2022年新高考数学一轮复习3.1函数的概念及其表示（讲）原卷版

1 / 6 专题 3.1 函数的概念及其表示 新课程考试要求 1．了解函数的概念，会求简单的函数的定义域和值域. 2．理解函数的三种表示法：解析法、图象法和列表法. 3．了解简单的分段函数，会用分段函数解决简单的问题. 核心素养 培养学生数学抽象（例 1.3）、数学运算（例 2--12）、数学建模（例 9）、直观想象（例 5.10）等核心数学素养. 考向预测 1.分段函数的应用,要求不但要理解分段函数的概念，更要掌握基本初等函数的图象和性 质． 2．函数的概念，经常与函数的图象和性质结合考查. 【知识清单】 1．函数的概念 函数 两个集合 A，B 设 A，B 是两个 非空数集 对应关系 f：A→B 如果按照某种确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x， 在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应 2．函数的定义域、值域 (1)在函数 y＝f(x)，x∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与 x 的值相对应的 y 值叫做 函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域. (2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数. 3．分段函数 (1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段 函数. (2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几 个部分组成，但它表示的是一个函数. 【考点分类剖析】 考点一 函数的概念 【典例 1】【多选题】（2021·浙江高一期末）在下列四组函数中， ( )f x 与 g( )x 不表示同一函数．．．．．．．的是（ ） A． ( ) 1f x x= - ， 2 1( ) 1 xg x x   B． ( ) | 1|f x x  ， 1, 1( ) 1, 1 x xg x x x        2 / 6 C． ( ) 1f x  ， 0( ) ( 1)g x x  D． ( )f x x ， 2( ) ( )g x x 【规律方法】 函数的三要素中，若定义域和对应关系相同，则值域一定相同．因此判断两个函数是否相同，只需判断定 义域、对应关系是否分别相同． 【变式探究】 （2021·浙江高一期末）下列函数中，与函数 1y x  是相等函数的是（ ） A．  2 1y x  B． 3 3 1y x  C． 2 1xy x   D． 2 1y x  【易混辨析】 1.判断两个函数是否为相同函数，注意把握两点，一看定义域是否相等，二看对应法则是否相同． 2.从图象看，直线 x=a 与图象最多有一个交点. 考点二：求函数的定义域 【典例 2】（2019·江苏高考真题）函数 27 6y x x   的定义域是_____. 【典例 3】（2021·全国高一课时练习）（1）已知 ( )y f x 的定义域为[0,1] ，求函数 2( 1)y f x  的定义域； （2）已知 (2 1)y f x  的定义域为[0,1] ，求 ( )y f x 的定义域； （3）已知函数 ( )y f x 的定义域为[0,2] ，求函数 (2 )( ) 2 1 f xg x x   的定义域． 【规律方法】 1.已知函数的具体解析式求定义域的方法 (1)若 f(x)是由一些基本初等函数通过四则运算构成的，则它的定义域为各基本初等函数的定义域的交集． (2)复合函数的定义域：先由外层函数的定义域确定内层函数的值域，从而确定对应的内层函数自变量的取 值范围，还需要确定内层函数的定义域，两者取交集即可． 2．抽象函数的定义域的求法 (1)若已知函数 f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数 f(g(x))的定义域由 a≤g(x)≤b 求出． (2)若已知函数 f(g(x))的定义域为[a，b]，则 f(x)的定义域为 g(x)在 x∈[a，b]时的值域． 【变式探究】 1.函数 1( ) 2lg( 1)f x xx    的定义域为（ ） A．[ 2,2] B．[ 2,0) (0,2]  C． ( 1,0) (0,2]  D． (-1,2] 3 / 6 2．（2020·河南省高二期中（文））已知函数 ( 1)y f x  定义域是[ 2,3] ，则 (2 1)y f x  的 定义域是（ ） A．[0, 5 2 ] B．[ 1,4] C．[ 5,5] D．[ 3,7] 【特别提醒】 求函数的定义域，往往要解不等式或不等式组，因此，要熟练掌握一元一次不等式、一元二次不等式的解 法、牢记不等式的性质，学会利用数形结合思想，借助数轴解题.另外，函数的定义域、值域都是集合，要 用适当的表示方法加以表达或依据题目的要求予以表达． 高频考点三：求函数的解析式 【典例 4】（2021·全国高一课时练习）已知 f 1-x x      =x2+ 2 1 x ，则函数 f(x)=_______，f（3）=_______． 【典例 5】（2021·全国高三专题练习）如图所示，函数  f x 的图象是折线段 ABC，其中 A、B、C 的坐标分 别为(0，4)、(2，0)、(6，4)，求函数  f x 的解析式． 【规律方法】 1.已知函数类型，用待定系数法求解析式． 2.已知函数图象，用待定系数法求解析式，如果图象是分段的，要用分段函数表示． 3.已知 ( )f x 求 [ ( )]f g x ，或已知 [ ( )]f g x 求 ( )f x ，用代入法、换元法或配凑法． 4.若 ( )f x 与 1( )f x 或 ( )f x 满足某个等式，可构造另一个等式，通过解方程组求解． 5.应用题求解析式可用待定系数法求解． 【变式探究】 1.已知单调函数 Rom ，对任意的 o 都有 CRom o ሿ ，则 Rm ሿ ( ) A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 2．（2021·全国高一课时练习）已知二次函数  f x 满足    1 2f x f x x   ，  0 1f  ． 4 / 6 （1）求  f x 的解析式． （2）求  f x 在 1,1 上的最大值． 考点四：求函数的值域 【典例 6】函数    1 0f x x xx    的值域为（ ） A． 2, B．   ,2 2,  C． , 2  D． R 【典例 7】【多选题】（2021·全国高三专题练习）已知函数  f x 的定义域为 (1, ) ，值域为 R ，则（ ） A．函数  2 1f x  的定义域为 R B．函数  2 1 1f x   的值域为 R C．函数 1x x ef e      的定义域和值域都是 R D．函数 ( ( ))f f x 的定义域和值域都是 R 【典例 8】（2021·浙江高一期末）函数 212 8 4y x x   的定义域是_________，函数 2 1( 3)y x x x    的值域为__________． 【规律方法】 函数值域的常见求法： (1)配方法 配方法是求“二次函数型函数”值域的基本方法，形如 F(x)＝a[f(x)]2＋bf(x)＋c(a≠0)的函数的值域问 题，均可使用配方法． (2)数形结合法 若函数的解析式的几何意义较明显，如距离、斜率等，可用数与形结合的方法． (3)基本不等式法：要注意条件“一正，二定，三相等”．（可见上一专题） (4)利用函数的单调性 ①单调函数的图象是一直上升或一直下降的，因此若单调函数在端点处有定义，则该函数在端点处取最值， 即 若 y＝f(x)在[a，b]上单调递增，则 y 最小＝f(a)，y 最大＝f(b)； 若 y＝f(x)在[a，b]上单调递减，则 y 最小＝f(b)，y 最大＝f(a)． ②形如 y＝ax＋b＋ dx＋c的函数，若 ad＞0，则用单调性求值域；若 ad＜0，则用换元法． ③形如 y＝x＋k x (k＞0)的函数，若不能用基本不等式，则可考虑用函数的单调性，当 x＞0 时，函数 y＝x＋ k x (k＞0)的单调减区间为(0， k]，单调增区间为[ k，＋∞)．一般地，把函数 y＝x＋k x (k＞0，x＞0)叫做 对勾函数，其图象的转折点为( k，2 k)，至于 x＜0 的情况，可根据函数的奇偶性解决． 5 / 6 *(5)导数法 利用导函数求出最值，从而确定值域． 高频考点五：分段函数及其应用 【典例 9】（2021·河南新乡市·高三月考（理））如图，在正方形 ABCD 中， 2AB  点 M 从点 A 出发，沿 A B C D A    向，以每 2 个单位的速度在正方形 ABCD 的边上运动；点 N 从点 B 出发，沿 B C D A   方向，以每秒1个单位的速度在正方形 ABCD 的边上运动.点 M 与点 N 同时出发，运动 时间为 t (单位：秒)， AMN 的面积为  f t (规定 , ,A M N 共线时其面积为零，则点 M 第一次到达点 A 时，  y f t 的图象为（ ） A． B． C． D． 【典例 10】（2021·四川达州市·高三二模（理））已知函数 2 1, 0,( ) , 0. x xf x x x     若    1 2f x f x ，则 1 2x x 的取值范围是__________． 【典例 11】（2021·全国高一课时练习）对于任意的实数 1 2,x x ，  1 2min ,x x 表示 1 2,x x 中较小的那个数，若   22f x x  ，  g x x ，则集合     x f x g x  _______；     min ,f x g x 的最大值是_______. 【典例 12】（江苏高考真题）已知实数 0a  ，函数 2 , 1( ) 2 , 1 x a xf x x a x      ，若 (1 ) (1 )f a f a   ，则 a 的值为________ 【总结提升】 6 / 6 1.“分段求解”是处理分段函数问题解的基本原则； 2.数形结合往往是解答选择、填空题的“捷径”. 【变式探究】 1.（2021·全国高一课时练习）已知 a> 1 2 ，则函数 f(x)=x2+|x-a|的最小值是（ ） A．a2+1 B．a+ 3 4 C．a- 1 2 D．a- 1 4 2.（2021·全国高一课时练习）已知函数 f(x) 2 3 2, 1, , 1, x x x ax x      则 f（1）=_______，若 f(f(0))=a，则实数 a=_______.