2022年新高考数学一轮复习5.5函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及其应用（讲）原卷版

1 / 9 专题 5.5 函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象及其应用 新课程考试要求 了解函数 y＝A sin (ωx＋φ) 的物理意义，掌握 y＝A sin (ωx＋φ) 的图象，了解 参数 A，ω，φ 对函数图象变化的影响. 核心素养 本节涉及所有的数学核心素养：逻辑推理（多例）、直观想象（多例）、数学运算（多 例）、数据分析（例 6）等. 高考预测 （1） “五点法”作图； （2）函数图象的变换； （3）三角函数模型的应用问题. （4）对于三角恒等变换，高考命题主要以公式的基本运用（正用、逆用、变用）、计算 为主，其中多与角的范围、三角函数的性质、三角形等知识结合考查. 【知识清单】 知识点 1．求三角函数解析式 （1）  siny A x   的有关概念  siny A x    0, 0A   ，  0,x  表示一个振动量时 振幅 周期 频率 相位 初相 A 2T   1 2f T    x   （2）用五点法画  siny A x   一个周期内的简图 用五点法画  siny A x   一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示： x   2          3 2      2    x  0 2   3 2  2  siny A x   0 A 0 － A 0 知识点 2．三角函数图象的变换 1.函数图象的变换（平移变换和上下变换） 平移变换：左加右减，上加下减 把函数  y f x 向左平移  0   个单位，得到函数  y f x   的图象; 把函数  y f x 向右平移  0   个单位，得到函数  y f x   的图象;+网】 把函数  y f x 向上平移  0   个单位，得到函数  y f x   的图象; 2 / 9 把函数  y f x 向下平移  0   个单位，得到函数  y f x   的图象. 伸缩变换: 把函数  y f x 图象的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的 1  ，得到函数   0 1y f x    的图象; 把函数  y f x 图象的纵坐标不变,横坐标缩短到原来的 1  ，得到函数   1y f x   的图象; 把函数  y f x 图象的横坐标不变,纵坐标伸长到原来的 A ，得到函数   1y Af x A  的图象; 把函数  y f x 图象的横坐标不变,纵坐标缩短到原来的 A ，得到函数   0 1y Af x A   的图象. 2. 由 siny x 的图象变换出  siny x    0  的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才 能灵活进行图象变换,利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种 变形，请切记每一个变换总是对字母 x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少. 途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)先将 siny x 的图象向左  0  或向右 0  平移  个单 位，再将图象上各点的横坐标变为原来的 1  倍( 0  )，便得  siny x   的图象. 途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换：先将 siny x 的图象上各点的横坐标变为原来的 1  倍 ( 0  )，再沿 x 轴向左( 0  )或向右( 0  )平移   || 个单位，便得  siny x   的图象. 注意：函数 sin( ) y x   的图象，可以看作把曲线 siny x 上所有点向左(当 0  时)或向右(当 0  时)平行移动   个单位长度而得到. 知识点 3．函数  siny A x   的图象与性质的综合应用 （1） xy sin 的递增区间是      2222  kk ， )( Zk  ，递减区间是      2 3222  kk ， )( Zk  . （2）对于 sin( )y A x   和 cos( )y A x   来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系. sin )y A x  （ 的图象有无穷多条对称轴，可由方程  2x k k Z      解出；它还有无穷多个对 称中心，它们是图象与 x 轴的交点，可由  x k k Z     ，解得  kx k Z     ，即其对称中心 为  ,0k k Z        ． 3 / 9 （3）若 sin( )y A x   为偶函数，则有 ( )2k k Z    ;若为奇函数则有 ( )k k Z   . （4） ( ) sin( )f x A x   的最小正周期都是 2 | |T   . 【考点分类剖析】 考点一 求三角函数解析式 【典例 1】【多选题】（2020·海南省高考真题）下图是函数 y= sin(ωx+φ)的部分图像，则 sin(ωx+φ)= （ ） A． πsin( 3x  ） B． πsin( 2 )3 x C． πcos(2 6x  ） D． 5πcos( 2 )6 x 【典例 2】（2020·山东五莲�高三月考）函数 ( ) sin( ) 0,| | 2f x x           的部分图象如图所示，则   __________；将函数  f x 的图象沿 x 轴向右平移 (0 )2b b   个单位后，得到一个偶函数的图象，则 b  __________. 【规律方法】 1.由  siny A x   的图象求其函数式：在观察图象的基础上可按以下规律来确定 A，ω，φ． (1)A：一般可由图象上的最大值、最小值来确定． 4 / 9 (2)ω：因为 T＝2π ω ，故往往通过求周期 T 来确定ω.可通过已知曲线与 x 轴的交点来确定 T，即相邻的最高点 与最低点之间的距离为T 2 ；相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为 T． (3)φ：从“五点法”中的第一个点(－φ ω ，0)(也叫初始点)作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个点的位 置． 依据五点列表法原理，点的序号与式子的关系如下： “第一点”(即图象上升时与 x 轴的交点)为ωx＋φ＝0； “第二点”(即图象曲线的“峰点”)为ωx＋φ＝π 2 ； “第三点”(即图象下降时与 x 轴的交点)为ωx＋φ＝π； “第四点”(即图象曲线的“谷点”)为ωx＋φ＝3π 2 ； “第五点”(即图象第二次上升时与 x 轴的交点)为ωx＋φ＝2π． 在用以上方法确定φ的值时，还要注意题目中给出的φ的范围，不在要求范围内的要通过周期性转化到要求 范围内． (4)A，ω，φ三个量中初相φ的确定是一个难点，除使用初始点(－φ ω ，0)外，还可在五点中找两个特殊点列方 程组来求解φ． 2.利用图象变换求解析式： 由 siny x 的图象向左  0  或向右 0  平移  个单位，得到函数  siny x   ，将图象上各点的 横坐标变为原来的 1  倍( 0  )，便得  siny x   ，将图象上各点的纵坐标变为原来的 A 倍( 0A  )， 便得  siny A x   . 【变式探究】 1. （2020·湖南娄星�高一期末）将函数 sin 2y x 的图象向左平移 π 6 个单位长度后得到曲线 1C ， 再将 1C 上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍得到曲线 2C ，则 2C 的解析式为（ ） A． πsin 3y x     B． πsin 6y x     C． πsin 3y x     D． πsin 4 3y x     2.（2020·江苏南通�高三其他）已知函数     sin 0,0f x x         的最小正周期是 ，若将 5 / 9 该函数的图象向右平移 3  个单位长度后得到的图象关于原点对称，则函数的解析式  f x  ________. 【总结提升】 根据函数的图象确定函数 sin( )y A x   中的参数的主要方法： （1） A 主要是根据图象的最高点或最低点的纵坐标确定； （2） 主要由最小正周期T 确定，而T 的值主要是根据一个周期内图象的零点与最值点的横坐标确定； （3） 主要是由图象的特殊点的坐标确定． 考点二 三角函数图象的变换 【典例 3】（2021·黑龙江佳木斯市·佳木斯一中高三三模（理））将函数 f(x)的图象向左平移 3  个单位长度， 再将所得函数图象上的所有点的横坐标变为原来的 3 2 倍，得到函数 g(x)＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ| ＜π）的图象．已知函数 g(x)的部分图象如图所示，则下列关于函数 f(x)的说法正确的是（ ） A．f(x)的最小正周期为 3  B．f(x)在区间 ,9 3 π π     上单调递减 C．f(x)的图象关于直线 x＝ 9  对称 6 / 9 D．f(x)的图象关于点 ,09      成中心对称 【典例 4】【多选题】（2021·辽宁实验中学高三其他模拟）为得到函数 cos 3y x      的图象，只需将 cos2y x 的图象（ ） A．先将横坐标扩大到原来的 2 倍(纵坐标不变)，再向右平移 6  个单位长度 B．先将横坐标扩大到原来的 2 倍(纵坐标不变)，再向右平移 3  个单位长度 C．先向右平移 6  个单位长度，再将横坐标扩大到原来的 2 倍(纵坐标不变) D．先向右平移 3  个单位长度，再将横坐标扩大到原来的 2 倍(纵坐标不变) 【规律方法】 函数的图象变换除了平移变换外，还有对称变换．如本例．一般地，函数 f(x)的图象与 f(－x)的图象关于 y 轴对称；－f(x)的图象与 f(x)的图象关于 x 轴对称；－f(－x)的图象与 f(x)的图象关于原点对称；f(|x|)的图象关 于 y 轴对称． 【变式探究】 1.（2020·浙江高一单元测试）如图是函数 sin( )( )y A x x R    在区间 5,6 6      上的图象．为了得到 这个函数的图象，只要将 sin ( )y x x R  的图象上所有的点（ ）． A．向左平移 3  个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 1 2 ，纵坐标不变 B．向左平移 6  个单位长度，再把所得各点的横坐标仲长到原来的 1 2 ，纵坐标不变 C．把所得各点的横坐标缩短到原来的 1 2 ，纵坐标不变，再向左平移 6  个单位长度 7 / 9 D．向左平移 3  个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变 2.【多选题】（2021·江苏高三其他模拟）将函数 ( ) 2sin 2 3f x x      图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)，再向右平移 6  个单位长度后，得到函数 ( )y g x 的图象，则下列结论中正确的有（ ） A．函数 ( )g x 的最大值为 2 B．函数 ( )g x 的图象关于点 ,06      对称 C．函数 ( )g x 是偶函数 D．直线 8x  是函数 ( )g x 图象的一条对称轴 【特别提醒】 1.图象的左右平移是针对 x 而言的，即平移多少是指自变量“x”的变化，x 系数为 1，而不是对“ωx＋φ”而言 的． 2．图象的伸缩变换即周期变换也是针对 x 而言的，即只是自变量 x 的系数发生改变，变为原来的1 ω 倍，而 不涉及φ． 3.在进行图象变换时，先平移后伸缩与先伸缩后平移是两种不同的变换，且这两种变换中，平移的单位长度 不同，前者平移了|φ|个单位长度，而后者平移了|φ ω|个单位长度，这是因为由 y＝sinωx 的图象变换为 y＝sin(ωx ＋φ)的图象的过程中，各点的横坐标增加或减少了|φ ω|个单位长度，即 x→x＋φ ω ，ωx→ωx＋φ． 考点三 三角函数模型的应用 【典例 5】【多选题】（2021·广东深圳市·高三二模）摩天轮常被当作一个城市的地标性建筑，如深圳前海的“湾 区之光”摩天轮，如图所示，某摩天轮最高点离地面高度 128 米，转盘直径为 120 米，设置若干个座舱，游 客从离地面最近的位置进舱，开启后按逆时针匀速旋转t 分钟，当 15t  时，游客随舱旋转至距离地面最远 处．以下关于摩天轮的说法中，正确的为（ ） A．摩天轮离地面最近的距离为 4 米 B．若旋转t 分钟后，游客距离地面的高度为 h 米，则 60cos 6815h t      C．若在 1t ， 2t 时刻，游客距离地面的高度相等，则 1 2t t 的最小值为 30 8 / 9 D． 1t ，  2 0,20t  ，使得游客在该时刻距离地面的高度均为 90 米 【典例 6】平潭国际“花式风筝冲浪”集训队，在平潭龙凤头海滨浴场进行集训，海滨区域的某个观测点观 测到该处水深 y （米）是随着一天的时间  0 24,t t  单位小时 呈周期性变化，某天各时刻t 的水深数据 的近似值如下表： 0 3 6 9 12 15 18 21 24 1.5 2．4 1.5 0．6 1.4 2.4 1.6 0.6 1.5 （Ⅰ）根据表中近似数据画出散点图（坐标系在答题卷中）.观察散点图，从 ①  siny A t   ， ②  cos by A t    ，③ siny A t b   (A 0, 0, 0)       中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的函数解析式；（Ⅱ）为保证队 员安全，规定在一天中的 5～18 时且水深不低于 1.05 米的时候进行训练，根据（Ⅰ） 中的选择的函数 解析式，试问：这一天可以安排什么时间段组织训练，才能确保集训队员的安全. 【规律方法】 三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问 题，建立数学模型再利用三角函数的有关知识解决问题． 【变式探究】 （2021·全国高一课时练习）如图是一半径为 2 米的水轮，水轮的圆心O 距离水面 1 米，已知水轮自点 M 开 始以 1 分钟旋转 4 圈的速度顺时针旋转，点 M 距水面的高度 y （米 ) 与时间 x （秒 ) 满足函数关系式 sin( ) 1( 0y A x A     ， 0 ，| | )2   ，则 A  __， __． 考点四 函数的图象与性质的综合应用 【典例7】(2019年高考全国Ⅲ卷文)函数 ( ) 2sin sin2f x x x  在[0，2π]的零点个数为（ ） 9 / 9 A．2 B．3 C．4 D．5 【典例 8】(2019 年高考浙江卷)设函数 ( ) sin ,f x x x R . （1）已知 [0,2 ),   函数 ( )f x  是偶函数，求 的值； （2）求函数 2 2[ ( )] [ ( )]12 4y f x f x     的值域． 【典例 9】（2017·山东高考真题（理））设函数 ‸㐲⸵ ㌳ sin‸㐲 ⸵ sin‸㐲 ⸵ ，其中 .已知 ‸ ⸵ ㌳ . （Ⅰ）求 ； （Ⅱ）将函数 ㌳ ‸㐲⸵ 的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移 个单位，得到函数 ㌳ 䁝‸㐲⸵ 的图象，求 䁝‸㐲⸵ 在 上的最小值. 【规律方法】 1.方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数． 2.研究 y＝Asin(ωx＋φ)的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题． 【变式探究】 1. （2021·江西新余市·高一期末（理））已知函数 2( ) sin 2 2 3 cos 33f x x x       . （1）已知 1 2 3 3f       ，求 cos 23      的值； （2）当 ,4 4x       时，不等式 ( 1) ( ) 2 12 ( ) 2 m f x mm f x     恒成立，求实数 m 的取值范围. 2. （2020·全国高三（文））已知 0    ，函数 23( ) cos(2 ) sin2f x x x   ． （Ⅰ）若 6 π ，求 ( )f x 的单调递增区间； （Ⅱ）若 ( )f x 的最大值是 3 2 ，求 的值．