2022年新高考数学一轮复习6.4正弦定理、余弦定理的应用（练）原卷版

1 / 10 专题 6.4 正弦定理、余弦定理的应用 1．（2021·江西省万载中学高一期末（理））在 ABC 中，已知 tan tan a ba b A B    ，则 ABC 的形状一 定是（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰或直角三角形 2．（2021·江西省万载中学高一期末（理））在 ABC 中，已知 tan tan a ba b A B    ，则 ABC 的形状一 定是（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰或直角三角形 3．（2021·辽宁高三其他模拟）英国数学家约翰・康威在数学上的成就是全面性的，其中“康威圆定理”是他 引以为傲的研究成果之一．定理的内容是：三角形 ABC 的三条边长分别为 a，b，c，分别延长三边两端， 使其距离等于对边的长度，如图所示，所得六点 1 2 1 2 1 2, , , , ,A C B A C B 仍在一个圆上，这个圆被称为康威圆．现 有一边长为 2 的正三角形，则该三角形生成的康威圆的面积是（ ） A．9 B．14 3  C． 28 3  D． 32 3  4．（2021·黑龙江哈尔滨市·高三其他模拟（理））某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型” 气象观测仪器的垂直弹射高度：在C 处（点C 在水平地面 ABO 的下方，O 为 CH 与水平地面 ABO 的交点） 进行该仪器的垂直弹射，水平地面上两个观察点 A ，B 两地相距 100 米， 60BAC   ，其中 A 到C 的距离 比 B 到C 的距离远 40 米． A 地测得该仪器在C 处的俯角为 30OAC   ， A 地测得最高点 H 的仰角为 45OAH   ，则该仪器的垂直弹射高度 CH 为（ ） 2 / 10 A．210 米 B． 210 3 米 C． 210 210 3 米D．420 米 5．（2021·高一期中）如图所示，为测量山高 ,MN 选择 A 和另一座山的山顶 C 为测量 观测点，从 A 点测得 M 点的仰角 60 ,MAN C   点的仰角 30CAB   以及 75 ,MAC   从C 点测得 60MCA  ，若山高 100 2BC  米，则山高 MN 等于（ ） A．300米 B．360米 C． 240 米 D．320米 6．（2021·四川成都市·成都七中高一期中）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西匀速行驶，在公路北 侧远处一座高 900 米的山顶 D 的测得点 A 的在东偏南30 方向上过一分钟后测得点 B 处在山顶地的东偏南 60 方向上，俯角为 45 ，则该车的行驶速度为（ ） 3 / 10 A．15 米/秒 B．15 3 米/秒 C．20 米/秒 D．20 3 米/秒 7．（2021·山西临汾市·高三其他模拟（文））说起延安革命纪念地景区，可谓是家喻户晓，它由宝塔山、枣 园革命旧址、杨家岭革命旧址、中共中央西北局旧址、延安革命纪念馆组成.尤其宝塔山，它可是圣地延安 的标志，也是中国革命的摇篮，见证了中国革命的进程，在中国老百姓的心中具有重要地位.如图，宝塔山 的坡度比为 7 :3（坡度比即坡面的垂直高度和水平宽度的比），在山坡 A 处测得 15CAD  ，从 A 处沿 山坡往上前进 66m到达 B 处，在山坡 B 处测得 30CBD  ，则宝塔 CD 的高为（ ） A． 44m B． 42m C． 48m D． 46m 8.（2021·浙江高一期末）在 ABC 中， 2AB  ，若 1 2BC CA   ，则 A 的最大值是____________． 9．（湖北高考真题））如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 处时测得公路北侧一山顶 D 在 西偏北 的方向上，行驶 600m 后到达 处，测得此山顶在西偏北 的方向上，仰角为 ，则此山的高 度 㘠 㘸 ________ m. 4 / 10 10．（宁夏高考真题）为了测量两山顶 M，N 间的距离，飞机沿水平方向在 A，B 两点进行测量，A，B，M，N 在同一个铅垂平面内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和 A，B 间的距离，请设计一个方案，包括： ①指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；②用文字和公式写出计算 M，N 间的距离的步 骤. 1．（2021·四川自贡市·高三三模（文））如图，在山脚 A 处测得山顶 P 的仰角为α，沿倾角为β的斜坡向上走 b 米到 B 处，在 B 处测得山顶 P 的仰角为γ（A、B、P、Q 共面）则山高 P 等于（ ）米． A．     sin sin sin b        B．     sin sin sinb        5 / 10 C．     sin sinsin sin bb        D．     sin sinsin sin bb        2.（2021·黑龙江校高三月考（理））在如图所示四边形 ABCD 中，AD DC ， 5 3AC  ， 3 22BC  ， 120ADC   ， 75BCD   ，则四边形 ABCD 的面积为________. 3．（2021·高三其他模拟（文））南宋数学家秦九韶著有《数书九章》，创造了“大衍求一术”， 被称为“中国剩余定理”．他所论的“正负开方术”，被称为“秦九韶程序”．世界各国从小学、中学到大学的数 学课程，几乎都接触到他的定理、定律和解题原则．科学史家称秦九韶：“他那个民族、他那个时代，并且 确实也是所有时代最伟大的数学家之一”．在《数书九章》中提出“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂， 减中斜幂，余半之，自乘于上：以小斜幂乘大斜帮，减上，余四约之，为实：一为从隅，开平方得积可用 公式 2 2 2 2 2 21 ( )4 2       c a bS c a （其中 a，b，c，S 为三角形的三边和面积）表示．在 ABC 中，a， b，c 分别为角 A、B、C 所对的边，若 3a  ，且 22cos cos 3 cb C c B  则 ABC 面积的最大值为______． 4．（2021·河南高二月考（文））为测量山高 MN .选择 A 和另一座山的山顶 C 为测量观测点.从 A 点测得 N 点的仰角 30MAN   ，C 点的仰角 60CAB  以及 105NAC  ，从 C 点测得 30NCA   .已知山 高 150BC 米.则所求山高 MN 为___________米. 6 / 10 5．（2021·高一期中）在 ABC 中，已知 sin sin sin a b B a B A    且  cos cos 1 cos2A B C C    . （1）试确定 ABC 的形状； （2）求 a c b  的取值范围. 6．（2021·重庆市长寿中学校高三其他模拟）如图四边形 ABCD 中， 2DAB DCB     ， 3AB  ， 2BC  ， ADC 、  0,ABC   ， . （1）求 DB ； （2）求 DAC△ 面积的最大值. 从① 3 3 2ABCS △ 且 ABC 为锐角；② 2 2 2AC AB BC AB BC    ；③ 7BA BC   这三个条件中任 选一个补充在上面的问题中并作答 7．（2021·全国高一专题练习）如图，为了检测某工业区的空气质量，在点 A 处设立一个空气监测中心（大 小忽略不计），在其正东方向点 B 处安装一套监测设备．为了使监测数据更加准确，在点 C 和点 D 处，再 分别安装一套监测设备，且满足 2km, 4km,AD AB BD BC   ， 90DBC   ，设 DAB   ． 7 / 10 （1）当 2 3   ，求四边形 ABCD 的面积； （2）当 为何值时，线段 AC 最长． 8．（2021·江苏高一月考）缉私船在 A 处测出某走私船在方位角为 30°(航向)，距离为 10 海里的 C 处，并测 得走私船正沿方位角150的方向以 9 海里/时的速度沿直线方向航行逃往相距 27 海里的陆地 D 处，缉私船 立即以 v 海里/时的速度沿直线方向前去截获.(方位角：从某点的指北方向线起，依顺时针方向到目标方向线 之间的水平夹角) （1）若 21v  ，求缉私船航行的方位角正弦值和截获走私船所需的时间； （2）缉私船是否有两种不同的航向均恰能成功截获走私船？若能，求 v 的取值范围，若不能请说明理由. 9．（2021·广东汕头市·高三二模）随着人们生活水平的不断提高，人们对餐饮服务行业的要求也越来越高， 由于工作繁忙无法抽出时间来享受美食，这样网上外卖订餐应运而生.现有美团外卖送餐员小李在 A 地接到 两份外卖单，他须分别到 B 地､D 地取餐，再将两份外卖一起送到 C 地，运餐过程不返回 A 地.A，B，C，D 各地的示意图如图所示， 2kmBD  ， 2 3kmAD  ， 120ABD   ， 45DCB   ， 30CDB  ， 假设小李到达 B､D 两地时都可以马上取餐(取餐时间忽略不计)，送餐过程一路畅通.若小李送餐骑行的平均 速度为每小时 20 千米，请你帮小李设计出所有送餐路径(如： AB BD DB BC   )，并计算各种送餐 8 / 10 路径的路程，然后选择一条最快送达的送餐路径，并计算出最短送餐时间为多少分钟.(各数值保留 3 位小 数)(参考数据： 2 1.414 ， 3 1.732 ) 10．（2021·江苏扬州市·高三其他模拟）如图，某生态农庄内有一直角梯形区域 ABCD ， //AB CD ， AB BC ， 3AB  百米， 2CD  百米．该区域内原有道路 AC ，现新修一条直道 DP （宽度忽略不计）， 点 P 在道路 AC 上（异于 A ，C 两点）， 6BAC   ， DPA   ． （1）用 表示直道 DP 的长度； （2）计划在 ADP△ 区域内种植观赏植物，在 CDP 区域内种植经济作物．已知种植观赏植物的成本为每平 方百米 2 万元，种植经济作物的成本为每平方百米 1 万元，新建道路 DP 的成本为每百米 1 万元，求以上三 项费用总和的最小值． 1．（2021·全国高考真题（理））已知 1 2,F F 是双曲线 C 的两个焦点，P 为 C 上一点，且 1 2 1 260 , 3F PF PF PF    ，则 C 的离心率为（ ） A． 7 2 B． 13 2 C． 7 D． 13 2.（2021·全国高考真题（理））2020 年 12 月 8 日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为 8848.86 （单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有 A，B， C 三点，且 A，B，C 在同一水平面上的投影 , ,A B C   满足 45AC B      ， 60A B C    ．由 C 点测得 9 / 10 B 点的仰角为15 ，BB与CC 的差为 100；由 B 点测得 A 点的仰角为 45，则 A，C 两点到水平面 A B C   的高度差 AA CC  约为（ 3 1.732 ）（ ） A．346 B．373 C．446 D．473 3.（2021·全国高考真题（理））魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是关测量的数学著作，其中第一题是测海岛 的高．如图，点 E ， H ，G 在水平线 AC 上， DE 和 FG 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度， 称为“表高”，EG 称为“表距”，GC 和 EH 都称为“表目距”，GC 与 EH 的差称为“表目距的差”则海岛的高 AB （ ） A．  表高 表距 表目距的差 表高 B．  表高 表距 表目距的差 表高 C．  表高 表距 表目距的差 表距 D． 表高 表距 -表目距的差 表距 4.（2021·浙江高考真题）我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明.弦图是由四个全等的直角三角 形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示).若直角三角形直角边的长分别是 3，4，记大正方 形的面积为 1S ，小正方形的面积为 2S ，则 1 2 S S  ___________. 10 / 10 5．（2021·北京高考真题）已知在 ABC 中， 2 cosc b B ， 2 3C  ． （1）求 B 的大小； （2）在下列三个条件中选择一个作为已知，使 ABC 存在且唯一确定，并求出 BC 边上的中线的长度． ① 2c b ；②周长为 4 2 3 ；③面积为 3 3 4ABCS  ； 6.（上海高考真题）如图， 三地有直道相通， 千米， 千米， 千米.现甲、 乙两警员同时从 地出发匀速前往 地，经过 小时，他们之间的距离为 （单位：千米）.甲的路线是 ，速度为 5 千米/小时，乙的路线是 ，速度为 8 千米/小时.乙到达 地后原地等待.设 时乙 到达 地. （1）求 与 的值； （2）已知警员的对讲机的有效通话距离是 3 千米.当 时，求 的表达式，并判断 在 上 得最大值是否超过 3？说明理由.