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专题 6.2 平面向量的基本定理及坐标表示
1．（2021·全国高一课时练习）已知向量 1,2a ， 3, 1b ， ,2c m ， (2 )c a b ，则 m 的值
为（ ）
A． 2 B． 3 C．2 D．10
【答案】C
【解析】
先求出 2a b 的坐标，再借助向量垂直的坐标表示即可得解.
【详解】
因 1,2a ， 3, 1b ，则 2 5,5a b ，而 ,2c m ， (2 )c a b ，
于是得 (2 ) 0c a b ，即 5 5 2 0m ，解得 2m ，
所以 m 的值为 2.
故选：C
2．（2021·全国高三其他模拟（文））已知 2 4, 4,3a b a b ， ，记 a 与b 夹角为 ，则 cos 的值
为（ ）
A． 13
20 B． 5
16
C． 3
4 D． 5
7
【答案】B
【解析】
利用平面向量数量积的定义以及模长公式求解即可.
【详解】
因为 4,3a b ，所以 5a b ，
因为 2 22( ) 2a b a b a a b b ，
所以 25 4 16 16cos ，所以 5cos 16
．
故选: B .
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3.（2021·天津和平区·高一期末）已知正方形 ABCD 的边长为 2， E 是 BC 的中点， F 是线段 AE 上的点，
则 AF CF 的最小值为（ ）
A． 9
5 B． 9
5
C．1 D． 1
【答案】B
【解析】
根据题意，建立适当的平面直角坐标系，转化为坐标运算即可.
【详解】
如图所示，建立平面直角坐标系，
由题意知， 0,0A ， 2,1E ， 2,2C ，
由 F 是线段 AE 上的点，设 , 2
xF x
，且 0 2x ，
因此 , 2
xAF x
， 2, 22
xCF x
，
故
252 2 32 2 4
x x xAF x x xCF
，
因 0 2x ，所以当 6
5x 时， AF CF 取最小值 9
5
.
故选：B.
4．（2021·全国高三其他模拟（文））如图，平行四边形 ABCD中，E是AD 的中点，F在线段BE上，且 3BF FE ，
记 a BA ，b BC ，则CF （ ）
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A． 2 1
3 3a b
B． 2 1
3 3a b
C． 1 3
4 8a b
D． 3 5
4 8a b
【答案】D
【解析】
取 a BA ，b BC 作为基底，把 BE
、BF
用基底表示出来，利用向量的减法即可表示出 CF
.
【详解】
取 a BA ，b BC 作为基底，则 1
2BE a b
.
因为 3BF FE ，所以 3 3 1 3 3
4 4 2 4 8BF BE a b a b
，
所以 3 3 3 5
4 8 4 8CF BF BC a b b a b
.
故选：D.
5.（2021·全国高一专题练习）已知 A B P， ， 三点共线，O 为直线外任意一点，若OP xOA yOB
，则
x y ________.
【答案】1
【解析】
由共线可设 AB BP
，进而得OB OA OP OB
，化简对应的 ,x y 即可得解.
【详解】
∵ , ,A B P 三点共线，
∴存在非零实数 ，使得 AB BP
，
∴OB OA OP OB
∴ 1 1OP OB OA
∵OP xOA yOB
，
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∴ 1 1 1x y
.
故答案为：1
6．（辽宁高考真题）在平面直角坐标系 xoy 中，四边形 ABCD 的边 / /AB DC ， / /AD BC ，已知点 2 0A ， ，
6 8B ， ， 8,6C 则 D 点的坐标为___________.
【答案】 0, 2
【解析】
平行四边形 ABCD 中，OB OD OA OC ，
∴ 2,0 8,6 6,8 0, 2OD OA OC OB ，
即 D 点坐标为 0, 2 ，故答案为 0, 2 .
7．（2021·中牟县教育体育局教学研究室高一期中）设已知向量 1,1a ，向量 3,2b
.
（1）求向量 2a b 的坐标；
（2）当 k 为何值时，向量 ka b 与向量 2a b 垂直.
【答案】（1） 7, 3 ；（2） 27
4k .
【解析】
（1）进行向量坐标的减法和数乘运算即可得出 2 (7, 3)a b ；
（2）可求出 ( 3, 2)ka b k k ，然后根据 ka b 与 2a b 垂直即可得出 7( 3) 3( 2) 0k k ，解出 k 即
可．
【详解】
（1）∵ 1,1a ， 3,2b ，
∴ 2 7, 3a b rr .
（2）∵ 3, 2ka b k k rr ，且 ka b 与 2a b 垂直，
∴ 7 3 3 2 0k k ，解得 27
4k .
8．（2021·江西新余市·高一期末（文））已知| | 4a ， ( 1, 3)b
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（1）若 //a b
，求 a
的坐标；
（2）若 a
与b
的夹角为 120°，求 a b
r r
.
【答案】（1） 2, 2 3 或 2,2 3 ；（2） 2 7 .
【解析】
（1）先求与向量b
共线的单位向量，结合 //a b
，即可得出 a
的坐标；
（2）先根据夹角求出 a b ，根据模的运算律 2 2
a a ，即可得到 a b
r r
.
【详解】
解：（1） 1, 3b
， | | 2b
与b
共线的单位向量为 1 3,2 2
bc
b
.
| | 4a
， //a b
，
| | 2, 2 3a a c
或 2,2 3 .
（2） | | 4a
，| | 2b ， , 120a b ，
| || | cos , 4a b a b a b
，
2 22( ) 2 28a b a a b b ，
| | 2 7a b
.
9．（2021·全国高一专题练习）如图，在
△
ABC 中，D，E 分别为 AC，AB 边上的点， 1
2
CD AE
DA EB
，记 BC a
，
CA b
.试用向量 a
， b
表示 DE
.
【答案】 1 ( )3DE b a
【解析】
根据向量的减法及向量的数乘，化简即可求解.
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【详解】
因为 1 1 1( ) ( )3 3 3AE AB CB CA a b
， 2 2
3 3AD AC b
，
所以 1 2 1( ) ( ) ( )3 3 3DE AE AD a b b b a
.
即 1 ( )3DE b a
10．（2021·江西省万载中学高一期末（理））已知向量 (1, 3), (1, )a b t
，若 ( 2 )a b a
，
（1）求向量 a
与 b
的夹角；
（2）求 3a b
的值．
【答案】（1） 3
4
；（2）5 5 ．
【解析】
（1）根据 ( 2 )a b a
得到 2t ，再求出 = 5a b
， 10a
， 5b
，即得解；（2）直接利用向量的
模的坐标公式求解.
【详解】
（1） (1,-3), (1, )a b t
， 2 3, 3 2a b t
，
( 2 )a b a
， ( 2 ) =3 1 3 2 -3 0a b a t
（ ） ，解得 2t ，
1 1 -3 2 5a b
（ ） ， 10a
， 5b
，
5 2cos , 210 5
a ba b
a b
，
所以向量 a
与 b
的夹角为 3
4
.
（2）
2 2 2
3 9 6 9 10 6 -5 5 125a b a a b b
（ ） ，
3 5 5a b
．
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1．【多选题】（2021·浙江高一期末）任意两个非零向量和 m
， n
，定义： m nm n n n
，若平面向量 ,a b
满足| | 2 | | 0a b ，a 与 b 的夹角 πθ 0, 3
骣琪Î 琪桫
，且 a b 和 b a 都在集合
4
n n Z
中，则 a b 的值可
能为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】CD
【解析】
由已知得集合{ | }4
n n Z 的元素特征，再分析 a b 和b a 的范围，再由定义计算后，可得答案.
【详解】
首先观察集合 3 1 1 1 1 3{ | } , 1, , , ,0, , , ,1,4 4 2 4 4 2 4
n n Z
，从而分析 a b 和 b a 的范围如下：
因为 (0, )3
，∴ 1 cos 12
，而 cos
bb ab a a a a
，且| | 2 | | 0a b ，
可得 10 cos 2
b
a
，
又∵ b a { | }4
n n Z 中，∴ 1cos 4
b
a
，从而 1
4cos
b
a
，
∴ 2cos 4cosaa ba b
b b b
，又 21 cos 14
，所以 21 4cos 4a b ．且 a b 也在集
合{ | }4
n n Z 中，
故有 2a b 或3．
故选：CD.
2．（2021·江西新余市·高一期末（文））如图所示，A，B，C 是圆 O 上的三点，线段 CO的延长线与 BA 的
延长线交于圆 O 外的一点 D，若OC mOA nOB ，则 m n 的取值范围是___________.
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【答案】 ( 1,0)
【解析】
如图所示，由 A ， B ， D 三点共线，利用向量共线定理可得：存在实数 满足 (1 )OD OA OB ，
OD tOC ， 1t ， (1 )tOC OA OB ，即 1OC OA OBt t
，与OC mOA nOB 两比较，即
可得出．
【详解】
解：如图所示，
A ， B ， D 三点共线，
存在实数 满足 (1 )OD OA OB ，
又OD tOC ， 1t ，
(1 )tOC OA OB ，
即 1OC OA OBt t
，与OC mOA nOB 两比较，
可得 m t
， 1n t
，
则 1 ( 1,0)m n t
．
m n 的取值范围是 ( 1,0) ．
故答案为： ( 1,0) ．
3．（2021·宁夏银川市·高三其他模拟（理））已知 A (1，1)， B (0，1)，C (1，0)， M 为线段 BC 上一点，
且CM CB ，若 MA BC MB MC ，则实数 的取值范围是___________.
【答案】 21 ,12
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【解析】
根据 CM CB 可得 1x
y
，再表示出 MA MB MC BC
， ， ， 坐标，由条件可得 2 2 2 0x y y ，再将
1x
y
代入可得关于 的不等式，从而可得答案.
【详解】
解析：设点 ,M x y ，由 CM CB ，得 1, 1,1x y ，所以 1x
y
.
因为 MA BC MB MC ，所以 1 ,1 1, 1 ,1 1 ,x y x y x y ，
即 2 21 1x y x x y y ，化简得 2 2 2 0x y y
将 1x
y
代入 2 2 2 0x y y ，得 2 21 2 0 ，即 22 4 1 0 ，
解得 2 21 12 2
.
因为 M 为线段 BC 上一点，且 CM CB ，所以 0 1≤ ≤ .综上，可知 21 12
.
故实数 的取值范围是 21 ,12
.
4．（江苏高考真题）在同一个平面内，向量
的模分别为
与
的夹角为
，且
tan ㌳ 与
的夹角为
，若
，则
_________．
【答案】
【解析】
以
为
轴，建立直角坐标系，则
䁠
，由
的模为
与
与
的夹角为
，且
tan ㌳
知，
cos
䁠 th
䁠
，可得
㌳
cos
th
，
，由
可得
㌳
㌳
㌳
，
，故答案为
.
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5．（2021·福建漳州市·高一期末）在平面直角坐标系 xOy 中，已知向量 2 2,2 2m
， sin ,cosn x x ，
0,x ．若 //m n
ur r ，则 x ______；若存在两个不同的 x 值，使得 n m t n
恒成立，则实数t 的取值
范围为______．
【答案】 3
4
2 2,2 ．
【解析】
根据向量平行的坐标表示可求 3
4x ；用坐标表示出 n m t n
，结合三角函数的图象可得实数t 的取值
范围.
【详解】
由向量共线得 2 2cos sin2 2x x ，则 tan 1x ，
又 0,x ，则 3
4x ；
计算得 2 2sin ,cos2 2m n x x
，
则
2 2
2 2sin cos 2 2sin2 2 4m n x x x
，
又存在两个不同的 x 值，使得 n m t n
恒成立，
则 2 2sin 4t x
在 0, 上有两个不同的解，
令 2 2sin , 0,4y x x
，由 0,x ，得 3,4 4 4x
，
作出简图如下，所以有 2 2 2t ．
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故答案为： 3
4
； 2 2,2 ．
6．（2021·天津滨海新区·高一期末）已知四边形 ABCD ， 0AB BC ， AD BC
uuur uuur ， 1AB AD ，且
2
2| | | |
CB CD
CB CD
，（i） ___________；（ii）若 2DE EC ，动点 F 在线段 BE 上，则 DF FC 的最大
值为___________.
【答案】 1
2
6
13
【解析】
利用向量的数量积可得
4BCD ，过点 D 作 BC 的垂线，垂足为O ，可得 1DO OC ，进而可得
2BC AD ，求出 ；以 B 为坐标原点， ,BC BD 为 ,x y 建立平面直角坐标系，首先求出点 E 坐标，设
,F x y ，利用向量共线求出 5x y ，再由向量数量积的坐标运算即可求解.
【详解】
由 2
2| | | |
CB CD
CB CD
，则 1 2 1 2
2cos 2e e e e BCD ,
因为 0,BCD ，所以
4BCD ，
过点 D 作 BC 的垂线，垂足为 O ，可得 1DO OC ，
因为 1AB AD ，所以 2BC AD ，
由 AD BC
uuur uuur ，所以 1
2
.
以 B 为坐标原点， ,BC BD 为 ,x y 建立平面直角坐标系，如图：
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则 1,1D ， 2,0C ，设 ,E m n
由 2DE EC ，即 1, 1 2 2 ,0m n m n ，
解得 5 1,3 3m n ，即 5 1,3 3E
，
设 ,F x y ， 50 3x ， 10 3y ，
则 5 1,3 3BE
， ,BF x y ，
因为 , ,B F E 三点共线，
所以 5 1
3 3y x ，即 5x y ，
1, 1DF x y ， 2 ,FC x y ，
所以 21 2 1 5 1 2 5DF FC x x y y y y y y
2
2 4 626 16 2 26 13 13y y y
，
当 4
13y 时， DF FC 取得最大值为 6
13 .
故答案为： 1
2
； 6
13
7．（2021·全国高一专题练习）已知 A(-2，4)，B(3，-1)，C(-3，-4).设 , ,AB a BC b CA c ，且
3 , 2CM c CN b
.
（1）求3 3a b c ；
（2）求满足 a mb nc 的实数 m，n；
（3）求 M，N 的坐标及向量 MN
的坐标.
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【答案】（1）(6，-42)；（2） 1
1
m
n
；（3）M(0，20)，N(9，2)， (9, 18)MN
.
【解析】
（1）利用向量加、减、数乘的坐标运算即可求解.
（2）利用向量加法的坐标运算以及向量相等即可求解.
（3）利用向量减法的坐标运算即可求解.
【详解】
由已知得 a
=(5，-5)，b
=(-6，-3)， c
=(1，8).
（1）3 3a b c =3(5，-5)+(-6，-3)-3(1，8)
=(15-6-3，-15-3-24)=(6，-42).
（2）∵ mb nc =(-6m+n，-3m+8n)，
∴ 6 5
3 8 5
m n
m n
，解得 1
1
m
n
.
（3）设 O 为坐标原点，∵ 3CM OM OC c ，
∴ 3OM c OC= + =(3，24)+(-3，-4)=(0，20).
∴M(0，20).
又∵ 2CN ON OC b ，
∴ 2ON b OC= - + =(12，6)+(-3，-4)=(9，2)，
∴N(9，2)，∴ MN
=(9，-18).
8．（2021·全国高一课时练习）已知
△
ABC 的面积为 S 满足 3 2 3S ，且 AB
· BC
＝3， AB
与 BC
的夹
角为θ.求 AB
与 BC
夹角的取值范围．
【答案】 ,6 4
.
【解析】
可设 AB
与 BC
夹角为 ，则据题意得出 为锐角，且 3| || | cosAB BC ，从而根据 ABC 的面积 3 3[ , ]2 2S
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可得出 3 tan 13
，这样根据正切函数在 (0, )2
的单调性即可求出 的范围．
【详解】
解： 3AB BC ，
,AB BC
的夹角为锐角，设 ,AB BC
的夹角为 ，则：| || | cos 3AB BC ，
3| || | cosAB BC ，
又 3 3[ , ]2 2S ；
3 1 3| || | sin2 2 2AB BC
，
3 1 3| || | sin2 2 2AB BC
，
3 3 3tan2 2 2
，
3 tan 13
，
6 4
，
AB
与 BC
夹角的取值范围为[ , ]6 4
．
9．（2021·全国高一专题练习）已知 O，A，B 是不共线的三点，且 ( , )OP mOA nOB m n R
（1）若 m+n=1，求证：A，P，B 三点共线；
（2）若 A，P，B 三点共线，求证：m+n=1.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
（1）由 1m n 原式可代换为 1OP mOA m OB ，再由 1OP m m OP
，两式联立变形即可
求证；
（2）由 A，P，B 三点共线，可得 AP PB ，变形得 OP OA OB OP ，整理成OP
关于 ,OA OB
的
表达式，再结合OP mOA nOB ，由对应关系即可求证
【详解】
（1）证明：
若 m+n=1，则 1OP mOA m OB ， 1OP m m OP
，
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故 1 1mOP m OP mOA m OB ，即 1m OP OA m OB OP ，
1mAP m PB ，即 ,AP BP
共线，又 ,AP BP
有公共点，则 A，P，B 三点共线；
（2）证明：
若 A，P，B 三点共线，则存在实数λ，使得 AP PB ，变形得 OP OA OB OP ，即
1 OP OB OA ，
1 1 1
OB OA OB OAOP
，又OP mOA nOB ， 1 11 1
，故 1m n
10．（2021·北京首都师大二附高一期末）在
△
ABC 中.∠BAC=120°，AB=AC=1
（1）求 AB BC 的值；
（2）如图所示，在直角坐标系中，点 A 与原点重合，边 AB 在 x 轴上，设动点 P 在以 A 为圆心，AB 为半
径的劣弧 BC 上运动.求
BP CP 的最小值.
【答案】（1） 3
2
；（2） 1
2
.
【解析】
（1）由 10B , ， 1 3,2 2C
，利用坐标公式求得数量积即可.
（2）设点 P 坐标为 2cos ,sin 0 3
，求得
BP CP
1 sin2 6
，利用三角函数的最值求
得数量积的最值.
【详解】
解：（1） 10B , ， 1 3,2 2C
，
AB BC 3 3 31,0 ,2 2 2
.
16 / 18
（2）点 P 在以 A 为圆心， AB 为半径的劣弧 BC 上运动，
设点 P 坐标为 2cos ,sin 0 3
，
又 10B , ， 1 3,2 2C
，
BP CP 1 3cos 1,sin cos ,sin2 2
2 21 1 3cos cos cos sin sin2 2 2
1 sin2 6
，
又 20 3
，则 5
6 6 6
1 sin 12 6
，
故当sin 16
时，
BP CP 有最小值 1
2
.
1.（2019·全国高考真题（理））已知 AB =(2,3)， AC =(3，t)，| |BC
=1，则 AB BC =（ ）
A．-3 B．-2
C．2 D．3
【答案】C
【解析】
由 (1, 3)BC AC AB t ， 2 21 ( 3) 1BC t ，得 3t ，则 (1,0)BC ，
(2,3) (1,0) 2 1 3 0 2AB BC
uuur uuur ．故选 C．
2.（2021·全国高考真题（理））已知向量 3,1 , 1,0 ,a b c a kb ．若 a c ，则 k ________．
【答案】 10
3
.
【解析】
利用向量的坐标运算法则求得向量c 的坐标，利用向量的数量积为零求得 k 的值
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【详解】
3,1 , 1,0 , 3 ,1a b c a kb k ,
, 3 3 1 1 0a c a c k ，解得 10
3k ,
故答案为： 10
3
.
3．（2021·全国高考真题（理））已知向量 1,3 , 3,4a b ，若 ( )a b b ，则 __________．
【答案】 3
5
【解析】
根据平面向量数量积的坐标表示以及向量的线性运算列出方程，即可解出．
【详解】
因为 1,3 3,4 1 3 ,3 4a b ，所以由 a b b
可得，
3 1 3 4 3 4 0 ，解得 3
5
．
故答案为： 3
5
．
4.（2021·全国高考真题（文））已知向量 2,5 , ,4a b ，若 //a b
r r ，则 _________．
【答案】 8
5
【解析】
利用向量平行的充分必要条件得到关于 的方程，解方程即可求得实数 的值.
【详解】
由题意结合向量平行的充分必要条件可得： 2 4 5 0 ，
解方程可得： 8
5
.
故答案为： 8
5 .
5.（2018·北京高考真题（文））（2018 年文北京卷）设向量 a=（1,0），b=（−1,m）,若
，则
m=_________.
【答案】-1.
18 / 18
【解析】
䁠
，
䁠
，
由
得：
䁠
，
䁠
，
即
.
6．（2020·北京高考真题）已知正方形 ABCD 的边长为 2，点 P 满足 1 ( )2AP AB AC ，则
| |PD _________； PB PD _________．
【答案】 5 1
【解析】
以点 A 为坐标原点， AB 、 AD 所在直线分别为 x 、 y 轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
则点 0,0A 、 2,0B 、 2,2C 、 0,2D ，
1 1 12,0 2,2 2,12 2 2AP AB AC ，
则点 2,1P ， 2,1PD ， 0, 1PB ，
因此， 2 22 1 5PD ， 0 2 1 ( 1) 1PB PD .
故答案为： 5 ； 1 .
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