2022年高考数学一轮复习讲练测5.5 复数 （新高考浙江）（讲）解析版

2022 年高考数学一轮复习讲练测（新高考·浙江） 第五章 平面向量、复数 专题 5.5 复数（讲） 【考试要求】 1．理解复数的定义、复数的模和复数相等的概念. 2．了解复数的加、减运算的几何意义. 3．掌握复数代数形式的四则运算. 【高考预测】 主要考查的方向有两个，一是复数的概念及运算，如复数的实部、虚部、纯虚数、复数的相等、共轭复数 等概念以及复数的运算；二是复数的几何意义及其应用，如复数对应的点的位置（坐标），复数与方程的综 合问题等.偶有与其它知识综合的简单题，以考查复数的运算居多． 【知识与素养】 知识点 1．复数的有关概念及性质 1．虚数单位为 i，规定：i2＝-1，且实数与它进行四则运算时，原有的加法、乘法的运算律仍然成立． 2．复数的概念 形如：a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中 a 叫做复数的实部，b 叫做复数的虚部． ①当 b＝0 时，复数 a＋bi 为实数； ②当 b≠0 时，复数 a＋bi 为虚数； ③当 a＝0 且 b≠0 时，复数 a＋bi 为纯虚数． 3.复数相等的充要条件 a＋bi＝c＋di(a，b，c，d∈R) ⇔ a＝c 且 b＝d，特别地，a＋bi＝0 ⇔ a＝b＝0. 4.共轭复数：一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，复数 z 的共轭复数记作 z ． 5. 复数的模 向量OZ→的模 r 叫做复数 z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a＋bi|.即|z|＝|a＋bi|＝r＝ a2＋b2(r≥0，r ∈R)． 【典例 1】（2020·浙江高考真题）已知 a∈R，若 a–1+(a–2)i(i 为虚数单位)是实数，则 a=（ ） A．1 B．–1 C．2 D．–2 【答案】C 【解析】 根据复数为实数列式求解即可. 【详解】 因为 ( 1) ( 2)a a i   为实数，所以 2 0 2a a   ， ， 故选：C 【易错提醒】 （1） 2i 1  中的负号易忽略. （2）对于复数 m＋ni，如果 m，n∈C(或没有明确界定 m，n∈R)，则不可想当然地判定 m，n∈R. (3)对于 a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的充要条件，只注意了 a＝0 而漏掉了 b≠0. 知识点 2.复数的几何意义 1.z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面上的点 Z(a，b)、平面向量OZ→都可建立一一对应的关系(其中 O 是坐标原点)． 2.复平面内，实轴上的点都表示实数；虚轴上的点除原点外都表示纯虚数． 【典例 2】（2020·北京高考真题）在复平面内，复数 z 对应的点的坐标是 (1,2) ，则 i z  （ ）． A．1 2i B． 2 i  C．1 2i D． 2 i  【答案】B 【解析】 先根据复数几何意义得 z ，再根据复数乘法法则得结果. 【详解】 由题意得 1 2z i  ， 2iz i   . 故选：B. 【总结提升】 复数的几何意义 (1) (其中 a，b∈R)． (2)|z|表示复数 z 对应的点与原点的距离． (3)|z1－z2|表示两点的距离，即表示复数 z1 与 z2 对应的点的距离． 知识点 3. 复数的四则运算 1.复数的加、减、乘、除的运算法则 设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 (1)z1±z2＝(a±c)＋(b±d)i； (2)z1·z2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； (3)z1 z2 ＝ac＋bd c2＋d2 ＋bc－ad c2＋d2 i (z2≠0)． 2. 2 2| z | | |zz z  . 【典例 3】（2021·江苏高考真题）若复数 z 满足 1 i 3 iz   ，则 z 的虚部等于（ ） A．4 B．2 C．-2 D．-4 【答案】C 【解析】 利用复数的运算性质，化简得出 1 2z i  . 【详解】 若复数 z 满足 1 i 3 iz   ，则       3 i 1 i3 i 1 2i1 i 1 i 1 iz        ， 所以 z 的虚部等于 2 . 故选：C. 【规律方法】 复数的加、减法运算中，可以从形式上理解为关于虚数单位“ i ”的多项式合并同类项，复数的乘法与多项 式的乘法相类似，只是在结果中把 2i 换成－1.复数除法可类比实数运算的分母有理化．复数加、减法的几 何意义可依平面向量的加、减法的几何意义进行理解． 【重点难点突破】 考点 1 复数的有关概念及性质 【典例 4】（2021·浙江高考真题）已知 a R ，  1 3ai i i   ，(i 为虚数单位)，则 a （ ） A． 1 B．1 C． 3 D．3 【答案】C 【解析】 首先计算左侧的结果，然后结合复数相等的充分必要条件即可求得实数 a 的值. 【详解】  1 ai i i a a i      ， 利用复数相等的充分必要条件可得： 3, 3a a     . 故选：C. 【典例 5】（2021·全国高考真题（理））设    2 3 4 6z z z z i     ，则 z  （ ） A．1 2i B．1 2i C．1 i D．1 i 【答案】C 【解析】 设 z a bi  ，利用共轭复数的定义以及复数的加减法可得出关于 a 、b 的等式，解出这两个未知数的值， 即可得出复数 z . 【详解】 设 z a bi  ，则 z a bi  ，则    2 3 4 6 4 6z z z z a bi i       ， 所以， 4 4 6 6 a b    ，解得 1a b  ，因此， 1z i  . 故选：C. 【总结提升】 复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、 共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法， 运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分. 【变式探究】 1．（2020·江苏高三一模）设复数 z 满足  1 i iz m    m R ，若 z 为纯虚数，则实数 m  （ ） A．1 B．-1 C．2 D．-2 【答案】A 【解析】 将 i 1 i mz   利用复数的除法运算化简，再令实部等于 0 ，虚部不等于 0 即可求解 【详解】 由 1 i iz m   可得        i 1 i 1 1 ii 1 1i1 i 1 i 1 i 2 2 2 m m mm m mz              ， 所以 1 0 1 0 m m      ，可得 1m  ， 故选：A. 2.（2021·上海华师大二附中高一期末）己知复数    2 22 3 2 iz a a a a      （i 为虚数单位）为纯虚 数，则实数 a （ ） A．2 B． 1 C． 1 或 2 D． 2 【答案】A 【解析】 由于复数 z 为纯虚数，所以 2 2 2 0 3 2 0 a a a a        ，从而可求出 a 的值 【详解】 解：因为复数    2 22 3 2 iz a a a a      （i 为虚数单位）为纯虚数， 所以 2 2 2 0 3 2 0 a a a a        ， 由 2 2 0a a   ，得 1a   或 2a  ， 由 2 3 2 0a a   ，得 1a   且 2a   ， 所以 2a  ， 故选：A 考点 2 复数的几何意义及应用 【典例 6】（2021·河南高二期中（理））在复平面内， A 、 B 两点对应的复数分别是 6 8i ， 4 6i  ，则向 量 AB  对应的复数是（ ） A．10 2i B． 10 2i  C． 2 14i D．10 2i 【答案】B 【解析】 本题可根据复数的几何意义以及复数的运算法则得出结果. 【详解】 向量 AB  对应的复数是    4 6i 6 8i 10 2i       故选：B. 【典例 7】（2019·全国高考真题（理））设复数 z 满足 =1iz  ，z 在复平面内对应的点为(x，y)，则（ ） A． 2 2+1 1( )x y  B． 2 2( 1) 1x y   C． 2 2( 1) 1x y   D． 22 ( +1) 1yx   【答案】C 【解析】 , ( 1) ,z x yi z i x y i      2 2( 1) 1,z i x y     则 2 2( 1) 1x y   ．故选 C． 【总结提升】 复数几何意义及应用 1．复数 z、复平面上的点 Z 及向量OZ → 相互联系，即 z＝a＋bi(a，b∈R) ⇔ Z(a，b) ⇔ OZ → . 2．由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时 可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观． 提醒：|z|的几何意义：令 z＝x＋yi(x，y∈R)，则|z|＝ x2＋y2，由此可知表示复数 z 的点到原点的距离 就是|z|的几何意义；|z1－z2|的几何意义是复平面内表示复数 z1，z2 的两点之间的距离． 【变式探究】 1.（2018·北京高考真题（文））在复平面内，复数 的共轭复数对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解析】 ㌳ ሻ㌳ሻ ㌳ 的共轭复数为 对应点为 ሻ ，在第四象限，故选 D. 2．（2021·湖南高一期中）设 1 21 i 4 3iz z    ， （i 为虚数单位），则 1 2z z  （ ） A．25 B．5 C．13 D． 13 【答案】B 【解析】 先写共轭复数，进行加法运算，再计算复数的模长即可. 【详解】 1 21 i 4 3iz z    ， ，则 2 4 3iz   ，∴ 1 2 3 4iz z   ， 所以 2 2 1 2 3 4 5z z    . 故选：B． 考点 3 复数的代数运算 【典例 8】（2021·全国高考真题）已知 2 iz   ，则  iz z  （ ） A． 6 2i B． 4 2i C． 6 2i D． 4 2i 【答案】C 【解析】 利用复数的乘法和共轭复数的定义可求得结果. 【详解】 因为 2z i  ，故 2z i  ，故      22 2 2 =4+4 2 2 6 2z z i i i i i i i        故选：C. 【典例 9】（2021·全国高考真题）复数 2 i 1 3i   在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【解析】 利用复数的除法可化简 2 i 1 3i   ，从而可求对应的点的位置. 【详解】   2 i 1 3i2 i 5 5i 1 i 1 3i 10 10 2       ，所以该复数对应的点为 1 1,2 2      ， 该点在第一象限， 故选：A. 【规律方法】 复数四则运算的解题策略 (1)复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式的运算． (2)复数的除法运算是分子、分母同乘以分母的共轭复数，即分母实数化． (3)在含有 z，z ，|z|中至少两个的复数方程中，可设 z＝a＋bi，a，b∈R，变换方程，利用两复数相等的 充要条件得出关于 a，b 的方程组，求出 a，b，从而得出复数 z. 【变式探究】 1.（2020·全国高考真题（文））若  1 1  z i i ，则 z=（ ） A．1–i B．1+i C．–i D．i 【答案】D 【解析】 先利用除法运算求得 z ，再利用共轭复数的概念得到 z 即可. 【详解】 因为 21 (1 ) 2 1 (1 )(1 ) 2 i i iz ii i i          ，所以 z i= . 故选：D 2.（2021·上海交大附中高一期末）设复数 1 2i 3 4iz   ，则 z 的共轭复数 z 的虚部是______． 【答案】 2 5 【解析】 根据题意，计算出复数 z 的代数形式，即可求解. 【详解】 因       1 2i 3 4i1 2i 5 10i 1 2 i3 4i 3 4i 3 4i 25 5 5z            , 所以 1 2 i5 5z    ，因此 z 的共轭复数 z 的虚部是 2 5 . 故答案为： 2 5 . 【学科素养提升】 转化与化归思想 在解决具体问题时，常把复杂的、生蔬的、抽象的、困难的、未知的问题化成简单的、熟悉的、具体的、 容易的、已知的问题来解决，这种数学思想叫转化与化归的思想． (1)“化曲为直”是解决立体几何问题最基本和最常用的方法，解决的关键是在空间图形展开后，弄清几何 体中的有关点、线在展开图中的相应位置关系． 几何体表面上两点间的最小距离问题常常转化为求其展开图中的直线段长． (2)体积的求解与计算是立体几何学习的重点，其方法灵活多样，但转化与化归的思想一直贯穿其中．①将 不规则的几何体通过分割或补形，将其转化为规则几何体的体积问题；②三棱锥通过转化底面和顶点从而 达到求体积的目的． (3)空间问题往往转化成平面问题解决. 【典例】（2021·河南高二月考（文））设复数    cos 2 sin iz a a     (i 为虚数单位)，若对任意实数 ， 2z  ，则实数 a 的取值范围为（ ） A． 51, 5      B． 1,1 C． 0,2 D． 5 5,5 5      【答案】D 【解析】 由题意得    cos isin 2 i 2a a      ，复数模的几何意义知，其表示复平面上的点  cos ,sinP   与 点  , 2A a a  间的距离，而点 P 在单位圆 2 2 1x y  上，所以要 2PA  恒成立，只要点  , 2A a a  在 圆 2 2 1x y  上或其内部即可，从而可得   2 22 1a a    ，进而可求出 a 的取值范围 【详解】 解：由    cos 2 sin iz a a     ，得    cos isin 2 i 2z a a       ， 由复数模的几何意义知，   cos isin 2 ia a     表示复平面上的点  cos ,sinP   与点  , 2A a a  间的距离， 而点 P 在单位圆 2 2 1x y  上，要使 2PA  恒成立，则点 A 必在圆 2 2 1x y  上或其内部，故    2 22 1a a    ，解得 5 5 5 5a   . 故选：D.