2022年高考数学一轮复习讲练测3.4 导数的综合应用（新高考浙江）（练）原卷版

1 / 6 2022 年高考数学一轮复习讲练测（新高考·浙江） 第三章 导数 专题 3.4 导数的综合应用（练） 【夯实基础】 1.（2021·全国高三其他模拟（理））已知函数   lnmf x x mx    在区间 1e ,e 内有唯一零点，则实数 m 的取值范围为（ ） A． 2 e e, 1e 1 2      B． 1 e,e 1 e 1       C． e ,1e 1      D． e1, 12      2．（2021·湖南高三其他模拟）已知函数   eaxf x x  存在两个零点，则正数 a 的取值范围是（ ） A． 0, 2 e     B． ,2 e    C． 10, 2e      D． 1 ,2e     3．（2021·四川遂宁市·高三三模（理））已知函数    2 xh x x e  ，   21 2 a ag xx x  ，又当   0h x  时，    h x g x 恒成立，则实数 a 的取值范围是（ ） A． 2,e   B． ,e C． 20,e  D． 0,e 4．（2021·全国高三其他模拟）已知 f（x）是定义在区间[﹣2，2]上的偶函数，当 x∈[0，2]时，f（x）＝ x x e ， 若关于 x 的方程 2f2（x）+（2a﹣1）f（x）﹣a＝0 有且只有 2 个实数根，则实数 a 的取值范围是（ ） A．[﹣ 1 e ，﹣ 2 2 e ] B．[﹣ 1 e ，﹣ 2 2 e ） C．（﹣ 2 2 e ，0） D．（﹣ 2 2 e ，0）∪{﹣ 1 e } 5．（2021·宁夏银川市·高三其他模拟（理））平行于 x 轴的直线与函数 ln , 0, ( ) , 0, x x f x e xx    的图像交于 ,A B 两 点，则线段 AB 长度的最小值为（ ） A． 1e e  B． 1e e  C． e D． 2e 6．（2021·正阳县高级中学高三其他模拟（理））已知 2m   ，若关于 x 的不等式 2 2 e 2xmx n x   恒成立， 2 / 6 则实数 n 的取值范围为（ ） A． 3e, B． 2e ,  C． e, D． 2e, 7．（2021·黑龙江大庆市·高三一模（理））用总长11m 的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制容器底 面一条边比另一条边长 1m，则该容器容积的最大值为________m3（不计损耗）． 8．（2021·湖南高三其他模拟）中国最早的化妆水是1896年在香港开设的广生行生产的花露水，其具有保湿、 滋润、健康皮肤的功效.已知该化妆水容器由一个半球和一个圆柱组成（其中上半球是容器的盖子，化妆水 储存在圆柱中），容器轴截面如图所示，上部分是半圆形，中间区域是矩形，其外周长为12cm .则当圆柱的 底面半径 r  ___________时，该容器的容积最大，最大值为___________. 9．（2021·全国高三其他模拟）若函数 ln( ) 1x xf x ae x    只有一个零点，则实数 a 的取值范围是 ________． 10．（2021·全国高考真题（文））设函数 2 2( ) 3ln 1f x a x ax x    ，其中 0a  . （1）讨论  f x 的单调性； （2）若  y f x 的图像与 x 轴没有公共点，求 a 的取值范围. 【提升能力】 1.（2019·山东高考模拟（文））已知函数 3 5 7 9 1 131 ( ) 1 3 5 7 9 11 13 x x x x x xf x x        ，则使不等式 ( 1) 0f x   成立的 x 的最小整数为（ ） A．-3 B．-2 C．-1 D．0 2.（2021·沙坪坝区·高三其他模拟）已知 e 为自然对数的底数， a ，b 为实数，且不等式  ln 3 1 0x e a x b     对任意  0,x  恒成立，则当 3b a  取最大值时，实数 a 的值为（ ） A．3e B．3 1e  C． 4e D． 4 1e  3.（2020 届山东省济宁市高三 3 月月考）如图所示，某几何体由底面半径和高均为 1 的圆柱与半径为 1 的 3 / 6 半球对接而成，在该封闭几何体内部放入一个小圆柱体，且小圆柱体的上下底面均与外层圆柱的底面平行， 则小圆柱体积的最大值为__________. 4.（2021·全国高考真题（理））设函数    lnf x a x  ，已知 0x  是函数  y xf x 的极值点． （1）求 a； （2）设函数 ( )( ) ( ) x f xg x xf x  ．证明:   1g x  ． 5．（2021·全国高考真题）已知函数    1 lnf x x x  . （1）讨论  f x 的单调性； （2）设 a ，b 为两个不相等的正数，且 ln lnb a a b a b   ，证明： 1 12 ea b    . 6.（2020·山东海南省高考真题）已知函数 1( ) e ln lnxf x a x a   ． （1）当 a e 时，求曲线 y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）若 f（x）≥1，求 a 的取值范围． 7．（2020·湖南长郡中学高三其他（文））已知函数     1xf x e x a a R   . （1）讨论  f x 在区间 1,2 上的单调性； （2）若   af x e  恒成立，求实数 a 的最大值.（e 为自然对数的底） 8.（2021·河南商丘市·高三月考（文））设函数    1 ln .f x x x  （1）求函数  f x 的极值； （2）若关于 x 的不等式   1 ln2kf x x x … 在 2,e e 上有解，求实数 k 的取值范围． 9．（2019·北京高考真题（文））已知函数 3 21( ) 4f x x x x   . （Ⅰ）求曲线 ( )y f x 的斜率为 1 的切线方程； 4 / 6 （Ⅱ）当 [ 2,4]x  时，求证： 6 ( )x f x x   ； （Ⅲ）设 ( ) | ( ) ( ) | ( )F x f x x a a   R ，记 ( )F x 在区间[ 2,4] 上的最大值为 M（a），当 M（a）最小时， 求 a 的值． 10.（2021·辽宁实验中学高三其他模拟）已知   2ln af x x ax x    ，其中 0a  . （1）讨论函数  f x 的单调性； （2）证明： 5 12 2 2 2 2 1 1 1 11 1 1 13 4 5 en                     ，其中 *n N ， 2n  . 【拓展思维】 1．（2021·全国高三其他模拟）若不等式 ln x ax b  恒成立，则 2a b 的最小值为（ ） A． 2 B．3 C． ln 2 D．5 2.（2021·高三其他模拟（文））已知关于 x 的方程 ln 2lnx a x  有三个不相等的实数 根，则实数 a 的取值范围是______． 3.（2021·北京高考真题）已知函数 ( ) lg 2f x x kx   ，给出下列四个结论： ①若 0k  ，则 ( )f x 有两个零点； ② 0k  ，使得 ( )f x 有一个零点； ③ 0k  ，使得 ( )f x 有三个零点； ④ 0k  ，使得 ( )f x 有三个零点． 以上正确结论得序号是_______． 4．（2021·全国高三其他模拟（理））已知函数    ln e xf x x m x    . （1）若  f x 的图象在点   1, 1f 处的切线与直线 2 0x y  平行，求 m 的值； （2）在（1）的条件下，证明：当 0x  时，   0f x  ； （3）当 1m > 时，求  f x 的零点个数. 5．（2021·黑龙江佳木斯市·佳木斯一中高三三模（理））已知函数      21 1 ln 02     f x ax a x x a . （1）讨论  f x 的单调性； 5 / 6 （2）当 0a  时，证明   32 2   f x a . 6.（2021·广东江门市·高三一模）如图，抛物线 2: 8C y x 与动圆 2 2 2:( 8) ( 0)M x y r r    相交于 , , ,A B C D 四个不同点． （1）求 r 的取值范围； （2）求四边 ABCD 面积S 的最大值及相应 r 的值． 7.（2019·全国高考真题（理））已知函数   1 1ln x f x x x     . （1）讨论 f(x)的单调性，并证明 f(x)有且仅有两个零点； （2）设 x0 是 f(x)的一个零点，证明曲线 y=ln x 在点 A(x0，ln x0)处的切线也是曲线 exy  的切线. 8．（2021·高三二模）已知函数 ( ) xf x e ， ( ) 1g x ax  . （1）已知 ( ) ( )f x g x 恒成立，求 a 的值； （2）若 (0,1)x ，求证： 21 ln 1 1( ) x xf x x     . 9．（2021·重庆高三二模）已知函数 ( ) ln ( )f x ax x a R   在 1x  处取得极值． （1）若对 (0, ), ( ) 1x f x bx     恒成立，求实数b 的取值范围； （2）设 ( ) ( ) ( 2) xg x f x x e   ，记函数 ( )y g x 在 1 ,14      上的最大值为 m ，证明：( 4)( 3) 0m m   ． 10．（2021·江苏南通市·高三一模）已知函数     21ln 22f x ax ax x   ， 0a  . 6 / 6 （1）求函数  f x 的增区间； （2）设 1x ， 2x 是函数  f x 的两个极值点，且 1 2x x ，求证： 1 2 2x x  .