2022年新高考数学一轮复习3.4幂函数 （讲）Word解析版

1 / 14 专题 3.4 幂函数 新课程考试要求 1.了解幂函数的概念．掌握幂函数 2,y x y x  3 1,y x y x  ， 1 21 ,y y xx   的图象和性质. 2.了解幂函数的变化特征. 核心素养 培养学生数学抽象（例 1）、数学运算（例 5--10）、数学建模、逻辑推理（例 10）、直 观想象（例 2.3.4）等核心数学素养. 考向预测 1.与二次函数相关的单调性、最值问题.除单独考查外，多在题目中应用函数的图象和 性质； 2.幂函数的图象与性质的应用. 3.在分段函数中考查幂函数的图象和性质. 【知识清单】 1．幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，形如 y＝xα的函数称为幂函数，其中 x 是自变量，α为常数. (2)常见的 5 种幂函数的图象 (3)常见的 5 种幂函数的性质 函数特征 性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x 1 2 y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) {x|x∈R，且 x≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y∈R，且 y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 【考点分类剖析】 考点一 ：幂函数的概念 例 1.已知函数 f(x)＝(m2＋2m)·xm2＋m－1，m 为何值时，f(x)是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数； (4)幂函数. 【答案】(1) m＝1.(2) m＝－1.(3) －1± 13 2 .(4)－1± 2. 2 / 14 【解析】 (1)若 f(x)为正比例函数，则 m2＋m－1＝1 m2＋2m≠0 ，∴m＝1. (2)若 f(x)为反比例函数，则 m2＋m－1＝－1 m2＋2m≠0 ，∴m＝－1. (3)若 f(x)为二次函数，则 m2＋m－1＝2 m2＋2m≠0 ，∴m＝－1± 13 2 . (4)若 f(x)为幂函数，则 m2＋2m＝1，∴m＝－1± 2. 【总结提升】 形如 y＝xα的函数叫幂函数，这里需有：(1)系数为 1，(2)指数为一常数，(3)后面不加任何项．例如 y＝3x、y ＝xx＋1、y＝x2＋1 均不是幂函数，再者注意与指数函数的区别，例如：y＝x2 是幂函数，y＝2x 是指数函数． 【变式探究】 （2021·全国高一课时练习）设α∈ 11,1 32     ，， ，则使函数 y＝xα的定义域为 R 的所有α的值为（ ） A．1,3 B．－1,1 C．－1,3 D．－1,1,3 【答案】A 【解析】 利用幂函数的性质逐一验证选项即可． 【详解】 当 1   时，函数 y＝ 1x 的定义域为 | 0x x  ，不是 R，所以 1   不成立； 当 1 2   时，函数 y＝ 1 2x 的定义域为 | 0x x  ，不是 R，所以 1 2   不成立； 当 1  或 3  时，满足函数 y＝xα的定义域为 R， 故选：A. 考点二 ：幂函数的图象 例 2.（2020·四川省高一期末）若四个幂函数 ay x ， by x ， cy x ， dy x 在同一坐标系中的部分图象 如图，则 a 、b 、 c 、 d 的大小关系正确的是（ ） 3 / 14 A． 1a b  B． 1a b  C． 0 b c  D． 0 d c  【答案】B 【解析】 由幂函数的图象与性质，在第一象限内，在 1x  的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数依次增大，可 得 1 0 0a b c d      . 故选：B. 例 3.若幂函数 1, my x y x  与 ny x 在第一象限的图象如图所示，则 m 与 n 的取值情况为 （ ） A. 1 0 1m n     B. 1 0n m    C. 1 0m n    D. 1 0 1n m     【答案】D 【解析】在第一象限作出幂函数 1m ny x y x y x y   ， ， ， 的图象，在 01（ ，）内取同一值 0x ， 作直线 0x x ，与各图象有交点，则由“指大图高”，可知 如图， 0 1 1 0m n＜ ＜， ＜ ＜ ， 故选 D． 4 / 14 例 4.（2021·浙江高一期末）已知幂函数 ( )f x x 的图像过点 (2, 2)，则  ________， (16)f  _________． 【答案】 1 2 4 【解析】 将点的坐标代入解析式求解即可. 【详解】 由题意知， 2 2  ，所以可得 1 2   ，所以 1 2( )f x x ，可知 1 2(16) 16 =4f  . 故答案为： 1 2 ； 4 【总结提升】 1.函数 y＝xα的形式的图象都过点(1,1)．它们的单调性要牢记第一象限的图象特征：当α>0 时，第一象限 图象是上坡递增；当α＜0 时，第一象限图象是下坡递减．然后根据函数的奇偶性确定 y 轴左侧的增减性即 可． 2.幂函数 y＝xα的形式特点是“幂指数坐在 x 的肩膀上”，往往利用待定系数法，求幂指数，得到函数解析 式，进一步解题. 【变式探究】 1．（2020·广西壮族自治区高二月考（文））函数 4 3y x 的图像大致是（ ） A． B． 5 / 14 C． D． 【答案】A 【解析】 4 3 43y x x  ，该函数的定义域为 R ，所以排除 C； 因为函数为偶函数，所以排除 D； 又 4 13  ， 4 3y x  在第一象限内的图像与 2y x= 的图像类似，排除 B. 故选 A． 2．（2020·上海高一课时练习）如图是幂函数 ny x 的部分图像,已知 n 取 1 1,2, 2,2 2   这四个值,则于曲线 1 2 3 4, , ,C C C C 相对应的 n 依次为( ) A． 1 12, , , 22 2   B． 1 12, , ,22 2   C． 1 1, 2,2,2 2   D． 1 12, , 2,2 2   【答案】A 【解析】 方法一 曲线 1 2,C C 过点    0,0 1,1, ，且在第一象限单调递增， 0n  ，n 为 1 ,22 .显然 1C 对应 2y x= ， 2C 对应 1 2y x .曲线 3 4,C C 过点 1,1 ，且在第一象限单调递减， 0n  ， n 为 1 , 22   .显然 3C 对应 1 2y x   ， 4C 对应 2y x-= . 6 / 14 方法二 令 2x  ，分别代入 1 1 2 22 2 1 2 3 4, , ,y x y x y x y x      ，得 1 2 3 4 2 14, 2, ,2 4y y y y    ， 1 2 3 4y y y y    ， 所以曲线 1 2 3 4, , ,C C C C 相对应的 n 依次为 1 12, , , 22 2   . 故选： A . 3．（2020·上海高一课时练习）下列四个结论中，正确的是（ ） A．幂函数的图像过 (0,0) 和 (1,1) 两点 B．幂函数的图像不可能出现在第四象限 C．当 0n  时，  *ny x n N  是增函数 D． 0y x 的图像是一条直线 【答案】B 【解析】 幂函数的图像都过点 (1,1) ,但不一定过点 (0,0) ，如 1y x ，所以 A 错； 因为当 0x  时 0y x  ，所以幂函数的图像不可能出现在第四象限，即 B 对； 当 0n  时，  *ny x n N  不一是增函数，如 2y x= 在 ( ,0] 上单调递减，所以 C 错； 0y x 的图像是一条去掉一点 (0,1) 的直线，所以 D 错. 故选:B 考点三 ：幂函数的性质 例 5. （2021·北京高三其他模拟）已知定义在 R 上的幂函数   mf x x （ m 为实数）过点 (2,8)A ，记  0.5log 3a f ，  2log 5b f ，  c f m ，则 , ,a b c 的大小关系为（ ） A． a b c  B． a c b  C． c a b  D． c b a  【答案】A 【解析】 首先求出 3( )f x x ，得到函数的单调性，再利用对数函数的图象性质得到 2 0.5log 5 log 3m   ，即得解. 【详解】 由题得 3 38 2 , 2 2 , 3, ( )m m m f x x       . 函数 3( )f x x 是 R 上的增函数. 7 / 14 因为 0.5 0.5log 3 log 1 0  ， 2 20 log 5 log 8 3 m    ， 所以 2 0.5log 5 log 3m   ， 所以 2 0.5( ) (log 5) (log 3)f m f f  ， 所以 a b c  . 故选：A 例 6.（2021·贵州省思南中学高三一模（理））已知幂函数      12 *m mf x x m N    ，经过点  2, 2 ，试 确定 m 的值，并求满足条件    2 1f a f a   的实数 a 的取值范围. 【答案】 1m  ， a 的取值范围为 31, 2     【解析】 先根据幂函数的定义求出 m 的值，再根据幂函数的单调性得到不等式组，解得即可. 【详解】 ∵幂函数  f x 经过点 2 2， ， ∴ 2 1( )2 2 m m  ， 即 2 1 1 ( )22 2 m m  ∴ 2m m = 2 .解得 m =1或 m = 2 . 又∵ *m N ，∴ m =1. ∴   1 2f x x ，则函数的定义域为 0  ， ，并且在定义域上为增函数. 由    2 1f a f a   得 2 0 1 0 2 1 a a a a          解得 31 2a  . ∴ a 的取值范围为 31 2     ， . 例 7.（2021·全国高一课时练习）已知偶函数   2 4a af x x  在 0 ， 上是减函数，则整数 a 的值是________． 【答案】2 【解析】 8 / 14 由   2 4a af x x  在 0  ， 上是减函数，可得 0 4a  ，进而可得结果. 【详解】 因为   2 4a af x x  在 0  ， 上是减函数，所以 2 4 0a a  ， 解得 0 4a  ，又函数为偶函数，且 a Z ， 当 1a  时，   -3f x x 为奇函数 当 2a  时，   4f x x 为偶函数 当 3a  时，   3f x x 为奇函数； 所以 2a  故答案为：2 【方法技巧】 1.在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，既不同底又不 同次数的幂函数值比较大小：常找到一个中间值，通过比较幂函数值与中间值的大小进行判断．准确掌握 各个幂函数的图象和性质是解题的关键. 2.指数函数的图象在第一象限内底大图高(逆时针方向底数依次变大)．当幂的底数不确定时，要注意讨论 底数的不同取值情况. 【变式探究】 1. （2020·四川省高三二模（文））已知点（3，28）在函数 f（x）＝xn+1 的图象上，设 3 3a f       ，b＝f （lnπ）， 5 4c f       ，则 a，b，c 的大小关系为（ ） A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b 【答案】D 【解析】 根据题意，点（3，28）在函数 f（x）＝xn+1 的图象上，则有 28＝3n+1，解可得 n＝3； 则 f（x）＝x3+1，易得 f（x）在 R 上为增函数， 又由 5 3 5 4 3 3 4 12 12 3  ＜ ＜1＜lnπ，则有 c＜a＜b. 故选：D. 9 / 14 2．（2020·上海高一课时练习）已知幂函数 ay x 的图像满足，当 (0,1)x 时，在直线 y x 的上方；当 (1, )x  时，在直线 y x 的下方，则实数 a 的取值范围是_______________. 【答案】 1  【解析】 当 1a  时，幂函数 ay x 和直线 y x 第一象限的图像如下 由图可知，不满足题意 当 1a  时，幂函数 ay x x  和直线 y x 重合，不满足题意 当 0 1a  时，幂函数 ay x 和直线 y x 第一象限的图像如下 由图可知，满足题意 当 0a  时，幂函数 ay x 和直线 y x 第一象限的图像如下 10 / 14 由图可知，满足题意 当 0a  时，幂函数 ay x 和直线 y x 第一象限的图像如下 由图可知，满足题意 综上， 1  故答案为 1  3．（2020·内蒙古自治区高二月考（文）） 已知函数 2( ) ( 1) mf x m m x   是幂函数，且 ( )f x 在 (0, ) 上单调递增，则实数 m  ________. 【答案】2 【解析】 ∵幂函数 f（x）＝（m2﹣m﹣1）xm 在区间（0，+∞）上单调递增， 11 / 14 ∴ 2 1 1 0 m m m       ＞ ， 解得 m＝2 或-1（舍）． 故答案为 2． 考点四：幂函数综合问题 例 8.（2021·江西高三其他模拟（文））已知函数 1ay ax b    是幂函数，直线 2 0( 0, 0)mx ny m n     过点 ( , )a b ，则 1 1 n m   的取值范围是（ ） A． 1 1, ,33 3          B． (1,3) C． 1,33      D． 1 ,33      【答案】D 【解析】 由幂函数的性质求参数 a、b，根据点在直线上得 2m n  ，有 1 4 11 1 n m m     且 0 2m  ，进而可求 1 1 n m   的取值范围. 【详解】 由 1ay ax b    是幂函数，知： 1, 1a b   ，又 ( , )a b 在 2 0mx ny   上， ∴ 2m n  ，即 2 0n m   ，则 1 3 4 11 1 1 n m m m m       且 0 2m  ， ∴ 1 1( ,3)1 3 n m   . 故选：D. 例 9.（江苏省高考真题）在平面直角坐标系 xOy 中，设定点 A(a，a)，P 是函数 y＝ 1 x (x>0)图象上一动点．若 点 P，A 之间的最短距离为 2 2 ，则满足条件的实数 a 的所有值为________． 【答案】－1 或 10 【解析】 设点 1,P x x       0x  ，则 12 / 14   2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 12 2 2 2 2PA x a a x a x a x a x ax x x x x                                     令 1 , 0, 2t x x tx      令    22 2 22 2 2 2g t t at a t a a        （1）当 2a  时，t a 时 ( )g t 取得最小值   2 2g a a  ， 2 2 2 2a   ，解得 10a  （2）当 2a  时， ( )g t 在区间 2, 上单调递增，所以当 2t  时， ( )g t 取得最小值   22 2 4 2g a a   22 4 2 2 2a a    ，解得 1a   综上可知： 1a   或 10a  所以答案应填：-1 或 10 . 例 10.（2020·江西省高一月考）已知幂函数     2 3 1 2 2 23 3 p p f x p p x      满足    2 4f f ． （1）求函数  f x 的解析式； （2）若函数        2 , 1,9g x f x mf x x   ，是否存在实数 m 使得  g x 的最小值为 0？若存在，求出 m 的值；若不存在，说明理由； （3）若函数    3h x n f x   ，是否存在实数  ,a b a b ，使函数  h x 在 ,a b 上的值域为 ,a b ？若 存在，求出实数 n 的取值范围；若不存在，说明理由． 【答案】（1）   1 2f x x ；（2）存在 1m   使得  g x 的最小值为 0；（3） 9 , 24n       ． 【解析】 （1）∵  f x 为幂函数，∴ 2 3 3 1p p   ，∴ 1p  或 2p  ． 当 1p  时，   1f x x 在  0, 上单调递减， 故    2 4f f 不符合题意． 当 2p  时，   1 2f x x x  在  0, 上单调递增， 故    2 4f f ，符合题意．∴  f x x ． （ 2 ）  g x x m x  ， 13 / 14 令t x ．∵  1,9x ，∴  1,3t  ，∴   2g x t mt  ，  1,3t  ． 当 12 m  时， 1t  时，  g x 有最小值， ∴1 0m  ， 1m   ． ②当1 32 m   时， 2 mt   时，  g x 有最小值．∴ 2 04 m  ， 0m  （舍）． ③当 32 m  时， 3t  时，  g x 有最小值， ∴9 3 0m  ， 3m   （舍）．∴综上 1m   ． （3）   3h x n x   ， 易知  h x 在定义域上单调递减， ∴     h a b h b a    ，即 3 3 n a b h b a        ， 令 3a S  ， 3b t  ， 则 2 3a S  ， 2 3b t  ，∴ 2 2 3 3 n S t n t S         ，∴ 2 2t S S t   ， ∴  1 0t S t S    ． ∵ a b ， ∴ S t ，∴ 1 0t S   ，∴ 1t S  ， ∴ 3 3 1a b    ． ∵ a b ，∴ 113 4a    ，∴ 10, 2S     ， ∴ 2 3n t S   2 2S S   21 9 2 4S      ．∴ 9 , 24n       ． 【变式探究】 1．（2019·内蒙古自治区高三月考（理））若幂函数  y f x 的图象过点  8,2 2 ，则函数    21f x f x  的最大值为（ ） A． 1 2 B． 1 2  C． 3 4  D．-1 14 / 14 【答案】C 【解析】 设幂函数  y f x x  ，图象过点 8,2 2 ，故 3 18 =2 =2 2 = 2    故  f x x ，    21 1f x f x x x     ，令 1x t  ，则  21y t t   ， 0t  ， ∴ 1 2t  时， max 3 4y   . 故选：C 2.（2020·上海高一课时练习）若 2 2 3 3( 1) (3 2 )a a      ，求实数 a 的取值范围． 【答案】 2, (4, )3a        【解析】 由幂函数   2 3 3 2 1f x x x    的定义域为 ( ,0) (0, )  ， 且满足    32 23 1 1 ( ) f x f x x x      ，所以函数  f x 为偶函数， 又由幂函数的性质，可得函数  f x 在 ( ,0) 单调递增，在 (0, ) 单调递减， 又由 2 2 3 3( 1) (3 2 )a a      ，则满足 1 3 2 1 0 3 2 0 a a a a           ，解得 2 3 a 或 4a  ， 所以实数 a 的取值范围 2( , ) (4, )3    ．