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专题 2.2 基本不等式及其应用
新课程考试要求
1.探索并了解基本不等式的证明过程．
2. 掌握基本不等式 abba
2
(a，b＞0)及其应用..
核心素养
培养学生数学运算（例 1.2.3.4.5）、数学建模（例 5）、逻辑推理（例 1.2.3.4）等核
心数学素养.
考向预测
1.利用基本不等式求最值
2.利用基本不等式解决实际问题
3.基本不等式的综合应用
【知识清单】
1．重要不等式
当 a、b 是任意实数时，有 a2＋b2≥2ab，当且仅当 a=b 时，等号成立．
2．基本不等式
当 a>0，b>0 时有 abba
2
，当且仅当 a=b 时，等号成立．
3．基本不等式与最值
已知 x、y 都是正数．
(1)若 x＋y＝s(和为定值)，则当 x＝y 时，积 xy 取得最大值．
(2)若 xy＝p(积为定值)，则当 x＝y 时，和 x＋y 取得最小值．
4.常用推论
（1）
2 2
ab 2
a b （ , Ra b ）
（2） 2ab ( )2
a b （ 0a ， 0b ）；
2 2
2( )2 2
a b a b
（3）
2 22 ( 0, 0)1 1 2 2
a b a bab a b
a b
【考点分类剖析】
考点一 ：利用基本不等式证明不等式
例 1.（2021·山西高三二模（文））证明： 2 11
2
aa ；
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【答案】证明见解析.
【解析】
由不等式
2 2
2 2
a b a b ，令 1b ，则有
2 1 1
2 2
a a ，即可证得 2 11
2
aa .
例 2.已知 a>0，b>0，a＋b＝1，求证： 1 11 1 9a b
.
【答案】见解析
【解析】∵ 0a ， 0b ， 1a b＋ ＝ ，
∴ 11+ =1+ =2+a b b
a a a
.同理， 11+ =2+ a
b b
.∴ 1 11 1 2 2b a
a b a b
＝5+2 5+4=9b a
a b
，当且仅当 b a
a b
，即 1a=b= 2
时取“＝”．
∴ 1 11 1 9a b
，当且仅当 1
2a b 时等号成立．
【方法技巧】
利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足
使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上
一个数，“1”的代换法等．
【变式探究】
1.求证: 4 7( 3)3 a aa
【答案】见解析
【解析】证明: 4 4 3 33 3a aa a
由基本不等式和 3a 得
4 4 43 3 2 ( 3) 33 3 3a a aa a a
= 2 4 3 7
当且仅当 4 33 aa
即 5a 时取等号.
2.已知 a 、b 、 c 都是正数，求证： ( )( )( ) 8a b b c c a abc
【答案】见解析
【解析】∵ a 、b 、 c 都是正数
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∴ 2 0a b ab （当且仅当 a b 时，取等号）
2 0b c bc （当且仅当b c 时，取等号）
2 0c a ca （当且仅当 c a 时，取等号）
∴ ( )( )( ) 2 2 2 8a b b c c a ab bc ca abc （当且仅当 a b c 时，取等号）
即 ( )( )( ) 8a b b c c a abc .
考点二：利用基本不等式求最值
例 3.【多选题】（2021·辽宁葫芦岛市·高三一模）设正实数 a，b 满足 1a b ，则（ ）
A． 1 1
a b
有最小值 4 B． ab
a b
有最大值 1
2
C． a b 有最大值 2 D． 2 2a b 有最小值 1
2
【答案】ACD
【解析】
根据基本不等式结合不等式的性质判断．
【详解】
因为 0, 0a b 且 1a b ，
所以
2 1
2 4
a bab
，当且仅当 1
2a b 时等号成立，即 ab 的最大值为 1
4
，
1 1 1 4a b
a b ab ab
，A 正确；
1
4
ab aba b
，B 错误；
12 1 2 24a b a b ab ，C 正确；
2 2 2 1 1( ) 2 1 2 1 2 4 2a b a b ab ab ，D 正确．
故选：ACD．
例 4.（2021·浙江高三月考）若正实数 a ，b 满足 2 23 2b a ab ，则 16
2
b a
a a b
的最小值是______．
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【答案】 31
5
【解析】
由已知不等式可解得 3b
a
，换元，设 bt a
，则所求式变形为 162 22t t
，利用函数 16 ( 0)y x xx
的单调性可得 162 2y t t
的最小值，从而得结论．
【详解】
因为正实数 a ，b 满足 2 23 2b a ab ，所以
2
2 3 0b b
a a
，解得 1b
a
或 3b
a
，而 ,a b 均为正数，
所以 3b
a
，设 3bt a
，
则 16
2
b a
a a b
16 162 22 2t tt t
，
0x 时，由不等式 16 8x x
，当且仅当 4x 时等号成立知 162 2y t t
在[2, ) 上单调递增，又 3t ，
所以 3t 时， 162 2y t t
取得最小值 16 415 5 5
，
所以 16
2
b a
a a b
的最小值是 41 3125 5
．
故答案为： 31
5
．
【规律方法】
利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等”
（1）正：使用均值不等式所涉及的项必须为正数，如果有负数则考虑变形或使用其它方法
（2）定：使用均值不等式求最值时，变形后的一侧不能还含有核心变量.
（3）等：若能利用均值不等式求得最值，则要保证等号成立，要注意以下两点：
① 若求最值的过程中多次使用均值不等式，则均值不等式等号成立的条件必须能够同时成立（彼此不冲突）
② 若涉及的变量有初始范围要求，则使用均值不等式后要解出等号成立时变量的值，并验证是否符合初始
范围.
注意：形如 ( 0)ay x ax
的函数求最值时，首先考虑用基本不等式，若等号取不到，再利用该函数的
单调性求解．
【变式探究】
1.（陕西省 2019 年高三第三次教学质量检测）若正数 ,m n 满足 12 nm ，则 1 1
m n
的最小值为（ ）
A． 223 B．3 2
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C． 2 2 2 D．3
【答案】A
【解析】由题意，因为 12 nm ，
则 1 1 1 1 2 2( ) (2 ) 3 3 2 3 2 2n m n mm nm n m n m n m n
，
当且仅当 2n m
m n
，即 2n m 时等号成立，
所以 1 1
m n
的最小值为 223 ，故选 A.
2.（2019 年高考天津卷文）设 0, 0, 2 4x y x y ，则 ( 1)(2 1)x y
xy
的最小值为__________.
【答案】 9
2
【解析】 ( 1)(2 1) 2 2 1 2 5 2 5x y xy y x xy
xy xy xy xy
.
因为 0, 0, 2 4x y x y ，
所以 2 4 2 2x y x y ，
即 2 2,0 2xy xy ，当且仅当 2 2x y 时取等号成立.
又因为 1 92 2 55 =2 2xy
，
所以 ( 1)(2 1)x y
xy
的最小值为 9
2 .
【总结提升】
通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略
拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面
的问题：
(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；
(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标；
(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．
考点三：基本不等式的实际应用
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例 5.（2021·陕西西安市·交大附中高三其他模拟（理））已知圆锥的母线长为 2 ，侧面积为S ，体积为V ，
则 V
S
取得最大值时圆锥的体积为（ ）
A． 2
3
B． 4 2π
3
C． 2
6
D． 2 2π
3
【答案】D
【解析】
设圆锥底面半径为 r ，高为 h ，根据圆锥的侧面积和体积公式，求得 21 46
V r rS
，结合基本不等式求
得 2r 时取得最大值，进而求得圆锥的体积.
【详解】
设圆锥底面半径为 r ，高为 h ，由题意可得母线 2l ，
所以圆锥的侧面积为 2S rl r ，且 2 2 24h l r r ，
所以圆锥的体积为 2 2 21 1 43 3V r h r r ，
则
2 2
2 2
2
1 4 1 1 4 13 42 6 6 2 3
r rV r rr rS r
，
当且仅当 24r r ，即 2r 时取等号，
此时 2 21 43V r r 1 2 22 4 23 3
.
故选：D.
【规律方法】
1.用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：
(1)理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；
(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；
(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；
(4)正确写出答案.
2.利用基本不等式求解实际应用题注意点：
(1)此类型的题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求
解．
(2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时
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可根据变量的范围用对应函数的单调性求解．
【易错警示】忽视不等式等号成立的条件！
【变式探究】
（江苏高考真题）某公司一年购买某种货物 600 吨，每次购买 x 吨，运费为 6 万元/次，一年的总存储费用
为 4x 万元,要使一年的总运费与总存储之和最小,则 x 的值是 .
【答案】30
【解析】总费用 600 9004 6 4( ) 4 2 900 240x xx x
，当且仅当 900x x
，即 30x 时等号成立.
考点四：基本不等式的综合运用
例 6.（2021·内蒙古赤峰市·高三二模（文）） ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若
1sin 2 , 46 2A b c
，则 a 的最小值为_________.
【答案】2
【解析】
结合 A 的范围求出角 A 的值，结合余弦定理以及基本不等式求出 a 的范围，从而可得到 a 的最小值
【详解】
解：因为 (0, )A ，所以 132 ,6 6 6A
，
因为 1sin 2 6 2A
，所以 52 6 6A ，解得
3A ，
由余弦定理得
2 2 2 1cos 2 2
b c aA bc
，则 2 2 2b c a bc ，
所以 2 2 2 2( ) 3a b c bc b c bc ，
因为 2
44
b cbc
， 4b c ，
所以16 3 4bc ，当且仅当 2b c 时取等号，
所以 2 4a ，解得 2a ，当且仅当 2b c 时取等号，
所以 a 的最小值为 2，
故答案为：2
例 7.（2020·黑龙江省佳木斯一中高一期中（理））已知函数 2( ) ( 1) 1f x m x mx m （ m R ）．
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（1）若不等式 ( ) 0f x 的解集为，求 m 的取值范围；
（2）当 2m 时，解不等式 ( )f x m ；
（3）若不等式 ( ) 0f x 的解集为 D ，若[ 11] D ， ，求 m 的取值范围．
【答案】（1） 2 3
3m ；（2） 1|1 1x x m
.；（3） 2 3
3m .
【解析】
（1）①当 1 0m 即 1m 时， 2f x x ，不合题意；
②当 1 0m 即 1m 时，
2
1 0
{ 4 1 1 0
m
m m m
，即 2
1{3 4 0
m
m
，
∴
1
{ 2 3 2 3
3 3
m
m m
或
，∴ 2 3
3m
（2） f x m 即 21 1 0m x mx
即 1 1 1 0m x x
①当 1 0m 即 1m 时，解集为{ | 1}x x
②当 1 0m 即 1m 时， 1 1 01x xm
∵ 1 0 11m
，∴解集为 1{ | 1}1x x xm
或
③当 1 0m 即 2 1m 时， 1 1 01x xm
∵ 2 1m ，所以 1 1 0m ，所以 1 11m
∴解集为 1{ |1 }1x x m
（3）不等式 0f x 的解集为 D ， 1,1 D ，
即对任意的 1,1x ，不等式 21 1 0m x mx m 恒成立，
即 2 21 1m x x x 恒成立，
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因为 2 1 0x x 恒成立，所以
2
2 2
1 211 1
x xm x x x x
恒成立，
设 2 ,x t 则 1,3t ， 2x t ，
所以 22 2
2 1
31 3 32 2 1 3
x t t
x x t tt t t t
，
因为 3 2 3t t
，当且仅当 3t 时取等号，
所以 2
2 1 2 3 3
1 32 3 3
x
x x
，当且仅当 2 3x 时取等号，
所以当 2 3x 时，
2
2
max
1 2 3
1 3
x
x x
，
所以 2 3
3m
【总结提升】
基本不等式的综合应用求解策略
(1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．
(2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．
(3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得到参数的值或范围．
【变式探究】
1.（天津市河北区 2019 届高三二模）已知首项与公比相等的等比数列
中，若
，n N ，满足
，
则
的最小值为__________．
【答案】1
【解析】设等比数列
公比为
，则首项
，
由
得：
，
则：
，
，
，
,m n N ，
㘳洠
㘳
.
则
（当且仅当
，即
时取等号）
.
的最小值为
所以
时，等号成立.
，
，即
当且仅当
ݔ
ሺ
ݔሺ ݔ
ሺ
㘳则
，
㘳
∵
.
所以
.
所以
，
㘳
即
，
（Ⅱ）根据题意，由（Ⅰ）可得
.
∴
，
ሺݔmin
所以
上单调递减，
㘳洠
在
ሺݔ
所以
，且开口向上，
的对称轴为
ሺݔ
（Ⅰ）因为函数
【解析】
.
;(2)
【答案】(1)
的最小值.
，求
㘳
且
㘳
，
㘳
取最大值时，设
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，当
的取值范围；
恒成立，求实数
㘳洠
对任意
（Ⅰ）若不等式
2.设函数
.
故填
.
min
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