2022年新高考数学一轮复习3.7函数的图象（练）解析版

1 / 25 专题 3.7 函数的图象 1．（2021·全国高三专题练习（文））已知图①中的图象是函数 ( )y f x 的图象，则图②中的图象对应的函 数可能是（ ） A． (| |)y f x B． | ( ) |y f x C． ( | |)y f x  D． ( | |)y f x   【答案】C 【解析】 根据函数图象的翻折变换，结合题中条件，即可直接得出结果. 【详解】 图②中的图象是在图①的基础上，去掉函数 ( )y f x 的图象在 y 轴右侧的部分， 然后将 y 轴左侧图象翻折到 y 轴右侧， y 轴左侧图象不变得来的， ∴图②中的图象对应的函数可能是 ( | |)y f x  . 故选：C. 2．（2021·浙江高三专题练习）函数  lg 1y x  的图象是（ ） A． B． C． 2 / 25 D． 【答案】C 【解析】 将函数 lgy x 的图象进行变换可得出函数  lg 1y x  的图象，由此可得出合适的选项. 【详解】 将函数 lgy x 的图象先向右平移1个单位长度，可得到函数  lg 1y x  的图象， 再将所得函数图象位于 x 轴下方的图象关于 x 轴翻折，位于 x 轴上方图象不变，可得到函数  lg 1y x  的 图象. 故合乎条件的图象为选项 C 中的图象. 故选：C. 3．（2021·全国高三专题练习（理））我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微， 数形结合百般好，隔离分家万事休．”在数学的学习和研究中，经常用函数的图象来研究函数的性质，也经 常用函数的解析式来研究函数图象的特征．若函数  y f x 在区间 ,a b 上的图象如图，则函数  y f x 在区间 ,a b 上的图象可能是（ ） 3 / 25 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 先判断出函数是偶函数，根据偶函数的图像特征可得选项． 【详解】 函数  y f x 是偶函数，所以它的图象是由  y f x 把 0x  的图象保留，再关于 y 轴对称得到的．结 合选项可知选项 D 正确， 故选：D． 4．（2021·全国高三专题练习（文））函数   5 xf x x x e   的图象大致是（ ）． A． B． 4 / 25 C． D． 【答案】B 【解析】 由  2 0f  和  2 0f   可排除 ACD，从而得到选项. 【详解】 由    2 22 32 2 2 16 0f e e     ，可排除 AD； 由    2 22 32 2 2 16 0f e e        ，可排除 C； 故选：B. 5．（2021·陕西高三三模（理））函数 xy b a  与  logay bx 的图像在同一坐标系中可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 5 / 25 【解析】 根据指数函数和对数函数的单调性，以及特殊点函数值的范围逐一判断可得选项． 【详解】 令 ( ) xf x b a= × ，    logag x bx ， 对于 A 选项：由 ( ) xf x b a= × 得 >1a ，且   00 >1f b a b  ，所以 log >0a b ，而  1 log 0ag b  ，所 以矛盾，故 A 不正确； 对于 B 选项：由 ( ) xf x b a= × 得 >1a ，且   00 1f b a b   ，所以 log 0a b  ，而  1 log >0ag b ，所 以矛盾，故 B 不正确； 对于 C 选项：由 ( ) xf x b a= × 得 >1a ，且   00 1f b a b   ，所以 log 0a b  ，又  1 log 0ag b  ， 故 C 正确； 对于 D 选项：由 ( ) xf x b a= × 得 >1a ，且   00 >1f b a b  ，而    logag x bx 中 0 1a  ，所以矛 盾，故 D 不正确； 故选：C． 6．（2021·宁夏吴忠市·高三其他模拟（文））已知函数      ln 2 ln 4f x xx     ，则（ ）． A．  f x 的图象关于直线 3x  对称 B．  f x 的图象关于点 3,0 对称 C．  f x 在 2,4 上单调递增 D．  f x 在 2,4 上单调递减 【答案】A 【解析】 先求出函数的定义域. A：根据函数图象关于直线对称的性质进行判断即可； B：根据函数图象关于点对称的性质进行判断即可； C：根据对数的运算性质，结合对数型函数的单调性进行判断即可； D：结合 C 的分析进行判断即可. 【详解】  f x 的定义域为  2,4x  ， A：因为        3 ln 1 ln 1 3f x x x f x       ， 6 / 25 所以函数  f x 的图象关于 3x  对称，因此本选项正确； B：由 A 知    3 3f x f x    ，所以  f x 的图象不关于点 3,0 对称，因此本选项不正确； C：       2ln 2 ln 4 ln( 6 8)x x xf x x        函数 2 26 8 ( 3) 1y x x x        在  2,3x 时，单调递增， 在  3,4x 时，单调递减，因此函数  f x 在  2,3x 时单调递增，在  3,4x 时单调递减，故本选项不 正确； D：由 C 的分析可知本选项不正确， 故选：A 7．（2021·安徽高三二模（理））函数   n xf x x a ，其中 1a  ， 1n  ， n 为奇数，其图象大致为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 分析  f x 在 0,  、 ,0 上的函数值符号，及该函数在 0,  上的单调性，结合排除法可得出合适 的选项. 【详解】 对任意 xR ， 0xa  ，由于 1n  ， n 为奇数，当 0x  时， 0nx  ，此时   0f x  ， 当 0x  时， 0nx  ，此时   0f x  ，排除 AC 选项； 当 0x  时，任取 1x 、  2 0,x   且 1 2x x ，则 1 2 0x xa a  ， 1 2 0n nx x  ，所以    1 2f x f x ， 7 / 25 所以，函数  f x 在 0,  上为增函数，排除 D 选项. 故选：B. 8．（2021·浙江高三专题练习）已知函数 f(x)＝ 1 3 3 1, ,log 1 x x x x    则函数 y＝f(1－x)的大致图象是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 由  f x 得到  1f x 的解析式，根据函数的特殊点和正负判断即可. 【详解】 因为函数  f x 1 3 3 , 1 log , 1 x x x x     ， 所以函数  1f x   1 1 3 3 , 0 log 1 , 0 x x x x      ， 当 x＝0 时，y＝f(1)＝3，即 y＝f(1－x)的图象过点(0，3)，排除 A； 当 x＝－2 时，y＝f(3)＝－1，即 y＝f(1－x)的图象过点(－2，－1)，排除 B； 当 0x  时，  1 3 1 1, (1 ) log 1 0x f x x      ，排除 C， 故选：D． 9.【多选题】（2021·浙江高一期末）如图，某池塘里浮萍的面积 y（单位： 2m ）与时间 t（单位：月）的关 系为 ty a ．关于下列法正确的是（ ） 8 / 25 A．浮萍每月的增长率为 2 B．浮萍每月增加的面积都相等 C．第 4 个月时，浮萍面积不超过 280m D．若浮萍蔓延到 22m 、 24m 、 28m 所经过的时间分别是 1t 、 2t 、 3t ，则 2 1 32t t t  【答案】AD 【解析】 根据图象过点求出函数解析式，根据四个选项利用解析式进行计算可得答案. 【详解】 由图象可知，函数图象过点 (1,3) ，所以 3a  ， 所以函数解析式为 3ty  ， 所以浮萍每月的增长率为 13 3 2 3 23 3 t t t t t     ，故选项 A 正确； 浮萍第一个月增加的面积为 1 03 3 2  平方米，第二个月增加的面积为 2 13 3 6  平方米，故选项 B 不正 确； 第四个月时，浮萍面积为 43 81 80  平方米，故 C 不正确； 由题意得 13 2t  ， 23 4t  ， 33 8t  ，所以 1 3log 2t  ， 2 3log 4t  ， 3 3log 8t  ， 所以 2 1 3 3 3 3 3 3 3 2log 2 log 8 log (2 8) log 16 log 4 2log 4 2t t t         ，故 D 正确. 9 / 25 故选：AD 10．（2020·全国高一单元测试）函数 ( ) 2xf x  和 ( ) 3g x x 的图象如图所示，设两函数的图象交于点 1 1( , )A x y ， 2 2( , )B x y ，且 1 2x x ． （1）请指出图中曲线 1C ， 2C 分别对应的函数； （2）结合函数图象，比较 (3)f ， (3)g ， (2020)f ， (2020)g 的大小． 【答案】（1） 1C 对应的函数为 ( ) 3g x x ， 2C 对应的函数为 ( ) 2xf x  ；（2） (2020) (2020) (3) (3)f g g f   ． 【解析】 （1）根据指数函数和一次函数的函数性质解题；（2）结合函数的单调性及增长快慢进行比较. 【详解】 （1） 1C 对应的函数为 ( ) 3g x x ， 2C 对应的函数为 ( ) 2xf x  ． （2） (0) 1f  ， (0) 0g  ， (0) (0)f g  ， 又 (1) 2f  ， (1) 3g  ， (1) (1)f g  ，  1 0,1x  ； (3) 8f  ， (3) 9g  ， (3) (3)f g  ， 又 (4) 16f  ， (4) 12g  ， (4) (4)f g  ，  2 3,4x  ． 10 / 25 当 2x x 时， ( ) ( )f x g x ， (2020) (2020)f g  ． (2020) (2020) (3) (3)f g g f    ． 1．（2021·湖南株洲市·高三二模）若函数  2 ( ) mxf x e n  的大致图象如图所示，则（ ） A． 0,0 1m n   B． 0, 1m n  C． 0,0 1m n   D． 0, 1m n  【答案】B 【解析】 令 ( ) 0f x  得到 1 lnx nm  ，再根据函数图象与 x 轴的交点和函数的单调性判断. 【详解】 令 ( ) 0f x  得 mxe n ，即 lnmx n ， 解得 1 lnx nm  ， 由图象知 1 l 0nx m n  ， 当 0m  时， 1n  ，当 0m  时， 0 1n  ，故排除 AD， 当 0m  时，易知 mxy e 是减函数， 当 x   时， 0y  ，   2f x n ，故排除 C 故选：B 2．（2021·甘肃高三二模（理））关于函数 ( ) ln | 1| ln | 1|f x x x    有下列结论，正确的是（ ） A．函数 ( )f x 的图象关于原点对称 B．函数 ( )f x 的图象关于直线 1x  对称 11 / 25 C．函数 ( )f x 的最小值为 0 D．函数 ( )f x 的增区间为 ( 1,0) ， (1, ) 【答案】D 【解析】 A.由函数的奇偶性判断；B.利用特殊值判断；C.利用对数函数的值域求解判断；D.利用复合函数的单调性判 断. 【详解】 2( ) ln | 1| ln | 1| ln | 1|f x x x x      ， 由 1 0 1 0 x x      ，解得 1x   ，所以函数的定义域为 | 1x x   ， 因为 ( ) ln | 1| ln | 1| ln | 1| ln | 1| ( )f x x x x x f x            ,所以函数为偶函数，故 A 错误. 因为 (0) ln | 1| 0, (3) ln8f f    ，所以 (0) (3)f f ，故 B 错误； 因为  2| 1| 0,x    ，所以 ( )f x R ，故 C 错误； 令 2| 1|t x  ，如图所示： ，t 在 , 1 ,[0,1)  上递减，在  ( 1,0], 1,  上递增，又 lny t 在 0,  递增，所以函数 ( )f x 的增区间为 ( 1,0) ， (1, ) ，故 D 正 确； 故选：D 3．（2021·吉林长春市·东高三其他模拟（理））函数 ln xy x  的图象大致为（ ） 12 / 25 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 求出函数 ln xy x  的定义域，利用导数分析函数的单调性，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】 对于函数 ln xy x  ，则有 0 ln 0 x x    ，解得 0x  且 1x  ， 所以，函数 ln xy x  的定义域为   0,1 1, ，排除 AB 选项； 对函数 ln xy x  求导得  2 ln 1 ln xy x   . 当 0 1x  或1 x e  时， 0y  ；当 x e 时， 0y  . 所以，函数 ln xy x  的单调递减区间为 0,1 、  1,e ，单调递增区间为  ,e  ， 当 0 1x  时， 0ln xy x   ，当 1x  时， 0ln xy x   ，排除 D 选项. 故选：C. 4．（2021·海原县第一中学高三二模（文））函数 2 x x xy e  的大致图象是（ ） 13 / 25 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 利用导数可求得 2 x x xy e  的单调性，由此排除 AB；根据 0x  时， 0y  可排除 C，由此得到结果. 【详解】 由题意得：    2 2 2 2 1 1x x x x x e x x e x xy e e         ， 令 0y  ，解得： 1 1 5 2x  ， 2 1 5 2x  ， 当 1 5 1 5, ,2 2x                   时， 0y  ；当 1 5 1 5,2 2x       时， 0y  ； 2 x x xy e   在 1 5, 2      ， 1 5 ,2       上单调递减，在 1 5 1 5,2 2       上单调递增，可排除 AB； 当 0x  时， 0y  恒成立，可排除 C. 故选：D. 5．（2021·天津高三三模）意大利画家列奥纳多·达·芬奇的画作《抱银鼠的女子》（如图所示）中，女士颈部 14 / 25 的黑色珍珠项链与她怀中的白貂形成对比.光线和阴影衬托出人物的优雅和柔美.达·芬奇提出：固定项链的两 端，使其在重力的作用下自然下垂，形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”.后人研究得出，悬链 线并不是抛物线，而是与解析式为 2 x xe ey  的“双曲余弦函数”相关.下列选项为“双曲余弦函数”图象的是 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 分析函数 2 x xe ey  的奇偶性与最小值，由此可得出合适的选项. 【详解】 令   e e 2 x x f x  ，则该函数的定义域为 R ，    2 x xe ef x f x     ， 所以，函数   e e 2 x x f x  为偶函数，排除 B 选项. 由基本不等式可得   1 2 12 x xf x e e    ，当且仅当 0x  时，等号成立， 15 / 25 所以，函数  f x 的最小值为    min 0 1f x f  ，排除 AD 选项. 故选：C. 6．（2021·浙江高三月考）函数  3log 0 1ay x ax a    的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 先求出函数的定义域，判断函数的奇偶性，构造函数，求函数的导数，利用是的导数和极值符号进行判断 即可. 【详解】 根据题意，   3logaf x x ax  ，必有 3 0x ax  ，则 0x  且 x a  ， 即函数的定义域为{ | 0x x  且 }x a  ，        3 3log loga ax a x xf f xaxx       ， 则函数 3logay x ax  为偶函数，排除 D， 设   3g x x ax  ，其导数   23g x x a   ，由   0g x  得 3 3 ax   ， 当 3 3 ax  时，   0g x  ，  g x 为增函数，而  f x 为减函数，排除 C， 16 / 25 在区间 3 3,3 3 a a     上，   0g x  ，则  g x 在区间 3 3,3 3 a a     上为减函数， 在区间 3 ,3 a     上，   0g x  ，则  g x 在区间 3 ,3 a     上为增函数，   0g a  ， 则  g x 存在极小值 3 3 3 3 2 3 3 3 3 9 a a a aag a                  ， 此时  g x 存在极大值  2 3   0,19 aa ，此时   0f x  ，排除 A， 故选：B. 7.（2019·北京高三高考模拟（文））当 x∈[0，1]时，下列关于函数 y= 2( 1)mx  的图象与 y x m  的 图象交点个数说法正确的是（ ） A．当  m 0,1 时，有两个交点 B．当  m 1,2 时，没有交点 C．当  m 2,3 时，有且只有一个交点 D．当  m 3,   时，有两个交点 【答案】B 【解析】 设 f（x）= 2( 1)mx  ，g（x）= x m ，其中 x∈[0，1] A．若 m=0，则 ( ) 1f x  与 ( )g x x 在[0，1]上只有一个交点 (1,1) ，故 A 错误． B．当 m∈（1，2）时， 1 1 1 ( ) (0) 1, ( ) (0) 1 ( ) ( )2 f x f g x g m f x g xm           即当 m∈（1，2]时，函数 y= 2( 1)mx  的图象与 y x m  的图象在 x∈[0，1]无交点，故 B 正确， C．当 m∈（2，3]时， 21 1 1 ( ) (1) ( 1) , ( ) (1) 13 2 f x f m g x g mm          ， 当 21 ( 1)m m   时 ( ) ( )f x g x ，此时无交点，即 C 不一定正确． D．当 m∈（3，+∞）时，g（0）= m ＞1，此时 f（1）＞g（1），此时两个函数图象只有一个交点，故 D 错误， 17 / 25 故选：B． 8.（2021·浙江高三专题练习）若关于 x 的不等式 34 log 2 x a x  在 10, 2x     恒成立，则实数 a 的取值范 围是（ ） A． 1 ,14     B． 10, 4     C． 3 ,14     D． 30, 4      【答案】A 【解析】 转化为当 10, 2x     时，函数 34 2 xy   的图象不在 logay x 的图象的上方，根据图象列式可解得结果. 【详解】 由题意知关于 x 的不等式 34 log2 x a x  在 10, 2x     恒成立， 所以当 10, 2x     时，函数 34 2 xy   的图象不在 logay x 的图象的上方， 18 / 25 由图可知 0 1 1 1log 2 2a a   ，解得 1 14 a  . 故选：A 9.对 a 、bR ，记   ,max , , a a ba b b a b    ≥ ，函数  2( ) max | |, 2 4 ( )f x x x x x    R ． （1）求 (0)f ， ( 4)f  ． （2）写出函数 ( )f x 的解析式，并作出图像． （3）若关于 x 的方程 ( )f x m 有且仅有 3个不等的解，求实数 m 的取值范围．（只需写出结论） 【答案】见解析． 【解析】解：（1）∵   ,max , , a a ba b b a b    ≥ ，函数  2( ) max | |, 2 4f x x x x    ， ∴  (0) max 0,4 4f   ，  ( 4) max 4, 4 4f     ． （2） （3） 5m  或 17 1 2m  ． 10．（2021·全国高一课时练习）函数   2xf x  和    3 0g x x x  的图象，如图所示．设两函数的图象交 19 / 25 于点  1 1A x y， ，  2 2B x y， ，且 1 2x x ． （1）请指出示意图中曲线 1C ， 2C 分别对应哪一个函数； （2）结合函数图象，比较  8f ，  8g ，  2015f ，  2015g 的大小． 【答案】（1） 1C 对应的函数为    3 0g x x x  ， 2C 对应的函数为   2xf x  ；（2）        2015 2015 8 8f g g f   ． 【解析】 （1）根据图象可得结果； （2）通过计算可知 1 28 2015x x   ，再结合题中的图象和  g x 在 0  ， 上的单调性，可比较  8f ，  8g ，  2015f ，  2015g 的大小. 【详解】 （1）由图可知， 1C 的图象过原点，所以 1C 对应的函数为    3 0g x x x  ， 2C 对应的函数为   2xf x  ． （2）因为 1 1g （） ， 1 2f （） ， 2 8g （ ） ， 2 4f （ ） ，  9 729g  ，  9 512f  ，  10 1000g  ，  10 1024f  ，所以 1 1f g（） （）， 2 2f g（ ） （ ），    9 9f g ，    10 10f g ． 所以 11 2x  ， 29 10x  ．所以 1 28 2015x x   ． 从题中图象上知，当 1 2x x x  时，    f x g x ；当 2x x 时，    f x g x ，且  g x 在 0  ， 上是 增函数，所以        2015 2015 8 8f g g f   ． 1. （2020·天津高考真题）函数 2 4 1 xy x   的图象大致为（ ） 20 / 25 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 由函数的解析式可得：    2 4 1 xf x f xx     ，则函数  f x 为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选 项 CD 错误； 当 1x  时， 4 2 01 1y    ，选项 B 错误. 故选：A. 2.（2019 年高考全国Ⅲ卷理）函数 32 2 2x x xy   在 6,6 的图像大致为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 21 / 25 【解析】设 32( ) 2 2x x xy f x    ，则 3 32( ) 2( ) ( )2 2 2 2x x x x x xf x f x         ，所以 ( )f x 是奇函数，图象 关于原点成中心对称，排除选项 C． 又 3 4 4 2 4(4) 0,2 2f    排除选项 D； 3 6 6 2 6(6) 72 2f    ，排除选项 A， 故选 B． 3.（2020·天津高考真题）已知函数 3, 0,( ) , 0. x xf x x x    … 若函数 2( ) ( ) 2 ( )g x f x kx x k   R 恰有 4 个零点，则 k 的取值范围是（ ） A． 1, (2 2, )2       B． 1, (0,2 2)2      C． ( ,0) (0,2 2)  D． ( ,0) (2 2, )  【答案】D 【解析】 注意到 (0) 0g  ，所以要使 ( )g x 恰有 4 个零点，只需方程 ( )| 2 | | | f xkx x   恰有 3 个实根 即可， 令 ( )h x  ( ) | | f x x ，即 | 2 |y kx  与 ( )( ) | | f xh x x  的图象有3个不同交点. 因为 2, 0( )( ) 1, 0 x xf xh x x x      ， 当 0k  时，此时 2y  ，如图 1， 2y  与 ( )( ) | | f xh x x  有 2 个不同交点，不满足题意； 当 k 0 时，如图 2，此时 | 2 |y kx  与 ( )( ) | | f xh x x  恒有 3个不同交点，满足题意； 当 0k  时，如图 3，当 2y kx  与 2y x= 相切时，联立方程得 2 2 0x kx   ， 令 0  得 2 8 0k   ，解得 2 2k  （负值舍去），所以 2 2k  . 22 / 25 综上， k 的取值范围为 ( ,0) (2 2, )  . 故选：D. 4.（2019 年高考全国Ⅱ卷理）设函数 ( )f x 的定义域为 R，满足 ( 1) 2  ( )f x f x  ，且当 (0,1]x 时， ( ) ( 1)f x x x  ．若对任意 ( , ]x m  ，都有 8( ) 9f x   ，则 m 的取值范围是 A． 9, 4     B． 7, 3     C． 5, 2     D． 8, 3     【答案】B 【解析】∵ ( 1) 2  ( )f x f x  ， ( ) 2 ( 1)f x f x   ． ∵ (0,1]x 时， 1( ) ( 1) [ ,0]4f x x x    ； ∴ (1,2]x 时， 1 (0,1]x   ， 1( ) 2 ( 1) 2( 1)( 2) ,02f x f x x x           ； ∴ (2,3]x 时， 1 (1,2]x   ， ( ) 2 ( 1) 4( 2)( 3) [ 1,0]f x f x x x       ， 23 / 25 如图： 当 (2,3]x 时，由 84( 2)( 3) 9x x    解得 1 7 3x  ， 2 8 3x  ， 若对任意 ( , ]x m  ，都有 8( ) 9f x   ，则 7 3m  . 则 m 的取值范围是 7, 3     . 故选 B. 5.（2017·天津高考真题（文））已知函数 ′〴⸲ 㘱 〴 ȁ ൅〴 ʹ 〴 ȁ 〴 ൅〴 ．设 ，若关于 〴 的不等式 ′〴⸲ 〴 ȁ 在 上恒成立，则 的取值范围是 A． ൅㈮ B． ൅㈮C． ൅ ㈮ D． ൅ ㈮【答案】A 【解析】满足题意时 〴 的图象恒不在函数 㘱 〴 ȁ 下方， 当 㘱 时，函数图象如图所示，排除 C,D 选项； 24 / 25 当 㘱 时，函数图象如图所示，排除 B 选项， 本题选择 A 选项. 6.（2018·全国高考真题（文））设函数   2 0 1 0 x xf x x     ， ， ，则满足    1 2f x f x  的 x 的取值范围是 （ ） A． 1 ， B． 0  ， C． 1 0 ， D． 0， 【答案】D 【解析】 分析：首先根据题中所给的函数解析式，将函数图像画出来，从图中可以发现若有    1 2f x f x  成立， 25 / 25 一定会有 2 0 2 1 x x x     ，从而求得结果. 详解：将函数  f x 的图像画出来，观察图像可知会有 2 0 2 1 x x x     ，解得 0x  ，所以满足    1 2f x f x  的 x 的取值范围是  0， ，故选 D.