2022年新高考数学一轮复习3.3函数的奇偶性与周期性（讲）解析版

1 / 18 专题 3.3 函数的奇偶性与周期性 新课程考试要求 1．理解函数的奇偶性，会判断函数的奇偶性，了解函数的周期性. 核心素养 培养学生数学抽象（例 5.6.14.15）、数学运算（例 3 等）、逻辑推理（例 2）、直观想象 （例 9.10）等核心数学素养. 考向预测 1.判断函数的奇偶性与周期性； 2.函数的奇偶性、周期性，通常与抽象函数、函数的图象以及函数的单调性结合考查， 常结合三角函数加以考查，有时与数列结合考查周期数列相关问题． 【知识清单】 1．函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f(－x)＝f(x)，那 么函数 f(x)是偶函数 关于 y 轴对称 奇函数 如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f(－x)＝－f(x)， 那么函数 f(x)是奇函数 关于原点对称 2．函数的周期性 (1)周期函数：对于函数 y＝f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的任何值时，都有 f(x＋T) ＝f(x)，那么就称函数 y＝f(x)为周期函数，称 T 为这个函数的周期. (2)最小正周期：如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 f(x)的最 小正周期. 【考点分类剖析】 考点一 ：函数奇偶性的判断 【典例1】【多选题】（2020·浙江杭州市·高一月考）已知函数 ( ), ( )f x g x 的定义域都是R，且 ( )f x 是奇函数， ( )g x 是偶函数，则（ ） A． ( ) | ( ) |f x g x 是奇函数 B．| ( ) | ( )f x g x 是奇函数 C． ( ) ( )f x g x 是偶函数 D．| ( ) ( ) |f x g x 是偶函数 【答案】AD 【解析】 由奇偶性的定义逐一证明即可. 2 / 18 【详解】 对于 A， ( ) ( ) | ( ) |F x f x g x  ， ( ) ( ) | ( ) | ( ) | ( ) | ( )F x f x g x f x g x F x         ，即 ( ) | ( ) |f x g x 是奇 函数，故 A 正确； 对于 B， ( ) | ( ) | ( )F x f x g x  ， ( ) | ( ) | ( ) | ( ) | ( ) ( )F x f x g x f x g x F x      ，即| ( ) | ( )f x g x 是偶函数， 故 B 错误； 对于 C， ( ) ( ) ( )F x f x g x  ， ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )F x f x g x f x g x F x         ，即 ( ) ( )f x g x 是奇函数， 故 C 错误； 对于 D， ( ) | ( ) ( ) |F x f x g x  ， ( ) | ( ) ( ) | ( ) ( ) | ( ) ( ) | ( )F x f x g x f x g x f x g x F x           ，即 | ( ) ( ) |f x g x 是偶函数，故 D 正确； 故选：AD 【典例 2】【多选题】（2021·浙江高一期末）下列函数中是偶函数，且在 (1, ) 为增函数的是（ ） A． ( ) | |f x x B． 2( ) 2 3f x x x   C． 2( ) 2 | | 1f x x x   D． 1, 0( ) 1, 0 x xf x x x       【答案】ACD 【解析】 根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案． 【详解】 解：根据题意，依次分析选项： 对于 A ， ( ) | |f x x ，偶函数，且在 (1, ) 为增函数，符合题意； 对于 B ， 2( ) 2 3f x x x   ，不是偶函数，不符合题意； 对于C ， 2( ) 2 | | 1f x x x   ，是偶函数，在 1( , )4  上为增函数，故在 (1, ) 为增函数，符合题意； 3 / 18 对于 D ， 1, 0( ) 1, 0 x xf x x x       ，是偶函数，且在 (1, ) 为增函数，符合题意； 故选： ACD ． 【知识拓展】 (1)奇、偶函数定义域的特点． 由于 f(x)和 f(－x)须同时有意义，所以奇、偶函数的定义域关于原点对称．这是函数具有奇偶性的必要不充 分条件，所以首先考虑定义域； (2)奇、偶函数的对应关系的特点． ①奇函数有 f(－x)＝－f(x) ⇔ f(－x)＋f(x)＝0 ⇔ f－x fx ＝－1(f(x)≠0)； ②偶函数有 f(－x)＝f(x) ⇔ f(－x)－f(x)＝0 ⇔ f－x fx ＝1(f(x)≠0)． (3)函数奇偶性的三个关注点． ①若奇函数在原点处有定义，则必有 f(0)＝0.有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数； ②既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即 f(x)＝0，x∈D，其中定义域 D 是关于原点对称的非空集 合； ③函数根据奇偶性可分为奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数． 4 / 18 (4)奇、偶函数图象对称性的应用． ①若一个函数的图象关于原点对称，则这个函数是奇函数； ②若一个函数的图象关于 y 轴对称，则这个函数是偶函数． 【变式探究】 1.（2019·天津耀华中学高三月考）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ） A． 1y x x   B． 21y x  C． 2 2x xy   D． xy x e  【答案】D 【解析】 易知 1y x x   和 2 2x xy   为奇函数， 21y x  为偶函数. 令    xf x e x x R   ，则    1 11 1, 1 1f e f e      ，即    1 1f f  且    1 1f f   . 所以 xy x e  为非奇非偶函数. 故选 D. 2.（2021·上海高三二模）设   1 1( { 2, 1, , ,1,2})3 2f x x     ，则“  y f x 图象经过点  1,1 ”是 “  y f x 是偶函数”的（ ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】C 【解析】 直接利用函数奇偶性的定义进行判定，结合充分条件，必要条件的定义即可判断. 【详解】 若函数  y f x 图象经过点  1,1 时， 则 1 1, 2    或  2, y f x    为偶函数． 若  y f x 为偶函数， ① 11,1, 3    时为奇函数， 5 / 18 ② 1 2   时为非奇非偶函数， ③ 2, 2   时为偶函数， ∴若  y f x 为偶函数时， 2, 2   ∴函数  y f x 图象经过点  1,1 是  y f x 为偶函数的充要条件． 故选：C． 考点二：函数奇偶性的应用 【典例 3】（2019·全国高考真题（文））设 f(x)为奇函数，且当 x≥0 时，f(x)= 1xe  ， 则当 x