2022年新高考数学一轮复习5.3三角函数的图象与性质（讲）原卷版

1 / 11 专题 5.3 三角函数的图象与性质 新课程考试要求 理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质，了解三角函数的周期性. 核心素养 本节涉及所有的数学核心素养：逻辑推理（多例）、直观想象（多例）、数学运算（多 例）、数据分析等. 高考预测 （1） “五点法”作图； （2）三角函数的性质； （3）与不等式相结合考查三角函数定义域的求法． （4）与二次函数、函数的单调性等结合考查函数的值域(最值)． （5）借助函数的图象、数形结合思想考查函数的奇偶性、单调性、对称性等性质． （6）往往将三角恒等变换与三角函数图象、性质结合考查. 【知识清单】 知识点 1．正弦、余弦、正切函数的图象与性质 正弦函数 siny x ,余弦函数 cosy x ,正切函数 tany x 的图象与性质 性质 siny x cosy x tany x 图象 定义域 R R ,2x x k k Z      值域  1,1  1,1 R 最值 当  2 2x k k Z   时 ， max 1y  ； 当  2 2x k k Z   时 ， min 1y   ． 当  2x k k Z  时， max 1y  ； 当  2x k k Z    时 ， min 1y   ． 既无最大值，也无最小值 2 / 11 周期性 2 2  奇偶性  sin sinx x   ,奇函数  cos cosx x  偶函数  tan tanx x   奇函数 单调性 在  2 ,22 2k k k Z        上 是 增 函 数 ； 在  32 ,22 2k k k Z        上是减函数． 在   2 ,2k k k Z    上 是 增 函 数 ； 在    2 ,2k k k Z    上 是 减函数． 在  ,2 2k k k Z        上是增函数． 对称性 对称中心  ,0k k Z  对称轴  2x k k Z   ，既 是中心对称又是轴对称图形. 对称中心  ,02k k Z     对称轴  x k k Z  ，既是中 心对称又是轴对称图形. 对称中心  ,02 k k Z     无对称轴，是中心对称但不是轴 对称图形. 知识点 2．“五点法”做函数  siny A x h    的图象 “五点法”作图：先列表，令 30, , , ,22 2x       ，求出对应的五个 x 的值和五个 y 值，再根据求出 的对应的五个点的坐标描出五个点，再把五个点利用平滑的曲线连接起来，即得到  siny A x h    在 一个周期的图象，最后把这个周期的图象以周期为单位，向左右两边平移，则得到函数  siny A x h    的图象. 【考点分类剖析】 考点一 三角函数的定义域和值域 【典例 1】（2021·上海高一课时练习）函数 tan 4y x     的定义域是___________. 【典例 2】（2017 新课标 2）函数 = s 2 + 3ㄮ㈱ − 3 4 （ ∈ 0, 2 ）的最大值是__________． 【规律方法】 1．三角函数定义域的求法 求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解． 2．三角函数值域的不同求法 3 / 11 (1)利用 sin x 和 cos x 的值域直接求； (2)把所给的三角函数式变换成 y＝Asin(ωx＋φ)的形式求值域； (3)把 sin x 或 cos x 看作一个整体，转换成二次函数求值域； (4)利用 sin x±cos x 和 sin xcos x 的关系转换成二次函数求值域． 【变式探究】 1.（2020·上海高三专题练习）函数 siny m x n  的最大值为 2，最小值为 4 ，则 m  _________， n  _________. 2.（2020·全国高一课时练习）求下列函数的定义域. （1） siny x ； （2） sin cos tan x xy x  . 【总结提升】 在使用开平方关系 sinα＝± 1－cos2α和 cosα＝± 1－sin2α时，一定要注意正负号的选取，确定正负号的依据 是角α所在的象限，如果角α所在的象限是已知的，则按三角函数在各个象限的符号来确定正负号；如果角α 所在的象限是未知的，则需要按象限进行讨论． 考点二 三角函数的单调性 常见考题类型：1．求三角函数的单调区间；2.已知函数的单调性求参数值或范围；3.比较大小. 【典例 3】（2021·全国高考真题）下列区间中，函数   7sin 6f x x      单调递增的区间是（ ） A． 0, 2      B． ,2 π π     C． 3, 2      D． 3 ,22       【典例 4】（2020·河南洛阳� 高一期末（理））已知 sin33a  ， cos55b   ， tan 35c   则 a ，b ， c ， 的大小关系是（ ） A． a b c  B． a c b  C．b a c  D． b c a  【典例 5】（2021·甘肃白银市·高三其他模拟（理））函数    cos 06f x x        在区间 2,3 3       内 单调递减，则 的最大值为（ ） A． 1 2 B． 7 4 C． 5 2 D． 6 4 / 11 【规律方法】 1.求形如  siny A x   或  cosy A x   (其中 A≠0， 0  )的函数的单调区间，可以通过解不 等式的方法去解答，列不等式的原则是：①把“ x  ( 0  )”视为一个“整体”；②A>0(A0，ω>0)的函数最值通常利用“整体代换”，即令ωx＋φ＝Z，将函数转化为 y＝AsinZ 函数 y＝sinx，x∈D，(y＝cosx，x∈D)的最值不一定是 1 或－1，要依赖函数定义域 D 来决定．(2) 11 / 5 6 / 11 函数的最小正周期是 2T   ，正切函数的最小正周期公式是T   ；注意一定要注意加绝对值. 3.对称与周期:正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期,相邻 的对称中心与对称轴之间的距离是四分之一个周期;正切曲线相邻两个对称中心之间的距离是半个周期. 【变式探究】 （2021·全国高三月考（理））函数  cos 2 xy x R  的最小正周期是_______________________. 【特别提醒】 最小正周期是指使函数重复出现的自变量 x 要加上的最小正数，是对 x 而言，而不是对ωx 而言．. 考点四 三角函数的奇偶性 【典例 7】（2021·全国高三其他模拟）函数   2 1sinf x x x x   在 4,4 上的图象大致为（ ） A． B． C． D． 【规律方法】 1. 一般根据函数的奇偶性的定义解答，首先必须考虑函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称， 则函数一定是非奇非偶函数；如果函数的定义域关于原点对称，则继续求 ( )f x ；最后比较 ( )f x 和 ( )f x 的关系，如果有 ( )f x = ( )f x ，则函数是偶函数，如果有 ( )f x =- ( )f x ，则函数是奇函数，否则是非奇 非偶函数. 2. 如何判断函数 ( )f x  的奇偶性:根据三角函数的奇偶性，利用诱导公式可推得函数 ( )f x  的奇 偶性，常见的结论如下： 7 / 11 (1)若 sin( )y A x   为偶函数，则有 ( )2k k Z    ;若为奇函数则有 ( )k k Z   ； (2)若 cos( )y A x   为偶函数，则有 ( )k k Z   ;若为奇函数则有 ( )2k k Z    ； (3)若 tan( )y A x   为奇函数则有 ( )k k Z   . 【变式探究】 （浙江省 2019 届高考模拟卷（二)）函数 = cos2 ln 的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【特别提醒】 利用定义判断与正切函数有关的一些函数的奇偶性时，必须要坚持定义域优先的原则，即首先要看 f(x)的 定义域是否关于原点对称，然后再判断 f(－x)与 f(x)的关系． 考点五 三角函数的对称性 【典例 8】（2021·安徽高三其他模拟（文））已知函数 ( ) sin( )( 0)6f x x     ，且函数 ( )y f x 的最小正 周期为 2 ，则下列关于函数 ( )y f x 的说法， ① 1 2   ； ②点 2( ,0)3  是 ( )y f x 的一个对称中心； ③直线 2 3x  是函数 ( )y f x 的一条对称轴； ④函数 ( )y f x 的单调递增区间是 22 ,2 ,3 3k k k        Z . 其中正确的（ ） A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④ 【规律方法】 函数的对称性问题，往往先将函数化成 sin )y A x B   （ 的形式，其图象的对称轴是直线 )(2 Zkkx   ，凡是该图象与直线 By  的交点都是该图象的对称中心, 关键是记住三角函数 8 / 11 的图象，根据图象并结合整体代入的基本思想即可求三角函数的对称轴与对称中心． 【变式探究】 （2021·广西钦州一中高三开学考试（理））关于函数   1cos cosf x x x   有如下四个命题： ①  f x 的图像关于 y 轴对称. ②  f x 的图像关于原点对称. ③  f x 的图像关于直线 2x  对称. ④  f x 的图像关于点 ,02      对称. 其中所有真命题的序号是__________. 【特别提醒】 1.求 y＝Asin(ωx＋φ)或 y＝Acos(ωx＋φ)函数的对称轴或对称中心时，应把ωx＋φ作为整体，代入相应的 公式中，解出 x 的值，最后写出结果． 2.正切函数图象的对称中心是(kπ 2 ，0)而非(kπ，0)(k∈Z)． 考点六 三角函数的零点 【典例 9】（2021·全国高三其他模拟（理））函数   22cos 2 3 3f x x       在 11,6 6      上的所有零点之 和为（ ） A． 5 3 π B． 10 3  C． 5 D． 20 3  【总结提升】 重点考查三角函数的图象与性质，考查的核心素养是直观想象、逻辑推理、数学运算，关键点在于利用数 形结合的思想将函数零点转化为两个函数图象交点问题． 【变式探究】 （2021·河南商丘市·高一月考）函数   3sin 4 ln2x x xf       的零点个数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 考点七 三角函数中有关ω问题 常见考题类型：1. 三角函数的周期 T 与ω的关系；2.三角函数的单调性与ω的关系；3.三角函数的对称性、 B． 1  π 6 A． 上的最大值为 1，则（ ）      在 0, 3 ， 1(0) 2f  ．若 ( )f x 2.【多选题】（2021·全国高三其他模拟）函数 ( ) sin( ) 0, 0, 2f x x                        D． 100, 3    C． 10, 4   A． (0,3] B． 10, 2 数 的取值范围为（ ） 上单调递增，则实      在 ,3 4 1.（2021·全国高三其他模拟（理））若函数 ( ) 3sin ( 0)3f x x        【变式探究】 成立，则ω的最小值为__________． 对任意的实数 x 都 4 ݔ π ሺݔ ሺ ，若 ݔሺ 0ݔ π cosሺ − 【典例 13】（2018 年北京高考真题）设函数 f（x）= 3 3 C．1 D． 5 3 B． 7 A． 1 2x  ，则 的值不可能是（ ） 单调函数，其图象的一条对称轴方程为 3 上是      【典例 12】（2021·高三其他模拟（文））已知函数   sin ( 0)f x x   在 ,6 4         D． 1 10,3 3      C． 10, 3    B． 1 ,3   A． 1 7,3 3 值点，则 的取值范围为（ ） 在 0, 内有且仅有一个极大 【典例 11】（2021·辽宁铁岭市·高三二模）函数    sin 06f x x        A． 5[ ,4)2 B． 4[1, ]3 C． 5[1, ]3 D． 3[ ,3)2  上恰有两个零点，则ω的取值范围是（ ） 在 2[0, ]3 【典例 10】（2021·云南昆明市·高三其他模拟（文））已知函数 ( ) sin( )3f x x   (ω>0)，若 f(x) 最值与ω的关系 11 / 9 10 / 11 C． 0 0x  ，使 ( )f x 在区间 0 0,x x 上为减函数 D．若 ( )f x 的图象关于 2x  对称，则 的最小值为 5 3 3．【多选题】（2021·全国高三其他模拟）已知函数    sin 0f x x   的图象向右平移 4  个单位长度得  y g x 的图象，则下列关于函数  f x 和  g x 的说法正确的是（ ） A．函数  f x 与  g x 有相同的周期 B．函数  f x 的图象与函数  g x 的图象的对称中心一定不同 C．若函数  g x 的图象在 ,2 2      上至少可取到两次最大值 1，则 2  D．若函数  g x 的图象与直线 3 2y  在 ,2 2      上恰有两个交点，则 16 20 9 9  „ 考点八 三角函数的图象和性质的应用 【典例 14】（2021·全国高考真题（文））函数 ( ) sin cos3 3 x xf x   的最小正周期和最大值分别是（ ） A． 3π 和 2 B． 3π 和 2 C． 6π 和 2 D． 6π 和 2 【典例 15】（2020·上海高三专题练习）函数 3sin 1( ) sin 2 xf x x   的最大值是____，最小值是_________. 【规律方法】 1．求形如 y＝asinx＋b 的函数的最值或值域时，可利用正弦函数的有界性(－1≤sinx≤1)求解． 2．对于形如 y＝Asin(ωx＋φ)＋k(Aω≠0)的函数，当定义域为 R 时，值域为[－|A|＋k，|A|＋k]；当定义域为 某个给定的区间时，需确定ωx＋φ的范围，结合函数的单调性确定值域． 3．求形如 y＝asin2x＋bsinx＋c，a≠0，x∈R 的函数的值域或最值时，可以通过换元，令 t＝sinx，将原函数 转化为关于 t 的二次函数，利用配方法求值域或最值，求解过程中要注意正弦函数的有界性． 4．求形如 y＝asinx＋b csinx＋d ，ac≠0 的函数的值域，可以用分离常量法求解；也可以利用正弦函数的有界性建立 关于 y 的不等式反解出 y． 综上可知，求与三角函数有关的函数的值域(或最值)的常用方法有：(1)借助于正弦函数的有界性、单调性求 解； (2)转化为关于 sinx 的二次函数求解．注意求三角函数的最值对应的自变量 x 的值时，要考虑三角函数的周 期性． 【变式探究】 11 / 11 1.（2020·陕西新城� 高三月考（文））设 0a  ，若不等式 2 2cos ( 1)cos 0x a x a     对于任意 的 xR 恒成立，则 a 的取值范围是__________． 2. （2020·陕西省汉中中学（理））已知函数 ( ) 2sin( ) 1( 0)6f x x      的周期是 . （1）求 ( )f x 的单调递增区间； （2）求 ( )f x 在[0, ]2  上的最值及其对应的 x 的值. 【总结提升】 比较三角函数值大小的步骤：①异名函数化为同名函数；②利用诱导公式把角化到同一单调区间上；③利 用函数的单调性比较大小．