2022年新高考数学一轮复习7.2等差数列及其前n项和（讲）原卷版

1 / 7 专题 7.2 等差数列及其前 n 项和 新课程考试要求 1.理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式； 2.了解等差数列与一次函数. 3. 掌握等差数列前 n 项和公式及其应用； 4.会用数列的等差关系解决实际问题. 核心素养 本节涉及所有的数学核心素养：逻辑推理、数学运算、数学抽象、数学建模等. 考向预测 1.利用方程思想进行基本量的计算. 2.等差、等比数列的综合问题. 3.复习中注意: (1)方程思想在数列计算中的应用; (2)等差数列的通项公式、前 n 项和公式的综合应用. 【知识清单】 知识点一．等差数列的有关概念 1.定义：等差数列定义：一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那 么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 d 表示.用递推公式表示为 1 ( 2)n na a d n   或 1 ( 1)n na a d n    . 2.等差数列的通项公式： 1 ( 1)na a n d   ； 说明：等差数列（通常可称为 A P 数列）的单调性： d 0 为递增数列， 0d  为常数列， 0d  为递减 数列. 3.等差中项的概念： 定义：如果 a ， A ，b 成等差数列，那么 A 叫做 a 与b 的等差中项,其中 2 a bA  . a ， A ，b 成等差数列  2 a bA  . 4.要注意概念中的“从第 2 项起”．如果一个数列不是从第 2 项起，而是从第 3 项或第 4 项起，每一项与它前 一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列． 5.注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别． 知识点二．等差数列的前 n 项和 等差数列的前 n 和的求和公式： 1 1 ( ) ( 1) 2 2 n n n a a n nS na d    . 2 / 7 知识点三．等差数列的相关性质 1.等差数列的性质： （1）在等差数列 na 中，从第 2 项起，每一项是它相邻二项的等差中项； （2）在等差数列 na 中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列， 如： 1a ， 3a ， 5a ， 7a ，……； 3a ， 8a ， 13a ， 18a ，……； （3）在等差数列 na 中，对任意 m ， n N ， ( )n ma a n m d   ， n ma ad n m   ( )m n ； （4）在等差数列 na 中，若 m ，n ，p ，q N 且 m n p q   ，则 m n p qa a a a   ,特殊地，2m p q  时，则 2 m p qa a a  ， ma 是 p qa a、 的等差中项. （5）等差数列被均匀分段求和后，得到的数列仍是等差数列，即 2 3 2, ,n n n n nS S S S S  成等差数列. （6）两个等差数列{ }na 与{ }nb 的和差的数列{ }n na b 仍为等差数列． （7）若数列{ }na 是等差数列,则{ }nka 仍为等差数列． 2．设数列{ }na 是等差数列，且公差为 d ，（Ⅰ）若项数为偶数，设共有 2n 项，则① -S S nd奇 偶 ； ② 1 n n S a S a  奇 偶 ；（Ⅱ）若项数为奇数，设共有 2 1n  项，则① S S偶 奇 na a  中 (中间项)；② 1 S n S n   奇 偶 . 3.  ,p qa q a p p q   ,则 0p qa   , m n m nS S S mnd    . 4.如果两个等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差 是两个原等差数列公差的最小公倍数． 5.若{ }na 与{ }nb 为等差数列，且前 n 项和分别为 nS 与 'nS ，则 2 1 2 1' m m m m a S b S    . 6．等差数列的增减性： 0d  时为递增数列，且当 1 0a  时前 n 项和 nS 有最小值． 0d  时为递减数列， 且当 1 0a  时前 n 项和 nS 有最大值． 【考点分类剖析】 考点一 ：等差数列的基本运算 【典例 1】（2020·全国高考真题（文））记 nS 为等差数列 na 的前 n 项和．若 1 2 62, 2a a a    ，则 3 / 7 10S  __________． 【典例 2】（2019·江苏高考真题）已知数列 *{ }( )na nN 是等差数列， nS 是其前 n 项和.若 2 5 8 90, 27a a a S   ，则 8S 的值是_____. 【典例 3】（2021·上海民办南模中学高三三模）已知等差数列 na 的各项均为正整数，且 8 2021a  ，则 1a 的最小值是___________. 【规律方法】 1．活用方程思想和化归思想 在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为 1a 和 d 等基本量，通过建立方程(组)获得解．即等差数列的通项 公式 1 ( 1)na a n d   及前 n 项和公式 1 1 ( ) ( 1) 2 2 n n n a a n nS na d    ，共涉及五个量 1, , , ,n na d n a S ， 知其中三个就能求另外两个,即知三求二，多利用方程组的思想，体现了用方程的思想解决问题,注意要弄准 它们的值.运用方程的思想解等差数列是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量 1a 、d ，掌握好设未知数、 列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算． 2.特殊设法:三个数成等差数列，一般设为 , ,a d a a d  ；四个数成等差数列，一般设为 3 , , , 3a d a d a d a d    .这对已知和,求数列各项,运算很方便. 3.等差数列的前 n 项和公式 若已知首项 1a 和末项 na ，则 1( ) 2 n n n a aS  ，或等差数列{an}的首项是 1a ，公差是 d ，则其前 n 项和公式 为 1 ( 1) 2n n nS na d  . 【变式探究】 1..数列 是等差数列， ， ，则 （ ） A． 16 B． -16 C． 32 D． 2.（2021·全国高二课时练习）已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，a4+a7+a10=9，S14-S3=77，则使 Sn 取得最 小值时 n 的值为____. 3.（2018·北京高考真题（理））设 是等差数列，且 a1=3，a2+a5=36，则 的通项公式为__________． 考点二：等差数列的判定与证明 【典例 4】（2021·全国高考真题（理））已知数列 na 的各项均为正数，记 nS 为 na 的前 n 项和，从下面 4 / 7 ①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立． ①数列 na 是等差数列：②数列 nS 是等差数列；③ 2 13a a ． 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分． 【典例 5】（2019·浙江高考模拟）设 Sn 为数列an的前 n 项和，且 S2＝8， 2 ( 1) 1n nS n a n    ． （I）求 a1，a2 并证明数列{ na }为等差数列； （II）若不等式 2 0n nS   对任意正整数 n 恒成立，求实数的取值范围． 【规律方法】 1.等差数列的四种判断方法 (1) 定义法：对于数列 na ，若 daa nn 1  n N  (常数)，则数列 na 是等差数列； (2) 等差中项：对于数列 na ，若 212   nnn aaa  n N  ，则数列 na 是等差数列; (3)通项公式： na pn q  ( ,p q 为常数, n N ) ⇔  na 是等差数列; (4)前 n 项和公式： 2 nS An Bn  ( ,A B 为常数, n N ) ⇔  na 是等差数列; (5) na 是等差数列 ⇔ nS n     是等差数列. 2.提醒：（1）判断时易忽视定义中从第 2 项起，以后每项与前一项的差是同一常数，即易忽视验证 a2－a1 ＝d 这一关键条件. （2）若判断一个数列既不是等差数列又不是等比数列，只需用 1 2 3, ,a a a 验证即可． （3）形如 an＋1＝ kan man＋k 的数列可转化为等差数列求解：可用列举观察法求解；也可用变形构造法（倒数差） 求解（）见【变式探究】2）. 【变式探究】 1. （2020·全国高三其他（理））数列 na 中， 1 0a  ， 1 2n na a n  ，则 2020a  （ ） A．2019 B．2020 C．4039 D．4040 2．（2021·河北衡水中学高三其他模拟）已知数列 na 的前 n 项和为 nS ，满足 2 nS an bn  ( a ，b 为常数)， 且 9 2a  ，则 1 17a a  ___________；设函数   22 sin 2 2sin 2 xxf x    ，  n ny f a ，则数列 ny 的 前 17 项和为___________. 考点三 等差数列的性质及应用 5 / 7 【典例 6】（2021·黑龙江哈尔滨市·高三其他模拟（文））已知数列 na 是等差数列，若 1 2 3 1a a a   ， 4 5 6 3a a a   ，则 7 8 9a a a   （ ） A．5 B．4 C．9 D．7 【典例 7】（2021·北京高考真题） na 和 nb 是两个等差数列，其中  1 5k k a kb   为常值， 1 288a  ， 5 96a ， 1 192b  ，则 3b  （ ） A． 64 B．128 C． 256 D．512 【温馨提醒】 等差数列的性质主要涉及“项的性质”和“和的性质”，因此，要注意结合等差数列的通项公式、前 n 项和 公式求解． 【变式探究】 1．(2019·武汉调研)在等差数列{an}中，前 n 项和 Sn 满足 S7－S2＝45，则 a5＝( ) A．7 B．9 C．14 D．18 2.（2021·全国高二课时练习）设数列{an}是等差数列，且 a2=-6，a8=6，Sn 是数列{an}的前 n 项和，则（ ） A．S4