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专题 3.4 幂函数
新课程考试要求
1.了解幂函数的概念．掌握幂函数 2,y x y x
3 1,y x y x ，
1
21 ,y y xx
的图象和性质.
2.了解幂函数的变化特征.
核心素养
培养学生数学抽象（例 1）、数学运算（例 5--10）、数学建模、逻辑推理（例 10）、直
观想象（例 2.3.4）等核心数学素养.
考向预测
1.与二次函数相关的单调性、最值问题.除单独考查外，多在题目中应用函数的图象和
性质；
2.幂函数的图象与性质的应用.
3.在分段函数中考查幂函数的图象和性质.
【知识清单】
1．幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，形如 y＝xα的函数称为幂函数，其中 x 是自变量，α为常数.
(2)常见的 5 种幂函数的图象
(3)常见的 5 种幂函数的性质
函数特征
性质
y＝x y＝x2 y＝x3
y＝x
1
2 y＝x－1
定义域 R R R [0，＋∞) {x|x∈R，且 x≠0}
值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y∈R，且 y≠0}
奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇
【考点分类剖析】
考点一 ：幂函数的概念
例 1.已知函数 f(x)＝(m2＋2m)·xm2＋m－1，m 为何值时，f(x)是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；
(4)幂函数.
【答案】(1) m＝1.(2) m＝－1.(3) －1± 13
2
.(4)－1± 2.
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【解析】 (1)若 f(x)为正比例函数，则 m2＋m－1＝1
m2＋2m≠0
，∴m＝1.
(2)若 f(x)为反比例函数，则 m2＋m－1＝－1
m2＋2m≠0
，∴m＝－1.
(3)若 f(x)为二次函数，则 m2＋m－1＝2
m2＋2m≠0
，∴m＝－1± 13
2 .
(4)若 f(x)为幂函数，则 m2＋2m＝1，∴m＝－1± 2.
【总结提升】
形如 y＝xα的函数叫幂函数，这里需有：(1)系数为 1，(2)指数为一常数，(3)后面不加任何项．例如 y＝3x、y
＝xx＋1、y＝x2＋1 均不是幂函数，再者注意与指数函数的区别，例如：y＝x2 是幂函数，y＝2x 是指数函数．
【变式探究】
（2021·全国高一课时练习）设α∈ 11,1 32
，， ，则使函数 y＝xα的定义域为 R 的所有α的值为（ ）
A．1,3 B．－1,1 C．－1,3 D．－1,1,3
【答案】A
【解析】
利用幂函数的性质逐一验证选项即可．
【详解】
当 1 时，函数 y＝ 1x 的定义域为 | 0x x ，不是 R，所以 1 不成立；
当 1
2
时，函数 y＝ 1
2x 的定义域为 | 0x x ，不是 R，所以 1
2
不成立；
当 1 或 3 时，满足函数 y＝xα的定义域为 R，
故选：A.
考点二 ：幂函数的图象
例 2.（2020·四川省高一期末）若四个幂函数 ay x ， by x ， cy x ， dy x 在同一坐标系中的部分图象
如图，则 a 、b 、 c 、 d 的大小关系正确的是（ ）
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A． 1a b B． 1a b
C． 0 b c D． 0 d c
【答案】B
【解析】
由幂函数的图象与性质，在第一象限内，在 1x 的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数依次增大，可
得 1 0 0a b c d .
故选：B.
例 3.若幂函数 1, my x y x 与 ny x 在第一象限的图象如图所示，则 m 与 n 的取值情况为 （ ）
A. 1 0 1m n B. 1 0n m C. 1 0m n D. 1 0 1n m
【答案】D
【解析】在第一象限作出幂函数 1m ny x y x y x y ， ， ， 的图象，在 01（ ，）内取同一值 0x ，
作直线 0x x ，与各图象有交点，则由“指大图高”，可知
如图， 0 1 1 0m n＜ ＜， ＜ ＜ ，
故选 D．
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例 4.（2021·浙江高一期末）已知幂函数 ( )f x x 的图像过点 (2, 2)，则 ________， (16)f _________．
【答案】 1
2 4
【解析】
将点的坐标代入解析式求解即可.
【详解】
由题意知， 2 2 ，所以可得 1
2
，所以 1
2( )f x x ，可知 1
2(16) 16 =4f .
故答案为： 1
2
； 4
【总结提升】
1.函数 y＝xα的形式的图象都过点(1,1)．它们的单调性要牢记第一象限的图象特征：当α>0 时，第一象限
图象是上坡递增；当α＜0 时，第一象限图象是下坡递减．然后根据函数的奇偶性确定 y 轴左侧的增减性即
可．
2.幂函数 y＝xα的形式特点是“幂指数坐在 x 的肩膀上”，往往利用待定系数法，求幂指数，得到函数解析
式，进一步解题.
【变式探究】
1．（2020·广西壮族自治区高二月考（文））函数 4
3y x 的图像大致是（ ）
A． B．
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C． D．
【答案】A
【解析】
4
3 43y x x ，该函数的定义域为 R ，所以排除 C；
因为函数为偶函数，所以排除 D；
又 4 13
， 4
3y x 在第一象限内的图像与 2y x= 的图像类似，排除 B.
故选 A．
2．（2020·上海高一课时练习）如图是幂函数 ny x 的部分图像,已知 n 取 1 1,2, 2,2 2
这四个值,则于曲线
1 2 3 4, , ,C C C C 相对应的 n 依次为( )
A． 1 12, , , 22 2
B． 1 12, , ,22 2
C． 1 1, 2,2,2 2
D． 1 12, , 2,2 2
【答案】A
【解析】
方法一 曲线 1 2,C C 过点 0,0 1,1, ，且在第一象限单调递增， 0n ，n 为 1 ,22 .显然 1C 对应 2y x= ， 2C
对应 1
2y x .曲线 3 4,C C 过点 1,1 ，且在第一象限单调递减， 0n ， n 为 1 , 22
.显然 3C 对应 1
2y x
，
4C 对应 2y x-= .
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方法二 令 2x ，分别代入 1 1
2 22 2
1 2 3 4, , ,y x y x y x y x
，得 1 2 3 4
2 14, 2, ,2 4y y y y ，
1 2 3 4y y y y ，
所以曲线 1 2 3 4, , ,C C C C 相对应的 n 依次为 1 12, , , 22 2
.
故选： A .
3．（2020·上海高一课时练习）下列四个结论中，正确的是（ ）
A．幂函数的图像过 (0,0) 和 (1,1) 两点 B．幂函数的图像不可能出现在第四象限
C．当 0n 时， *ny x n N 是增函数 D． 0y x 的图像是一条直线
【答案】B
【解析】
幂函数的图像都过点 (1,1) ,但不一定过点 (0,0) ，如 1y x ，所以 A 错；
因为当 0x 时 0y x ，所以幂函数的图像不可能出现在第四象限，即 B 对；
当 0n 时， *ny x n N 不一是增函数，如 2y x= 在 ( ,0] 上单调递减，所以 C 错；
0y x 的图像是一条去掉一点 (0,1) 的直线，所以 D 错.
故选:B
考点三 ：幂函数的性质
例 5. （2021·北京高三其他模拟）已知定义在 R 上的幂函数 mf x x （ m 为实数）过点 (2,8)A ，记
0.5log 3a f ， 2log 5b f ， c f m ，则 , ,a b c 的大小关系为（ ）
A． a b c B． a c b C． c a b D． c b a
【答案】A
【解析】
首先求出 3( )f x x ，得到函数的单调性，再利用对数函数的图象性质得到 2 0.5log 5 log 3m ，即得解.
【详解】
由题得 3 38 2 , 2 2 , 3, ( )m m m f x x .
函数 3( )f x x 是 R 上的增函数.
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因为 0.5 0.5log 3 log 1 0 ， 2 20 log 5 log 8 3 m ，
所以 2 0.5log 5 log 3m ，
所以 2 0.5( ) (log 5) (log 3)f m f f ，
所以 a b c .
故选：A
例 6.（2021·贵州省思南中学高三一模（理））已知幂函数 12
*m mf x x m N
，经过点 2, 2 ，试
确定 m 的值，并求满足条件 2 1f a f a 的实数 a 的取值范围.
【答案】 1m ， a 的取值范围为 31, 2
【解析】
先根据幂函数的定义求出 m 的值，再根据幂函数的单调性得到不等式组，解得即可.
【详解】
∵幂函数 f x 经过点 2 2， ，
∴ 2 1( )2 2 m m ，
即 2 1
1
( )22 2 m m
∴ 2m m = 2 .解得 m =1或 m = 2 .
又∵ *m N ，∴ m =1.
∴
1
2f x x ，则函数的定义域为 0 ， ，并且在定义域上为增函数.
由 2 1f a f a 得
2 0
1 0
2 1
a
a
a a
解得 31 2a .
∴ a 的取值范围为 31 2
， .
例 7.（2021·全国高一课时练习）已知偶函数 2 4a af x x 在 0 ， 上是减函数，则整数 a 的值是________．
【答案】2
【解析】
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由 2 4a af x x 在 0 ， 上是减函数，可得 0 4a ，进而可得结果.
【详解】
因为 2 4a af x x 在 0 ， 上是减函数，所以 2 4 0a a ，
解得 0 4a ，又函数为偶函数，且 a Z ，
当 1a 时， -3f x x 为奇函数
当 2a 时， 4f x x 为偶函数
当 3a 时， 3f x x 为奇函数；
所以 2a
故答案为：2
【方法技巧】
1.在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，既不同底又不
同次数的幂函数值比较大小：常找到一个中间值，通过比较幂函数值与中间值的大小进行判断．准确掌握
各个幂函数的图象和性质是解题的关键.
2.指数函数的图象在第一象限内底大图高(逆时针方向底数依次变大)．当幂的底数不确定时，要注意讨论
底数的不同取值情况.
【变式探究】
1. （2020·四川省高三二模（文））已知点（3，28）在函数 f（x）＝xn+1 的图象上，设 3
3a f
，b＝f
（lnπ）， 5
4c f
，则 a，b，c 的大小关系为（ ）
A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b
【答案】D
【解析】
根据题意，点（3，28）在函数 f（x）＝xn+1 的图象上，则有 28＝3n+1，解可得 n＝3；
则 f（x）＝x3+1，易得 f（x）在 R 上为增函数，
又由 5 3 5 4 3 3
4 12 12 3
＜ ＜1＜lnπ，则有 c＜a＜b.
故选：D.
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2．（2020·上海高一课时练习）已知幂函数 ay x 的图像满足，当 (0,1)x 时，在直线 y x 的上方；当
(1, )x 时，在直线 y x 的下方，则实数 a 的取值范围是_______________.
【答案】 1
【解析】
当 1a 时，幂函数 ay x 和直线 y x 第一象限的图像如下
由图可知，不满足题意
当 1a 时，幂函数 ay x x 和直线 y x 重合，不满足题意
当 0 1a 时，幂函数 ay x 和直线 y x 第一象限的图像如下
由图可知，满足题意
当 0a 时，幂函数 ay x 和直线 y x 第一象限的图像如下
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由图可知，满足题意
当 0a 时，幂函数 ay x 和直线 y x 第一象限的图像如下
由图可知，满足题意
综上， 1
故答案为 1
3．（2020·内蒙古自治区高二月考（文）） 已知函数 2( ) ( 1) mf x m m x 是幂函数，且 ( )f x 在
(0, ) 上单调递增，则实数 m ________.
【答案】2
【解析】
∵幂函数 f（x）＝（m2﹣m﹣1）xm 在区间（0，+∞）上单调递增，
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∴
2 1 1
0
m m
m
＞ ，
解得 m＝2 或-1（舍）．
故答案为 2．
考点四：幂函数综合问题
例 8.（2021·江西高三其他模拟（文））已知函数 1ay ax b 是幂函数，直线
2 0( 0, 0)mx ny m n 过点 ( , )a b ，则 1
1
n
m
的取值范围是（ ）
A． 1 1, ,33 3
B． (1,3) C． 1,33
D． 1 ,33
【答案】D
【解析】
由幂函数的性质求参数 a、b，根据点在直线上得 2m n ，有 1 4 11 1
n
m m
且 0 2m ，进而可求
1
1
n
m
的取值范围.
【详解】
由 1ay ax b 是幂函数，知： 1, 1a b ，又 ( , )a b 在 2 0mx ny 上，
∴ 2m n ，即 2 0n m ，则 1 3 4 11 1 1
n m
m m m
且 0 2m ，
∴ 1 1( ,3)1 3
n
m
.
故选：D.
例 9.（江苏省高考真题）在平面直角坐标系 xOy 中，设定点 A(a，a)，P 是函数 y＝ 1
x (x>0)图象上一动点．若
点 P，A 之间的最短距离为 2 2 ，则满足条件的实数 a 的所有值为________．
【答案】－1 或 10
【解析】
设点 1,P x x
0x ，则
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2 2
2 2 2 2
2
1 1 1 1 12 2 2 2 2PA x a a x a x a x a x ax x x x x
令 1 , 0, 2t x x tx
令 22 2 22 2 2 2g t t at a t a a
（1）当 2a 时，t a 时 ( )g t 取得最小值 2 2g a a ， 2 2 2 2a ，解得 10a
（2）当 2a 时， ( )g t 在区间 2, 上单调递增，所以当 2t 时， ( )g t 取得最小值 22 2 4 2g a a
22 4 2 2 2a a ，解得 1a
综上可知： 1a 或 10a
所以答案应填：-1 或 10 .
例 10.（2020·江西省高一月考）已知幂函数 2 3 1
2 2 23 3 p p
f x p p x
满足 2 4f f ．
（1）求函数 f x 的解析式；
（2）若函数 2 , 1,9g x f x mf x x ，是否存在实数 m 使得 g x 的最小值为 0？若存在，求出 m
的值；若不存在，说明理由；
（3）若函数 3h x n f x ，是否存在实数 ,a b a b ，使函数 h x 在 ,a b 上的值域为 ,a b ？若
存在，求出实数 n 的取值范围；若不存在，说明理由．
【答案】（1）
1
2f x x ；（2）存在 1m 使得 g x 的最小值为 0；（3） 9 , 24n
．
【解析】
（1）∵ f x 为幂函数，∴ 2 3 3 1p p ，∴ 1p 或 2p ．
当 1p 时， 1f x x 在 0, 上单调递减，
故 2 4f f 不符合题意．
当 2p 时，
1
2f x x x 在 0, 上单调递增，
故 2 4f f ，符合题意．∴ f x x ．
（ 2 ） g x x m x ，
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令t x ．∵ 1,9x ，∴ 1,3t ，∴ 2g x t mt ， 1,3t ．
当 12
m 时， 1t 时， g x 有最小值，
∴1 0m ， 1m ．
②当1 32
m 时，
2
mt 时， g x 有最小值．∴
2
04
m ， 0m （舍）．
③当 32
m 时， 3t 时， g x 有最小值，
∴9 3 0m ， 3m （舍）．∴综上 1m ．
（3） 3h x n x ，
易知 h x 在定义域上单调递减，
∴
h a b
h b a
，即 3
3
n a b
h b a
，
令 3a S ， 3b t ，
则 2 3a S ， 2 3b t ，∴
2
2
3
3
n S t
n t S
，∴ 2 2t S S t ，
∴ 1 0t S t S ．
∵ a b ，
∴ S t ，∴ 1 0t S ，∴ 1t S ，
∴ 3 3 1a b ．
∵ a b ，∴ 113 4a ，∴ 10, 2S
，
∴ 2 3n t S 2 2S S
21 9
2 4S
．∴ 9 , 24n
．
【变式探究】
1．（2019·内蒙古自治区高三月考（理））若幂函数 y f x 的图象过点 8,2 2 ，则函数 21f x f x
的最大值为（ ）
A． 1
2 B． 1
2
C． 3
4
D．-1
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【答案】C
【解析】
设幂函数 y f x x ，图象过点 8,2 2 ，故 3 18 =2 =2 2 = 2
故 f x x ， 21 1f x f x x x ，令 1x t ，则 21y t t ， 0t ，
∴ 1
2t 时， max
3
4y .
故选：C
2.（2020·上海高一课时练习）若 2 2
3 3( 1) (3 2 )a a
，求实数 a 的取值范围．
【答案】 2, (4, )3a
【解析】
由幂函数
2
3
3 2
1f x x
x
的定义域为 ( ,0) (0, ) ，
且满足 32 23
1 1
( )
f x f x
x x
，所以函数 f x 为偶函数，
又由幂函数的性质，可得函数 f x 在 ( ,0) 单调递增，在 (0, ) 单调递减，
又由 2 2
3 3( 1) (3 2 )a a
，则满足
1 3 2
1 0
3 2 0
a a
a
a
，解得 2
3
a 或 4a ，
所以实数 a 的取值范围 2( , ) (4, )3
．
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