2022年新高考数学一轮复习3.4幂函数（讲）Word原卷版

1 / 5 专题 3.4 幂函数 新课程考试要求 1.了解幂函数的概念．掌握幂函数 2,y x y x  3 1,y x y x  ， 1 21 ,y y xx   的图象和性质. 2.了解幂函数的变化特征. 核心素养 培养学生数学抽象（例 1）、数学运算（例 5--10）、数学建模、逻辑推理（例 10）、直 观想象（例 2.3.4）等核心数学素养. 考向预测 1.与二次函数相关的单调性、最值问题.除单独考查外，多在题目中应用函数的图象和 性质； 2.幂函数的图象与性质的应用. 3.在分段函数中考查幂函数的图象和性质. 【知识清单】 1．幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，形如 y＝xα的函数称为幂函数，其中 x 是自变量，α为常数. (2)常见的 5 种幂函数的图象 (3)常见的 5 种幂函数的性质 函数特征 性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x 1 2 y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) {x|x∈R，且 x≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y∈R，且 y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 【考点分类剖析】 考点一 ：幂函数的概念 例 1.已知函数 f(x)＝(m2＋2m)·xm2＋m－1，m 为何值时，f(x)是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数； (4)幂函数. 【总结提升】 2 / 5 形如 y＝xα的函数叫幂函数，这里需有：(1)系数为 1，(2)指数为一常数，(3)后面不加任何项．例如 y＝3x、y ＝xx＋1、y＝x2＋1 均不是幂函数，再者注意与指数函数的区别，例如：y＝x2 是幂函数，y＝2x 是指数函数． 【变式探究】 （2021·全国高一课时练习）设α∈ 11,1 32     ，， ，则使函数 y＝xα的定义域为 R 的所有α的值为（ ） A．1,3 B．－1,1 C．－1,3 D．－1,1,3 考点二 ：幂函数的图象 例 2.（2020·四川省高一期末）若四个幂函数 ay x ， by x ， cy x ， dy x 在同一坐标系中的部分图象 如图，则 a 、b 、 c 、 d 的大小关系正确的是（ ） A． 1a b  B． 1a b  C． 0 b c  D． 0 d c  例 3.若幂函数 1, my x y x  与 ny x 在第一象限的图象如图所示，则 m 与 n 的取值情况为 （ ） A. 1 0 1m n     B. 1 0n m    C. 1 0m n    D. 1 0 1n m     例 4.（2021·浙江高一期末）已知幂函数 ( )f x x 的图像过点 (2, 2)，则  ________， (16)f  _________． 【总结提升】 1.函数 y＝xα的形式的图象都过点(1,1)．它们的单调性要牢记第一象限的图象特征：当α>0 时，第一象限 图象是上坡递增；当α＜0 时，第一象限图象是下坡递减．然后根据函数的奇偶性确定 y 轴左侧的增减性即 可． 3 / 5 2.幂函数 y＝xα的形式特点是“幂指数坐在 x 的肩膀上”，往往利用待定系数法，求幂指数，得到函数解析 式，进一步解题. 【变式探究】 1．（2020·广西壮族自治区高二月考（文））函数 4 3y x 的图像大致是（ ） A． B． C． D． 2．（2020·上海高一课时练习）如图是幂函数 ny x 的部分图像,已知 n 取 1 1,2, 2,2 2   这四个值,则于曲线 1 2 3 4, , ,C C C C 相对应的 n 依次为( ) A． 1 12, , , 22 2   B． 1 12, , ,22 2   C． 1 1, 2,2,2 2   D． 1 12, , 2,2 2   3．（2020·上海高一课时练习）下列四个结论中，正确的是（ ） A．幂函数的图像过 (0,0) 和 (1,1) 两点 B．幂函数的图像不可能出现在第四象限 C．当 0n  时，  *ny x n N  是增函数 D． 0y x 的图像是一条直线 考点三 ：幂函数的性质 例 5. （2021·北京高三其他模拟）已知定义在 R 上的幂函数   mf x x （ m 为实数）过点 (2,8)A ，记 4 / 5  0.5log 3a f ，  2log 5b f ，  c f m ，则 , ,a b c 的大小关系为（ ） A． a b c  B． a c b  C． c a b  D． c b a  例 6.（2021·贵州省思南中学高三一模（理））已知幂函数      12 *m mf x x m N    ，经过点  2, 2 ，试 确定 m 的值，并求满足条件    2 1f a f a   的实数 a 的取值范围. 例 7.（2021·全国高一课时练习）已知偶函数   2 4a af x x  在 0 ， 上是减函数，则整数 a 的值是________． 【方法技巧】 1.在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，既不同底又不 同次数的幂函数值比较大小：常找到一个中间值，通过比较幂函数值与中间值的大小进行判断．准确掌握 各个幂函数的图象和性质是解题的关键. 2.指数函数的图象在第一象限内底大图高(逆时针方向底数依次变大)．当幂的底数不确定时，要注意讨论 底数的不同取值情况. 【变式探究】 1. （2020·四川省高三二模（文））已知点（3，28）在函数 f（x）＝xn+1 的图象上，设 3 3a f       ，b＝f （lnπ）， 5 4c f       ，则 a，b，c 的大小关系为（ ） A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b 2．（2020·上海高一课时练习）已知幂函数 ay x 的图像满足，当 (0,1)x 时，在直线 y x 的上方；当 (1, )x  时，在直线 y x 的下方，则实数 a 的取值范围是_______________. 3．（2020·内蒙古自治区高二月考（文）） 已知函数 2( ) ( 1) mf x m m x   是幂函数，且 ( )f x 在 (0, ) 上单调递增，则实数 m  ________. 考点四：幂函数综合问题 例 8.（2021·江西高三其他模拟（文））已知函数 1ay ax b    是幂函数，直线 2 0( 0, 0)mx ny m n     过点 ( , )a b ，则 1 1 n m   的取值范围是（ ） A． 1 1, ,33 3          B． (1,3) C． 1,33      D． 1 ,33      5 / 5 例 9.（江苏省高考真题）在平面直角坐标系 xOy 中，设定点 A(a，a)，P 是函数 y＝ 1 x (x>0)图象上一动点．若 点 P，A 之间的最短距离为 2 2 ，则满足条件的实数 a 的所有值为________． 例 10.（2020·江西省高一月考）已知幂函数     2 3 1 2 2 23 3 p p f x p p x      满足    2 4f f ． （1）求函数  f x 的解析式； （2）若函数        2 , 1,9g x f x mf x x   ，是否存在实数 m 使得  g x 的最小值为 0？若存在，求出 m 的值；若不存在，说明理由； （3）若函数    3h x n f x   ，是否存在实数  ,a b a b ，使函数  h x 在 ,a b 上的值域为 ,a b ？若 存在，求出实数 n 的取值范围；若不存在，说明理由． 【变式探究】 1．（2019·内蒙古自治区高三月考（理））若幂函数  y f x 的图象过点  8,2 2 ，则函数    21f x f x  的最大值为（ ） A． 1 2 B． 1 2  C． 3 4  D．-1 2.（2020·上海高一课时练习）若 2 2 3 3( 1) (3 2 )a a      ，求实数 a 的取值范围．