，故选 A.
2．（2021·广东高三其他模拟）十七世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一
个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿，”
黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为
36o 的等腰三角形（另一种是顶角为108 的等腰三角形），如图所示的五角星由五个黄金三角形与一个正五
边形组成，在其中一个黄金 ABC 中， 5 1
2
BC
AC
，据这些信息，可得sin126 （ ）
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A． 5 1
4
B． 5 1
4
C． 5 3
8
D． 2 5 1
4
【答案】A
【解析】
计算出 cos72 ，利用二倍角的余弦公式可求得 cos144 ，然后利用诱导公式可求得sin126 的值.
【详解】
由题意可得 180 36 722ACB
，且
1
5 12cos 4
BC
ACB AC
，
所以，
2
2 5 1 5 1cos144 2cos 72 1 2 14 4
，
因此， 5 1sin126 sin 270 144 cos144 4
.
故选：A.
3．（2020·河北高三其他模拟（文））已知函数 22sin 2 3sin cosf x x x x ( 0 )的最小正周期
为 ，关于函数 f x 的性质，则下列命题不正确的是（ ）
A． 1
B．函数 f x 在 R 上的值域为 1,3
C．函数 f x 在 ,6 3
上单调递增
D．函数 f x 图象的对称轴方程为
3x k ( k Z )
【答案】D
【解析】
首先把函数的关系式进行恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的性质的应用求
出结果.
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【详解】
解：函数 22sin 2 3sin cosf x x x x
1 cos2 3 sin 2 2sin 2 16x x x
，
由于函数 f x 的最小正周期为 ，即 2
2
，所以 1 ，故 A 正确；
故 2sin 2 16f x x .
对于 B：由于 xR ，所以函数 f x 的最小值为 1 ，函数的最大值为 3，
故函数的值域为 1,3 ，故 B 正确；
对于 C：当 ,6 3x
时， 2 ,6 2 2
x ，故函数在该区间上单调递增，故 C 正确；
对于 D：当 2 6 2x k ， k Z 时，整理得
2 3
kx ( k Z )为函数的对称轴，故 D 错误.
故选：D.
4.（2021·安徽高三其他模拟（文））已知 ， 为锐角，tan 2 ， 2 5cos 5
，则 tan( 2 ) （ ）
A． 1
3 B． 1
3
C． 2
11 D． 8
11
【答案】C
【解析】
由已知求出 tan 2 ，再利用差的正切公式可求.
【详解】
因为 ， 为锐角，所以 2 5cos 5
.所以 5sin 5
， 1tan 2
，
又 2
2tan 1 4tan 2 11 tan 31 4
，
则
42tan tan 2 23tan( 2 ) 81 tan tan 2 111 3
.
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故选：C.
5．（2021·江苏南通市·高三其他模拟）设 0 2
，向量 3cos2 , cos2a
， 1,sinb ，若 a b ，
则 tan ___________.
【答案】 1
2
【解析】
利用二倍角公式求出 tan 2 的值，结合 0 2
以及二倍角的正切公式可求得 tan 的值.
【详解】
由已知可得 3 3cos2 sin cos sin 2 cos2 02 4a b ，所以， 4tan 2 3
，
0 2
，则 tan 0 ，可得 2
2tan 4tan 2 1 tan 3
，
所以， 22tan 3tan 2 0 ，解得 1tan 2
.
故答案为： 1
2 .
6．（2021·山东高三其他模拟）若 tan( ) 4 ，则 3cos 2 2
＝__________________．
【答案】﹣ 8
17
【解析】
先用诱导公式化简，再根据二倍角及 2 2sin cos 1a a 变形，再求值即可.
【详解】
解：因为 tan（π﹣α）＝﹣tanα＝4，
所以 tanα＝﹣4，
则 cos（2α＋ 3
2
）＝sin2α＝2sinαcosα＝ 2 2
2sin cos
sin cos
a a
a a
＝ 2
2tan
1 tan
a
a
＝﹣ 8
17
．
故答案为：﹣ 8
17
．
7．（2021·四川自贡市·高三三模（文））已知 2
32sin ( ) 1( 0)f x x ＝ ，若 f(x)在[ ,6 4
]上单调
递增，则ω的取值范围为__________________．
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【答案】 2(0, ]3
【解析】
先化简函数，再根据单调性建立不等式组解出参数的范围即可.
【详解】
解：∵ 2 2( ) 1 cos(2sin 32 )3f x x x ＝ ，
f(x)在[ ,6 4
]上单调递增，
所以 5 6,2 4 6 12 5
， 2 192 4 3 5
，
所以
60 5
22 ( ) 06 3
22 4 3
，解得 20 3
.
故答案为： 2(0, ]3
．
8．（2019·江苏高考真题）已知
tan 2
π 3tan 4
，则 πsin 2 4
的值是_____.
【答案】 2 .10
.
【解析】
由
tan 1 tantan tan 2
tan 1 tan 1 3tan 1 tan4
，
得 23tan 5tan 2 0 ，
解得 tan 2 ，或 1tan 3
.
sin 2 sin 2 cos cos2 sin4 4 4
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2 2
2 2
2 2 2sin cos cos sinsin 2 cos2 =2 2 sin cos
2
2
2 2tan 1 tan= 2 tan 1
，
当 tan 2 时，上式
2
2
2 2 2 1 2 2= =2 2 1 10
；
当 1tan 3
时，上式=
2
2
1 12 12 23 3 =2 101 13
.
综上， 2sin 2 .4 10
9．（2021·全国高三其他模拟（理））已知函数 2π π( ) sin 2 3sin 36 2 12
xf x x
在[0, ]m 上恰
有 10 个零点，则 m 的取值范围是________________．
【答案】 55π 61π,6 6
【解析】
先用降幂公式和辅助角公式化简 ( )f x ，再转化为图象与 x 轴交点个数问题.
【详解】
∵ 2π π π πsin 2 3sin 3 sin 3 1 cos 36 2 12 6 6
xf x x x x
π2sin 6x
，
∴ π( ) 0 2sin 06f x x
，
∵ ( )f x 在[0, ]m 上恰有 10 个零点，
∴ πsin 06x
在[0, ]m 上恰有 10 个解，
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∴ π9π 10π6m ，解得 55π 61π
6 6m ，
故答案为： 55π 61π,6 6
．
10．（2021·浙江高三其他模拟）已知函数 2sin 3sin cosf x x x x .
（1）求函数 y f x 的对称中心；
（2）若 13
2 24 10f
，求sin 2 .
【答案】（1）对称中心是 1 1,12 2 2k k Z
；（2） 7
25
.
【解析】
（1）化简可得 1sin 2 6 2f x x
，令 2 6x k 可求对称中心；
（2）由已知 4sin 4 5
，再二倍角公式可求.
【详解】
解：（1）由二倍角公式得 3 1 1sin 2 cos22 2 2f x x x ，
故 1sin 2 6 2f x x
，
令 2 6x k ， k Z ，解得 1
2 12x k ， k Z ，
所以函数 y f x 的对称中心是 1 1,12 2 2k k Z .
（2）由 13
2 24 10f
，可得 1 13sin 4 2 10
，
可得 4sin 4 5
，
故 2 7sin 2 cos 2 1 2sin2 4 25
.
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【拓展思维】
1．（2021·广东佛山市·高三其他模拟） sin 40 tan10 3 （ ）
A．2 B．－2 C．1 D．－1
【答案】D
【解析】
利用切化弦，三角恒等变换，逆用两角差的正弦公式，二倍角公式，诱导公式化简求值.
【详解】
sin 40 tan10 3
sin10=sin40 ( 3)cos10
sin10 3 cos10sin 40 cos10
1 32( sin10 cos10 )2 2sin 40 cos10
2(cos60 sin10 sin 60 cos10 )sin 40 cos10
2sin(10 60 )sin 40 cos10
2sin50sin 40 cos10
2sin
40 cos40
cos10
sin80
cos10
1
2.（2020·海南枫叶国际学校高一期中）若 3cos 2 2 sin( )4
， ( , )2
则sin 2 的值为( )
A． 4 2
9
B． 5 2
9
C． 7
9
D． 7
9
【答案】C
【解析】
因为 3cos 2 2 sin( )4
，
所以 3cos 2 2(sin cos cos sin ) 2(cos sin )4 4
，
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2 23(cos sin ) 2(cos sin ) ，
3(cos sin )(cos sin ) 2(cos sin ) ，
因为 ( , )2
，所以 cos sin 0 ，
所以3(cos sin ) 2 ，
所以 2cos sin 3
，
两边平方得， 21 2cos sin 9
所以 7sin2 9
，
故选：C
3．（2021·高三其他模拟）已知： 3sin sin 2 ，则 tan 的最大值是___________.
【答案】 2
4
【解析】
利用两角和的正弦公式展开求得 sin 2tan 3 cos2
, 设 tan k ,则sin 2 cos2 3k k , 得到
2 21 9k k ,求得 k 的取值范围，进而得到 tan 最大值.
【详解】
3sin sin 2 cos cos2 sin ，
∴ sin 2tan 3 cos2
,
设 tan k ,则sin 2 cos2 3k k ,
∴ 2 21 9k k ,
∴ 2
4k ,
即 tan 最大值为 2
4
.
15 / 21
故答案为： 2
4
.
4．（2021·上海复旦附中高三其他模拟）已知函数 3sin 2 4cos2f x x x .若存在 0x R ，对任意 xR ，
都有 0f x f x 成立.给出下列两个命题：
（1）对任意 xR ，不等式 0 2f x f x
≤ 都成立.
（2）存在 5
12
，使得 f x 在 0 0
5 ,12x x
上单调递减.
则其中真命题的序号是__________.（写出所有真命题的序号）
【答案】（1）（2）
【解析】
由辅助角公式可得 ( ) 5sin(2 )f x x ，由题意可得 0x 是 ( )f x 的最小值点， ( )f x 关于 0x x 对称，由三
角函数的性质逐个分析各个选项，即可求得结论．
【详解】
解：函数 ( ) 3sin 2 4cos2 5sin(2 )f x x x x ，其中 为锐角，且 3cos 5
，
由题意， 0x 是 ( )f x 的最小值点，所以 ( )f x 关于 0x x 对称，
因为 ( )f x 的最小正周期 2
2T ，所以 0( )2f x 为最大值，所以任意 xR ， 0( ) ( )2f x f x ，故（1）
正确；
因为函数 ( )f x 在 0 0,2x k x k k Z
上单调递减，
取
4
，则 0 0 0 0
5 , ,12 4 2x x x x Ü ，所以 ( )f x 即在 0 0
5 ,12 4x x
内单调递减，故（2）
正确；
故答案为：（1）（2）
5．（2021·全国高三其他模拟（文））已知角 0, 4
， ,2
，若 3sin 3 5
，
1cos 3 2
，则 cos ___________.
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【答案】 4 3 3
10
【解析】
根据 , 的范围确定 ,3 3
的范围，然后求出 cos 3
和sin 3
，将 cos 变形为
cos 3 3
，结合两角和的余弦公式即可求解.
【详解】
∵ 0, 4
， ,2
，
∴
3 3 12
， 2
3 3 6
，
又 3sin 3 5
， 1cos 03 2
，∴ 2
3 3 2
∴
2
2 3 4cos 1 sin 13 3 5 5
，
2
2 1 3sin 1 cos 13 3 2 2
，
∴ cos cos 3 3
cos cos sin sin3 3 3 3
4 1 3 3
5 2 5 2
4 3 3
10
.
故答案为： 4 3 3
10
.
6.（2019·河南高考模拟（文））平面直角坐标系 xOy 中，点 0 0,P x y 是单位圆在第一象限内的
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点， xOP ，若 11cos 3 13
，则 00 yx 为_____．
【答案】 15 3 1
26
【解析】
由题意知： 0, 2
， 5,3 3 6
，由 11cos 3 13
，得 4 3sin 3 13
，
0 sin sin sin cos cos sin3 3 3 3 3 3y
4 3 1 11 3 15 3
13 2 13 2 26
0 cos cos cos cos sin sin3 3 3 3 3 3x
11 1 4 3 3 1
13 2 13 2 26
0 0
15 3 1 15 3 1
26 26 26x y ，故答案为： 15 3 1
26
.
7.（2020·浙江吴兴�高三其他）已知 0 2
， 4sin 5
= ， 1tan( ) 3
，则 tan _______；
sin( )
2 cos( )4
__.
【答案】3 3
2
【解析】
因为 0 2
， 4sin 5
= ，所以 2 16 3cos 1 sin 1 25 5
，
所以 sin 4tan cos 3
，
因为 1tan( ) 3
18 / 21
所以 tan tan( )tan tan[ ( )] 1 tan tan( )
4 1 5( )3 3 3 34 1 51 ( )3 3 9
，
所以
sin( ) sin tan 3 3
cos sin 1 tan 1 3 22 cos( )4
，
故答案为：3； 3
2
.
8.（2021·湖南衡阳市八中高三其他模拟）已知 , 为锐角， 1 1tan ,tan6 3 12 2
，则
tan 2 （ ）
A． 9
13
- B． 13
9
- C．13
9 D． 9
13
【答案】A
【解析】
由正切的二倍角公式求得 tan 26
，再由 tan 2 tan 26 6a
可求.
【详解】
因为
2
2tan 1 412tan 2 tan 2 16 12 311 tan 412
，
所以 tan 2 tan 26 6a
1 4tan tan 2 96 6 3 3
1 4 1311 tan tan 2 3 36 6
.
9．（2021·聊城市·山东聊城一中高三其他模拟）在①
6x 是函数 ( )f x 图象的一条对称轴，②
12
是函数
( )f x 的一个零点，③函数 ( )f x 在 ,a b 上单调递增，且b a 的最大值为
2
，这三个条件中任选一个，补
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充在下面问题中，并解答．
已知函数 1( ) 2sin cos (0 2)6 2f x x x
，__________，求 ( )f x 在 ,2 2
上的单调递减
区间．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】选择见解析；单调递减区间为 ,2 6
， ,3 2
．
【解析】
利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得 ( ) sin(2 )6f x x ，
若选①，利用正弦函数的对称性可得
3 6 2k ，k Z ，得 3 2k ，k Z ，又 0 2 ，
可得 ，可求 ( ) sin(2 )6f x x ；
若选②，由题意可得 212 6 k ，可得 6 1k ， k Z ，又 0 2 ，可得 ，可求
( ) sin(2 )6f x x ；
若选③，可求 2
2T ，可得 1 ，可得 ( ) sin(2 )6f x x ，
利用正弦函数的单调性，结合
2 2x ，即可求解 ( )f x 在[ 2
， ]2
上的单调递减区间．
【详解】
解： 1 1( ) 2sin cos 2sin cos cos sin sin6 2 6 6 2f x x x x x x
2 13cos sin sin 2x x x
3 1sin 2 cos22 2x x
sin x
2 6
．
①若
6x 是函数 ( )f x 图象的一条对称轴，
20 / 21
则
3 6 2k ， k Z ，即 2
3 3k ， k Z ，
得 3 2k ， k Z ，
又 0 2 ，∴当 1k 时， 1 ， ( ) sin 2 6f x x
．
②若
12
是函数 ( )f x 的一个零点，
则 212 6 k ，即
6 6k ， k Z ，
得 6 1k ， k Z ．
又 0 2 ，∴当 0k 时， 1 ，所以， ( ) sin 2 6f x x
．
③若 ( )f x 在 ,a b 上单调递增，且b a 的最大值为
2
．
则 2
2T ，故 1 ，所以 ( ) sin 2 6f x x
．
由 32 2 22 6 2k x k ， k Z ，
得 5
3 6k x k ， k Z ，
令 0k ，得 5
3 6x ，令 1k ，得 2
3 6k ，
又
2 2x ，
所以 ( )f x 在 ,2 2
上的单调递减区间为 ,2 6
， ,3 2
．
10.（2021·沈阳市·辽宁实验中学高三二模）已知 0, πa ， 6sin cos 2
，且 cos sin ．
（1）求角 的大小；
（2） π ,6x m
，给出 m 的一个合适的数值使得函数 2sin i 22s ny x x
的值域为 1 , 3 12
．
【答案】（1） π
12
；（2） m 的值可取 π ．
【解析】
21 / 21
（1）根据 π 6sin cos 2 sin 4 2
，结合 0, πa ，可得 π π
4 3
或 2π
3
，再根据
cos sin 求解；
（2）由 π3sin 16y x
，根据值域为 1 , 3 12
，结合正弦函数的性质求解．
【详解】
（1）因为 π 6sin cos 2 sin 4 2
，
所以 π 3sin 4 2
，
又 0, πa ，所以 π π 5π,4 4 4
，
可得 π π
4 3
或 2π
3
，可得 π
12
或 5π
12
，
又 cos sin ，所以 π
12
．
（2） 2 π πsin 1 cos2 12sin 2 in 6sy x x xx
，
π πsin 1 cos cos sin sin6 6x x x ，
3 3 πsin cos 1 3sin 12 2 6x x x
，
当 π
6x 时， π 13sin 13 2y
，
当 πsin 16x
时， 3 1y ，
所以由题意可得 π π
6 2m ，可得 2π
3m ，
所以 2π ,3m
即可， m 的值可取 π ．
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