2022年新高考数学一轮复习6.2平面向量的基本定理及坐标表示（讲）解析版

1 / 21 专题 6.2 平面向量的基本定理及坐标表示 新课程考试要求 1.理解平面向量的基本定理及其意义，会用平面向量基本定理解决简单问题. 2．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示. 3．掌握平面向量的加法、减法、数乘、数量积的坐标运算. 核心素养 本节涉及所有的数学核心素养：逻辑推理（多例）、直观想象（多例）、数学运算（多 例）等. 考向预测 （1）考查平面向量基本定理、坐标表示平面向量的加法、减法、数乘及数量积运算； （2）以考查向量的数量积、夹角、模、垂直的条件等问题为主，基本稳定为选择题或 填空题，难度中等以下； （3）常常以平面图形为载体，借助于向量的坐标形式等考查共线、垂直等问题；也易 同三角函数、解析几何等知识相结合，以工具的形式出现． (4) 理解坐标表示是基础，掌握坐标运算的方法是关键； (5)解答与平面几何、三角函数、解析几何等交汇问题时，注意运用数形结合的数学思 想，通过建立平面直角坐标系，利用坐标运算解题. 【知识清单】 1．平面向量基本定理 平面向量基本定理 如果 1 2e e， 是一平面内的两个不共线向量，那么对于这个平面内任意向量 a ，有且只有一对实数 1 2 ， ， 使 1 1 2 2a e e  + .其中，不共线的向量 1 2e e， 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 6．相反向量：长度相等且方向相反的向量． 2．平面向量的坐标运算 1. 平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解． 2．平面向量的坐标表示 (1)在平面直角坐标系中，分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量 ,i j 作为基底，对于平面内的一个向 量 a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数 x、y，使得 a x yi j＝ ＋ ，这样，平面内的任一向量 a 都可 由 x、y 唯一确定，因此把 ( , )x y 叫做向量 a 的坐标，记作 ( , )a x y ，其中 x 叫做 a 在 x 轴上的坐标，y 叫 做 a 在 y 轴上的坐标． 2 / 21 (2)若 1 1 2 2( ) ( )A x y B x y， ， ， ，则 2 1 2 1( )A x x y yB＝ － ， － ． 3．平面向量的坐标运算 (1)若 1 1 2 2( ) ( )a x y b x y ， ， ， ，则 1 2 1 2( )a b x x y y   ， ； (2)若 ( )a x y＝ ， ，则 ( )a x y ＝ ， ． (3)设 1 1 2 2( ) ( )A x y B x y， ， ， ，则 2 1 2 1( )A x x y yB＝ － ， － ， 2 2 1 2 2 1| ( )A x x yB y＝ － ( －| ) . 3．平面向量共线的坐标表示 向量共线的充要条件的坐标表示 若 1 1 2 2( ) ( )a x y b x y ， ， ， ，则 a b∥ ⇔ 1 2 2 1 0x y x y - . 4．数量积的坐标运算 设 a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则： 1．a·b＝a1b1＋a2b2. 2．a⊥b  a1b1＋a2b2＝0. 3．|a|＝ a2 1＋a2 2. 4．cosθ＝ | || | a b a b ＝ 1 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 a b a b a a b b    .(θ为 a 与 b 的夹角) 【考点分类剖析】 考点一 ：平面向量基本定理及其应用 【典例 1】（2020·全国高一单元测试）在平行四边形 ABCD 中， AB a  ， AD b  ， （1）如图 1，如果 E，F 分别是 BC，DC 的中点，试用 ,a b   分别表示 ,BF DE   . （2）如图 2，如果 O 是 AC 与 BD 的交点，G 是 DO 的中点，试用 ,a b   表示 AG  . 【答案】（1） 1 2BF a b    ， 1 2DE a b    （2） 1 3 4 4a bAG     . 【解析】 （1）利用平面向量基本定理，结合平面向量线性运算性质、平行四边形的性质进行求解即可； （2）利用平面向量基本定理，结合平面向量线性运算性质、平行四边形的性质进行求解即可. 3 / 21 【详解】 （1） 1 1 1 2 2 2BF BC CF AD CD AD AB a b                 ， 1 1 1 2 2 2DE DC CE AB CB AB AD a b                ； （2） 1 1 1 3 1 3( )4 4 4 4 4 4AD DG AD DB AD DA AB AB AD a bAG                       . 【典例 2】（2017·全国高考真题（理））在矩形 ABCD 中，AB=1，AD=2，动点 P 在以点 C 为圆心且与 BD 相切 的圆上．若AP = AB + AD ，则 + 的最大值为（ ） A．3 B．2 C． D．2 【答案】A 【解析】如图所示，建立平面直角坐标系. 设 쳌䁠 쳌 쳌 쳌 쳌 쳌 쳌䁠 쳌 쳌h , 易得圆的半径 ，即圆 C 的方程是 h ， 쳌h 䁠 쳌 쳌 䁠 쳌 쳌 ，若满足 ， 则 h 䁠 ， 쳌 䁠 h ，所以 h 䁠 ， 设 h 䁠 ，即 h 䁠 ，点 쳌h 在圆 h 上， 所以圆心 쳌 到直线 h 䁠 的距离 ，即 䁠 䁠 ，解得 䁠 ， 所以 的最大值是 3，即 的最大值是 3，故选 A. 【典例 3】（2019·山东高考模拟（文））如图，在 中， ， 是 上一点，若 䁠 ， 则实数 t 的值为________． 4 / 21 【答案】 䁠 【解析】 由题意及图， 䁠 ， 又 ，所以 ，∴ （1﹣m） ， 又 t 䁠 ，所以 䁠 䁠 ，解得 m ，t 䁠 ， 故答案为： 䁠 ． 【总结提升】 1.用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，再用该基底表示向量，其实质就是利用平 行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算和数乘运算． 2.特别注意基底的不唯一性： 只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，对基底的选取不唯一，平面内任意向量 a 都可被这个平 面的一组基底 1 2e e， 线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的． 【变式探究】 1.（2020·烟台市教育科学研究院高一期末）在△ ABC 中， AD 为 BC 边上的中线， E 为 AD 的中点，则 EB  ( ) A． 3 1 4 4AB AC  B． 1 3 4 4AB AC  C． 3 1 4 4 AB AC  D． 1 3 4 4 AB AC  【答案】A 【解析】 分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得 1 1 2 2BE BA BC    ，之后应用向量的加法 运算法则-------三角形法则，得到 BC BA AC    ，之后将其合并，得到 3 1 4 4BE BA AC    ，下一步应用 5 / 21 相反向量，求得 3 1 4 4EB AB AC    ，从而求得结果. 详解：根据向量的运算法则，可得  1 1 1 1 1 1 2 2 2 4 2 4BE BA BD BA BC BA BA AC              1 1 1 3 1 2 4 4 4 4BA BA AC BA AC         ， 所以 3 1 4 4EB AB AC    ，故选 A. 2.（2019·江西高考模拟（理））如图所示，矩形 ABCD 的对角线相交于点O ， E 为 AO 的中点，若 ( , )DE AB AD R        ，则   等于（ ）． A． 1 2  B． 1 2 C．1 D． 1 【答案】A 【解析】 由平面向量基本定理，化简  1 1DE DA AE DA AC AD AB AD4 4                1 3AB AD4 4    ，所以 1 3λ , μ4 4    ，即 1λ μ 2    ， 故选：A． 6 / 21 3．（2021·全国高三其他模拟（理））在平行四边形 ABCD 中，点 M 为 BC 边的中点， AC AM BD     ， 则    ________． 【答案】 5 3 【解析】 找一组基向量分别表示出 , ,AC AM BD    ，再用待定系数法即可求得． 【详解】 1 ( ) ( )2 2AC AB AD AD AB AB AD                            ， 又因为 AC AB AD    ，所以 1, 1,2         ，解得 4 ,3 1 ,3       所以 5 3    ． 故答案为： 5 3 【易错提醒】 平面向量基本定理的实质及解题思路 (1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运 算． (2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式， 再通过向量的运算来解决． 考点二：平面向量的坐标运算 【典例 4】（2021·北京首都师大二附高一期末）在平面直角坐标系中，已知两点 A(cos80°，sin80°)，B(cos20°， sin20°)，则| |AB  的值是（ ） A． 1 2 B． 2 2 C． 3 2 D．1 【答案】D 7 / 21 【解析】 由坐标知 (cos20 cos80 ,sin 20 sin80 )AB    o o o o ，利用模长公式求得模长，结合三角函数两角差的余弦 公式求得结果. 【详解】 由 A，B 坐标知， (cos20 cos80 ,sin 20 sin80 )AB    o o o o ， 则 2 2(cos20 cos80 ) (sin 20 sin80 )AB     o o o o 2 2 2 2cos 20 cos 80 2cos20 cos80 sin 20 sin 80 2sin 20 sin80     o o o o o o o o 2 2cos(20 80 ) 1   o o 故选：D 【典例 5】（2020·天津滨海新·高三月考）如图， //OM AB ，点 P 由射线 OM 、线段OB 及 AB 的延长线围 成的阴影区域内（不含边界）.且OP xOA yOB  uuur uur uuur ，则实数对 ,x y 可以是（ ） A． 1 3,4 4     B． 1 7,5 5     C． 1 1,4 2     D． 2 2,3 3     【答案】A 【解析】 根据平面向量基本定理和平行四边形法则可知： 若取 1 3,4 4     ，则 1 3 1 3 4 4 4 4OP OA OB AO OB     uuur uur uuur uuur uuur ，点 P 在阴影区域内，A 正确； 若取 1 7,5 5     ，则 1 7 1 7 5 5 5 5OP OA OB AO OB     uuur uur uuur uuur uuur ，点 P 在直线 AB 的上方，B 错误； 若取 1 1,4 2     ，则 1 1 1 1 4 2 4 2OP OA OB OA BO    uuur uur uuur uur uuur ，点 P 在直线 AO 的下方，C 错误； 8 / 21 若取 2 2,3 3     ，则 2 2 2 2 3 3 3 3OP OA OB AO OB     uuur uur uuur uuur uuur ，点 P 在射线 OM 上，D 错误， 故选：A. 【总结提升】 平面向量坐标运算的技巧 (1)向量的坐标运算主要是利用向量的加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标， 则应先求向量的坐标．要注意点的坐标和向量的坐标之间的关系，一个向量的坐标等于向量终点的坐标减 去始点的坐标． (2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解． 【变式探究】 1．（2019·吉林高考模拟（理））已知向量 cos 쳌sin ，其中 ，则 的最小值为（ ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】A 【解析】 因为 cos 쳌sin ， 所以 cos sin 䁠 cos cos ， 因为 ，所以 䁠 cos 䁠 ，故 的最小值为 䁠 . 故选 A 2．（2020·上海高二课时练习）已知 11( 1, 2), (1,8), , 2A B C x      三点共线，则 AC CB  ，则   ______， x ______． 【答案】3 1 2 【解析】 由 11( 1, 2), (1,8), , 2A B C x      ，可得 15 5( 1, ), (1 , )2 2AC x CB x     ， 因为 AC CB  ，即 15 5( 1, ) (1 , )2 2x x    ， 可得 1 (1 ) 15 5 2 2 x x       ，解得 13, 2x   . 9 / 21 故答案为：3， 1 2 . 考点三：平面向量共线的坐标表示 【典例 6】（2018·全国高考真题（文））已知向量  = 1,2a  ，  = 2, 2b  ，  = 1,c λ  ．若  2c a b   ∥ + ，则   ________． 【答案】 1 2 【解析】 由题可得  2 4,2a b   / / 2 ,c a b    1,c  4λ 2 0   ,即 1λ 2  故答案为 1 2 【典例 7】（2020·桂阳县第二中学期中）已知  1,0A  、  3, 1B  、  1,2C ， 1 3AE AC  ， 1 3BF BC  . （1）求点 E 、 F 及向量 EF 的坐标； （2）求证： EF AB   . 【答案】（1） 1 2,3 3E     ， 7 ,03F      ， 8 2,3 3EF       （2）证明见解析 【解析】 （1）设点  ,E a b ， 1 3AE AC  即 1( 1, ) (2,2)3a b  ，解得： 1 3 2 3 a b      ，故 1 2,3 3E     设点  ,F c d ， 1 3BF BC  即 1( 3, 1) ( 2,3)3c d    ，解得 7 3 0 c d     ，故 7 ,03F      8 2,3 3EF       （2） (4, 1)AB   ， 8 2,3 3EF       ，故 3 2AB EF EF AB      【规律方法】 平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略 10 / 21 (1)利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地，在求与一个已知向量 a 共线的向量时，可设所求向量为 λa(λ∈R)，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa 即可得到所求的向量． (2)利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若 a＝(x1，y1)，b＝(x2， y2)，则 a∥b 的充要条件是 x1y2＝x2y1”解题比较方便． 【变式探究】 1．（2021·江苏省镇江第一中学高一期中）设向量 (1,1)a  ， ( 1,3)b   ， (2,1)c  ，且( )a b //c   ，则   （ ） A． 6 B． 1 6 C． 7 D． 1 7 【答案】D 【解析】 先利用向量的坐标运算求出 a b  ，再根据向量平行的坐标表示即可求出． 【详解】 向量 a  （1，1），b  （﹣1，3），c  （2，1）， 所以 a b  （1+λ，1﹣3λ）， 又（ a b  ）∥ c ， 所以，2×（1﹣3λ）﹣1×（1+λ）＝0，解得λ 1 7  . 故选：D 2.【多选题】（2020·山东诸城·高一期中）已知 1a  ，  3,4b  ，则以下结论正确的是（ ） A．若 //a b r r ，则 6a b  r r B．若 a b  ，则 a b a b      C．若 //a b r r ，则 3 4,5 5a       D． a b r r 的最小值为 4 【答案】BD 【解析】  3,4b   ，则 2 23 4 5b    . 对于 A 选项，若 //a b r r ，则 a b a b      ，所以， 6a b  r r 或 4a b   ，A 选项错误； 对于 B 选项，若 a b  ，则 0a b   ，  22 2 2 2 2 2a b a b a a b b a b                   ， 11 / 21  22 2 2 2 2 2a b a b a a b b a b                  ，则 2 2 a b a b      ， a b a b       ， B 选项正确； 对于 C 选项，若 //a b r r ，且 1a  ，则 ba b     ， 3 4,5 5a        或 3 4,5 5a        ，C 选项错误； 对于 D 选项，由向量模的三角不等式可得 4a b a b       ，D 选项正确. 故选：BD. 考点四： 平面向量数量积的坐标运算 【典例 8】（2020·天津高考真题）如图，在四边形 ABCD 中， 60 , 3B AB   ， 6BC  ，且 3, 2AD BC AD AB       ，则实数  的值为_________，若 ,M N 是线段 BC 上的动点，且| | 1MN  ， 则 DM DN  的最小值为_________． 【答案】 1 6 13 2 【解析】 AD BC   ， //AD BC ， 180 120BAD B     ， cos120AB AD BC AB BC AB            1 36 3 92 2              ， 解得 1 6   ， 以点 B 为坐标原点， BC 所在直线为 x 轴建立如下图所示的平面直角坐标系 xBy ， 12 / 21  6 6,0BC C  ， , ∵ 3, 60AB ABC    ，∴ A 的坐标为 3 3 3,2 2A       , ∵又∵ 1 6AD BC  ,则 5 3 3,2 2D       ，设  ,0M x ，则  1,0N x  （其中 0 5x  ）， 5 3 3,2 2DM x         ， 3 3 3,2 2DN x         ，   2 225 3 3 3 21 134 22 2 2 2 2DM DN x x x x x                          ， 所以，当 2x  时， DM DN  取得最小值 13 2 . 故答案为： 1 6 ； 13 2 . 【典例 9】（2021·北京高考真题） (2,1)a  ， (2, 1)b    ， (0,1)c  ，则 ( )a b c     _______；a b   _______． 【答案】0 3 【解析】 根据坐标求出 a b  ，再根据数量积的坐标运算直接计算即可. 【详解】 (2,1), (2, 1), (0,1)a b c     ，  4,0a b   ， ( ) 4 0 0 1 0a b c        ，  2 2 1 1 3a b         . 13 / 21 故答案为：0；3. 【规律方法】 1.已知向量 a，b 的坐标，利用数量积的坐标形式求解． 设 a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则 a·b＝a1b1＋a2b2. 2.通过建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标形式计算. 【变式探究】 1. （2019·天津高考真题（理）） 在四边形 ABCD 中， AD BC∥ ， 2 3AB  ， 5AD  ， 30A   ， 点 E 在线段CB 的延长线上，且 AE BE ，则 BD AE   __________. 【答案】 1 . 【解析】 建立如图所示的直角坐标系，则 (2 3,0)B ， 5 3 5( , )2 2D . 因为 AD ∥ BC ， 30BAD   ，所以 150CBA   ， 因为 AE BE ，所以 30BAE ABE     ， 所以直线 BE 的斜率为 3 3 ，其方程为 3 ( 2 3)3y x  ， 直线 AE 的斜率为 3 3  ，其方程为 3 3y x  . 由 3 ( 2 3),3 3 3 y x y x       得 3x  ， 1y   ， 所以 ( 3, 1)E  . 所以 3 5( , ) ( 3, 1) 12 2BD AE      uuur uuur . 14 / 21 2．（2020 届浙江绍兴市柯桥区高三上期末）已知正三角形 ABC 的边长为 4， P 是平面 ABC 内一点，且满 足 3APB   ，则 PB AC  的最大值是______，最小值是______. 【答案】不存在 16 3 3  【解析】 设正三角形 ABC 的外接圆为 O ，则 O 的直径 4 8 32 3sin 3 R   ， 4 3 3R  ， 如图以O 为坐标原点，以 OC 为 y 轴建立平面直角坐标系， 3APB ACB     ，则点 P 在 O 的优弧 ACB 上， 设 4 3 4 3cos , sin3 3P        ， 7,6 6       又 2 3 2 3 4 32, , 2, , 0,3 3 3A B C                        ，  4 3 2 3 4 3 8 32 cos , sin 2,2 3 cos 8sin3 3 3 3PB AC                   15 / 21 16 3 sin3 6       ， 7,6 6       ， 40,6 3        3 sin 12 6        ，则 16 3 16 3 sin 83 3 6         ， 则 PB AC  的最大值不存在，最小值是 16 3 3  . 故答案为：最大值不存在，最小值是 16 3 3  . 考点五 平面向量的夹角问题 【典例 10】（2019·全国高考真题（文））已知向量 (2,2), ( 8,6)a b    ，则 cos ,a b   ___________. 【答案】 2 10  【解析】   2 2 2 2 2 8 2 6 2cos , 102 2 ( 8) 6 a ba b a b                   ． 【典例 11】（2021·全国高三其他模拟（文））已知向量  1,3AB  ，  2, 1BD    ， 3EF AD  ， 5AD EF    ， cos ,AD EF   ___________. 【答案】 1 3  【解析】 利用向量的坐标运算求出 AD  ，进而求出 AD  ， EF  ，结合向量的数量积公式即可求解. 【详解】      2, 1 11, ,23AD AB BD        uuur uuur uuur Q ，  2 21 2 5AD     uuur 又 3EF AD  ， 3 5EF  uuur 利用向量的数量积公式可知 5 1cos , 33 5 5 AD EFAD EF EF AD       uuur uuuruuur uuur uuur uuur 16 / 21 故答案为： 1 3  【总结提升】 向量夹角问题的解答方法： (1)当 a，b 是非坐标形式时，求 a 与 b 的夹角θ，需求出 a·b 及|a|，|b|或得出它们之间的关系； (2)若已知 a＝(x1，y1)与 b＝(x2，y2)，则 cos〈a，b〉＝ x1x2＋y1y2 x2 1＋y2 1· x2 2＋y2 2 . 提醒：〈a，b〉∈[0，π]． 【变式探究】 1．（2020·江苏镇江市·高一月考）已知向量    3,1 , 1, 3a b   ，则 a  与b  有夹角为__________． 【答案】 6  【解析】 利用平面向量的夹角的坐标公式直接求解即可. 【详解】 因为    3,1 , 1, 3a b   ， 所以    2 22 2 3 1 1 3 2 3 3cos , 4 23 1 1 3 a ba b a b                 ， 因为  , 0,a b   ，所以 , 6a b   . 故答案为： 6  . 2．（2021·江西省万载中学高一期末（文））如图，已知 ABC 中， 2, 3, 6AD AC DAC     ， 2CD DB  ，设 ,AD a AC b    . （1）将 AB  用 ,a b 表示； （2）求 2a b  与 b 的夹角的余弦值. 17 / 21 【答案】（1） 3 1 2 2a b-  ；（2） 3 21 14 . 【解析】 （1）根据向量的加法运算进行表示即可. （2）先计算 2a b b  ，然后计算 2a b  ，最后根据向量的夹角公式计算即可. 【详解】 （1） 3 3= ( )2 2AD AC CD AC CB AC AB AC             3 1 3 1 2 2 2 2AB AC a b       （2）  22 2 2 3 cos 2 3 96a b b a b b               2 22 4 4 4 12 12=2 7a b a a b b           ( 2 ) 9 3 21cos 2 , 14| 2 || | 2 7 3 a b ba b b a b b           考点六 平面向量的模的问题 【典例 12】（2019·全国高考真题（文））已知向量 a=(2，3)，b=(3，2)，则|a–b|=（ ） A． 2 B．2 C．5 2 D．50 【答案】A 【解析】 由已知， (2,3) (3,2) ( 1,1)    a b ， 所以 2 2| | ( 1) 1 2    a b ， 故选 A 【典例 13】（2021·江西新余市·高一期末（理））已知平面向量 a  ， b  ，且| || | 2a b    ， 2a b     ，向量 c  满 足| 2 2 | | |c a b a b          ，则  c b R      的最小值为___________. 【答案】 2( 3 1) 【解析】 18 / 21 先根据平面向量数量积的定义求出夹角，然后根据平面向量的加减法作出示意图，进而求出| |a b    和 2 | |a b    ，进而根据图形得出点 C 的几何意义，最后求出最值. 【详解】 ∵| | | | 2a b     ， 2a b     ，而 | || | cos , 2a b a b a b           ， 1cos , 2a b      ， ∴ , 3a b     ，∴| | 2a b     ， 2 | | 4 3a b     ，如图所示， 若OA a    ，OB b    ， 2OE a b        ，OC c    ，则 2BA a b        ， 2EC c a b          ， ∴C 在以 E 为圆心，2 为半径的圆上，若OD b    ，则 DC c b      ， ∴问题转化为求C 在圆 E 上哪一点时，使 DC  最小，又 6EOD=  ， ∴当且仅当 E ，C ， D 三点共线且 ED OD 时，| |DC  最小为 sin 2 2( 3 1)6OE     . 【规律方法】 平面向量模问题的类型及求解方法 (1)求向量模的常用方法 ①若向量 a 是以坐标形式出现的，求向量 a 的模可直接利用公式|a|＝ x2＋y2. ②若向量 a，b 是以非坐标形式出现的，求向量 a 的模可应用公式|a|2＝a2＝a·a，或|a±b|2＝(a±b)2＝ a2±2a·b＋b2，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解． (2)求向量模的最值(范围)的方法 ①代数法：把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解． ②几何法(数形结合法)：弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解． （3）利用向量夹角公式、模公式，可将有关角度问题、线段长问题转化为向量的数量积来解决． 19 / 21 【变式探究】 1．（2020·浙江镇海中学高三 3 月模拟）已知 a  ，b  ， c  是平面内三个单位向量，若 a b  ，则 2 3 2a c a b c        的最小值（ ） A． 29 B． 29 3 2 C． 19 2 3 D．5 【答案】A 【解析】 设  ,c x y ，  1,0a  ，  0,1b  ，则 2 2 1x y  ，从而        2 2 2 22 3 2 2 1 2 3 2x y x y           r r r r r a c a b c      2 22 2 2 23 4 1 3 2x y x y x x y               2 2 22 2 22 3 2 5 2 29x y x y          ，等号可取到． 故选：A 2.（2021·四川成都市·树德中学高一月考）已知直角梯形 ABCD 中， //AD BC ， 90ADC   ， 2AD  ， 1BC  ， P 是腰 DC 上的动点，则 2 3PA PB  的最小值为______. 【答案】7 【解析】 以 ,DA DC 为 ,x y 轴的正方向建立直角坐标系，设      0, , 0, , 1, ,0C a P b B a b a  ，然后表示出  22 3 49 3 5PA PB a b     ，然后可得答案. 【详解】 以 ,DA DC 为 ,x y 轴的正方向建立直角坐标系，如图所示： 设        0, , 0, , 1, , 2,0 ,0C a P b B a A b a  ， 20 / 21 则      2 3 2 2, 3 1, 7,3 5PA PB b a b a b         22 3 49 3 5 7PA PB a b      ，当 3 5 ab  时取得最小值 7 故答案为：7 考点七 平面向量垂直的条件 【典例 14】（2020·全国高考真题（文））已知单位向量 a  ，b  的夹角为 60°，则在下列向量中，与 b  垂直 的是（ ） A． 2a b  B． 2a b  C． 2a b  D． 2a b  【答案】D 【解析】 由已知可得： 1 1cos 60 1 1 2 2a b a b            . A：因为 2 1 5( 2 ) 2 2 1 02 2a b b a b b               ，所以本选项不符合题意； B：因为 2 1(2 ) 2 2 1 2 02a b b a b b               ，所以本选项不符合题意； C：因为 2 1 3( 2 ) 2 2 1 02 2a b b a b b                ，所以本选项不符合题意； D：因为 2 1(2 ) 2 2 1 02a b b a b b              ，所以本选项符合题意. 故选：D. 【典例 15】（2020·全国高考真题（文））设向量 (1, 1), ( 1,2 4)a b m m      ，若 a b r r ，则 m  ______________. 【答案】5 【解析】 根据向量垂直，结合题中所给的向量的坐标，利用向量垂直的坐标表示，求得结果. 【详解】 由 a b r r 可得 0a b   ， 又因为 (1, 1), ( 1,2 4)a b m m      ， 所以 1 ( 1) ( 1) (2 4) 0a b m m          ， 即 5m  ， 21 / 21 故答案为：5. 【总结提升】 平面向量垂直问题的类型及求解方法 (1)判断两向量垂直 第一，计算出这两个向量的坐标； 第二，根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为 0 即可． (2)已知两向量垂直求参数 根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数． 【变式探究】 1．（2018·江苏高考真题）在平面直角坐标系 直h 中， 为直线 h 上在第一象限内的点， 쳌 ， 以 为直径的圆 与直线 交于另一点 ．若 ，则点 的横坐标为________． 【答案】3 【解析】 设 쳌 ܽ ，则由圆心 为 中点得 쳌쳌 易得 hh ，与 h 联立解得点 的横坐标 䁠쳌 所以 䁠쳌 .所以 쳌 쳌 䁠 쳌 ， 由 得 䁠 쳌 쳌 或 䁠 ， 因为 ܽ ，所以 2.（2019·北京高考真题（文））已知向量 a  =（－4，3），b  =（6，m），且 a b  ，则 m=__________. 【答案】8. 【解析】 向量 4,3 6,a b m a b      （ ）， （ ）， ， 则 • 0 4 6 3 0 8a b m m       ， ， .