2022年新高考数学一轮复习2.2基本不等式及其应用（讲）原卷版

1 / 4 专题 2.2 基本不等式及其应用 新课程考试要求 1.探索并了解基本不等式的证明过程． 2. 掌握基本不等式 abba  2 (a，b＞0)及其应用.. 核心素养 培养学生数学运算（例 1.2.3.4.5）、数学建模（例 5）、逻辑推理（例 1.2.3.4）等核 心数学素养. 考向预测 1.利用基本不等式求最值 2.利用基本不等式解决实际问题 3.基本不等式的综合应用 【知识清单】 1．重要不等式 当 a、b 是任意实数时，有 a2＋b2≥2ab，当且仅当 a=b 时，等号成立． 2．基本不等式 当 a>0，b>0 时有 abba  2 ，当且仅当 a=b 时，等号成立． 3．基本不等式与最值 已知 x、y 都是正数． (1)若 x＋y＝s(和为定值)，则当 x＝y 时，积 xy 取得最大值． (2)若 xy＝p(积为定值)，则当 x＝y 时，和 x＋y 取得最小值． 4.常用推论 （1） 2 2 ab 2 a b （ , Ra b ） （2） 2ab ( )2 a b （ 0a  ， 0b  ）； 2 2 2( )2 2 a b a b  （3） 2 22 ( 0, 0)1 1 2 2 a b a bab a b a b        【考点分类剖析】 考点一 ：利用基本不等式证明不等式 例 1. （2021·山西高三二模（文））证明： 2 11 2 aa   ； 2 / 4 例 2.已知 a>0，b>0，a＋b＝1，求证： 1 11 1 9a b          . 【方法技巧】 利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足 使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上 一个数，“1”的代换法等． 【变式探究】 1.求证: 4 7( 3)3 a aa    2.已知 a 、b 、 c 都是正数，求证： ( )( )( ) 8a b b c c a abc    考点二：利用基本不等式求最值 例 3.【多选题】（2021·辽宁葫芦岛市·高三一模）设正实数 a，b 满足 1a b  ，则（ ） A． 1 1 a b  有最小值 4 B． ab a b 有最大值 1 2 C． a b 有最大值 2 D． 2 2a b 有最小值 1 2 例 4.（2021·浙江高三月考）若正实数 a ，b 满足 2 23 2b a ab  ，则 16 2 b a a a b   的最小值是______． 【规律方法】 利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等” （1）正：使用均值不等式所涉及的项必须为正数，如果有负数则考虑变形或使用其它方法 （2）定：使用均值不等式求最值时，变形后的一侧不能还含有核心变量. （3）等：若能利用均值不等式求得最值，则要保证等号成立，要注意以下两点： ① 若求最值的过程中多次使用均值不等式，则均值不等式等号成立的条件必须能够同时成立（彼此不冲突） ② 若涉及的变量有初始范围要求，则使用均值不等式后要解出等号成立时变量的值，并验证是否符合初始 范围. 注意：形如 ( 0)ay x ax    的函数求最值时，首先考虑用基本不等式，若等号取不到，再利用该函数的 单调性求解． 【变式探究】 1.（陕西省 2019 年高三第三次教学质量检测）若正数 ,m n 满足 12  nm ，则 1 1 m n  的最小值为（ ） A． 223 B．3 2 3 / 4 C． 2 2 2 D．3 2.（2019 年高考天津卷文）设 0, 0, 2 4x y x y    ，则 ( 1)(2 1)x y xy   的最小值为__________. 【总结提升】 通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略 拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面 的问题： (1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形； (2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标； (3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提． 考点三：基本不等式的实际应用 例 5.（2021·陕西西安市·交大附中高三其他模拟（理））已知圆锥的母线长为 2 ，侧面积为S ，体积为V ， 则 V S 取得最大值时圆锥的体积为（ ） A． 2 3  B． 4 2π 3 C． 2 6  D． 2 2π 3 【规律方法】 1.用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行： (1)理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数； (2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题； (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值； (4)正确写出答案. 2.利用基本不等式求解实际应用题注意点： (1)此类型的题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求 解． (2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时 可根据变量的范围用对应函数的单调性求解． 【易错警示】忽视不等式等号成立的条件！ 【变式探究】 （江苏高考真题）某公司一年购买某种货物 600 吨，每次购买 x 吨，运费为 6 万元/次，一年的总存储费用 4 / 4 为 4x 万元,要使一年的总运费与总存储之和最小,则 x 的值是 . 考点四：基本不等式的综合运用 例 6.（2021·内蒙古赤峰市·高三二模（文）） ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 1sin 2 , 46 2A b c       ，则 a 的最小值为_________. 例 7.（2020·黑龙江省佳木斯一中高一期中（理））已知函数 2( ) ( 1) 1f x m x mx m     （ m R ）． （1）若不等式 ( ) 0f x  的解集为，求 m 的取值范围； （2）当 2m   时，解不等式 ( )f x m ； （3）若不等式 ( ) 0f x  的解集为 D ，若[ 11] D ， ，求 m 的取值范围． 【总结提升】 基本不等式的综合应用求解策略 (1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解． (2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解． (3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得到参数的值或范围． 【变式探究】 1.（天津市河北区 2019 届高三二模）已知首项与公比相等的等比数列 中，若 ，n N ，满足 ， 则 的最小值为__________． 2.设函数 （Ⅰ）若不等式 对任意 쳌 恒成立，求实数 的取值范围； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，当 取最大值时，设 㤵 ， 㤵 且 ，求 的最小值.