2022年新高考数学一轮复习7.1数列的概念与简单表示（讲）原卷版

1 / 7 专题 7.1 数列的概念与简单表示 新课程考试要求 1. 了解数列的概念和表示方法 (列表、图象、公式). 核心素养 本节涉及所有的数学核心素养：逻辑推理（多例）、数学运算（多例）等. 考向预测 1．利用 an 与 Sn 的关系求通项,递推数列求通项. 2．数列的周期性、单调性及最值. 3．关于数列的概念问题，虽然在高考中很少独立命题，但数列的通项公式、猜想、归 纳、递推意识却融入数列的试题之中，多与等差数列、等比数列及数列的求和等综合考 查. 4.复习中要特别注意: (1)构造特殊数列求通项； (2)利用数列的单调性求参数范围或数列项的最值. 【知识清单】 知识点一．数列的概念与通项公式 1．数列的定义 按照一定顺序排列的一列数，称为数列.数列中的每一项叫做数列的项.数列的项在这列数中是第几项，则在 数列中是第几项.一般记为数列{ }na . 对数列概念的理解 (1)数列是按一定“顺序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有 关，这有别于集合中元素的无序性．因此，若组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同 的两个数列． (2)数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重复出现，这也是数列与数集的区别． 2．数列的分类 分类原则 类型 满足条件 按项数分类 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 按项与项间的 大小关系分类 递增数列 1n na a  其中 n∈N＋ 递减数列 1n na a  2 / 7 3．数列是一种特殊的函数 数列是一种特殊的函数，其定义域是正整数集 N  和正整数集 N  的有限子集.所以数列的函数的图像不是连 续的曲线，而是一串孤立的点. 4.数列的通项公式： 如果数列 na 的第 n 项与序号 n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公 式．即  na f n ,不是每一个数列都有通项公式,也不是每一个数列都有一个个通项公式. 5.数列 na 的前 n 项和 nS 和通项 na 的关系： 1 1 ( 1) ( 2)n n n S na S S n     . 知识点二．数列的性质 数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取 值时所对应的一列函数值，就是数列．所以数列的函数的图像不是连续的曲线，而是一串孤立的点，因此， 在研究数列问题时既要注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性． 数列的性质主要指： 1.数列的单调性----递增数列、递减数列或是常数列； 2.数列的周期性. 【考点分类剖析】 考点一 ：由数列的前几项求数列的通项公式 【典例 1】（2021·海南高二期末）已知数列 na 的前四项依次为 1 3 ，1 5 ， 1 9 ， 1 17 ，则 na 的通项公式可能 是 na  ___________. 【规律方法】 1．根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与 n 之间的关系、规律， 常数列 1n na a  按其他标准分 类 有界数列 存在正数 M ，使 na M 摆动数列 na 的符号正负相间，如 1，－1,1， －1，… 3 / 7 可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求．对于正负符号变化，可用 1 n 或   11 n 来调整． 2．根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想．由不完 全归纳法得出的结果是不可靠，要注意代值验证. 3.对于数列的通项公式要掌握：①已知数列的通项公式，就可以求出数列的各项；②根据数列的前几项，写 出数列的一个通项公式，这是一个难点，在学习中要注意观察数列中各项与其序号的变化情况，分解所给 数列的前几项，看看这几项的分解中．哪些部分是变化的，哪些是不变的，再探索各项中变化部分与序号 的联系，从而归纳出构成数列的规律，写出通项公式. 【变式探究】 若数列的前 4 项分别是                  ，则此数列的一个通项公式为（ ） A． B． C． t t D． t【总结提升】 根据数列的前几项求其通项公式，一般通项公式不唯一，我们常常取其形式上较简便的一个即可．解答时， 主要靠观察、分析、比较、归纳、联想、转化等方法．观察时特别注意：①各项的符号特征；②分式的分 子、分母特征；③相邻项的变化规律(绝对值的增减)．处理方法常用的有：①化异为同(统一分子、或分母 的结构形式)；②拆项；③用(－1)n 等表示符号规律；④与特殊数列(自然数、偶数、奇数、自然数的平方， 2n 等)的联系． 考点二：由前 n 项和公式推导通项公式，即 na 与 nS 的关系求通项 na 【典例 2】（2021·正阳县高级中学高三其他模拟（理））已知数列 na 的前 n 项和为 nS ，且 22 3 17nS n n  ， 若 10 11 n n nb a      ，则数列 nb 的最大值为（ ） A．第 5 项 B．第 6 项 C．第 7 项 D．第 8 项 【典例 3】（2021·浙江高二期末）已知等比数列 na 前 n 项和 nS 满足 11 3n nS A    （ A R ），数列 nb 是递增的，且 2 nb An Bn  ，则实数 B 的取值范围为（ ） A． 2 ,3     B． 1,  C．  1,  D． 1,3      【规律方法】 1.Sn 与 an 关系问题的求解思路 4 / 7 根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化． (1)利用 an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含 Sn，Sn－1 的关系式，再求解． (2)利用 Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含 an，an－1 的关系式，再求解． 2.已知 Sn 求 an 的三个步骤 (1)先利用 a1＝S1 求出 a1. (2)用 n－1 替换 Sn 中的 n 得到一个新的关系，利用 an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当 n≥2 时 an 的表达式． (3)对 n＝1 时的结果进行检验，看是否符合 n≥2 时 an 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写； 如果不符合，则应该分 n＝1 与 n≥2 两段来写． 【变式探究】 1.（2019·山东高考模拟（文））设数列 na 的前 n 项和为 nS ，已知 1 21 2a a ， ，且 2 12 3n n na S S    ， 记 2 2 1 2 2log logn n nb a a  ，则数列   21 n nb  的前 10 项和为______． 2.（2019·山西高考模拟（文））记数列{ }na 的前 n 项和为 nS ，若 3 2 3n nS a n   ，则数列{ }na 的通项 公式为 na  ______. 考点三：由递推公式推导通项公式 【典例 4】（2021·全国高二课时练习）已知数列{an}满足 a1=0，an+1=an+(2n-1)，写出它的前 5 项，并归纳出 数列的一个通项公式. 【典例 5】（2021·河北衡水市·高三其他模拟）在① 1 3( 1)n nna n a   ，② 1 3 2n na a   ，③ 1 1 3 3n n na a     ， 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题. 已知数列  na∣ 中， 1 3a  ，满足___________，求数列 na 的前 n 项和 nS . 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【规律方法】 1.基本方法是归纳法； 2.递推公式推导通项公式方法： （1）累加法： 1 ( )n na a f n   （2）累乘法： 1 ( )n n a f na   （3）待定系数法： 1n na pa q   （其中 ,p q 均为常数， )0)1(( ppq ） 5 / 7 解法：把原递推公式转化为： )(1 tapta nn  ，其中 p qt  1 ，再利用换元法转化为等比数列求解. （4）待定系数法： n nn qpaa 1 （其中 ,p q 均为常数， )0)1)(1((  qppq ）. （或 1 n n na pa rq   其中 , ,p q r 均为常数）. 解法：在原递推公式两边同除以 1nq ，得： 1 1 1n n n n a ap q q q q      ，令 n n n q ab  ，得： qbq pb nn 1 1  ，再按 第（3）种情况求解. （5）待定系数法： banpaa nn 1 ( 1 0 0)p a ，， 解法：一般利用待定系数法构造等比数列，即令 )()1(1 yxnapynxa nn  ，与已知递推式比较， 解出 yx, ,从而转化为 yxnan  是公比为 p 的等比数列. （6）待定系数法： 2 1 ( 0,1, 0)n na pa an bn c p a       解法：一般利用待定系数法构造等比数列，即令 2 2 1 ( 1) ( 1) ( )n na x n y n z p a xn yn z          ，与 已知递推式比较，解出 yx, ,从而转化为 2 na xn yn z   是公比为 p 的等比数列. （7）待定系数法： nnn qapaa   12 （其中 ,p q 均为常数）. 解法：先把原递推公式转化为 )( 112 nnnn saatsaa   其中 ,s t 满足 s t p st q      ，再按第（4）种情况求 解. （8）取倒数法： 1 ( ) ( ) ( ) n n n g n aa f n a t n   解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为 qpaa nn 1 ，按第（3）种情况求解. （ 1 1( ) ( ) ( ) 0n n n ng n a t n a f n a a    ，解法：等式两边同时除以 1n na a  后换元转化为 qpaa nn 1 ，按 第（3）种情况求解.）. （9）取对数 r nn paa 1 )0,0(  nap 解法：这种类型一般是等式两边取以 p 为底的对数，后转化为 qpaa nn 1 ，按第（3）种情况求解. 【变式探究】 6 / 7 1.（2019·贵阳清镇北大培文学校高一月考）已知数列 na 满足 2 ( *)n nS n a n N   . （1）计算 1,a 2 ,a 3 ,a 4 ,a 5a ； （2）并猜想 na 的通项公式（不需要证明但要求简要写出分析过程）. 2．（2017·全国高考真题（文））设数列 满足 t t t . （1）求 的通项公式； （2）求数列 t 的前 项和． 考点四：数列的通项及性质的应用 【典例 6】（2021·全国高三其他模拟（理））对于 n N 有如下 4 个数列：（1） sinna n ；（2） 3 4na n  （3） n 2 , 5 , n n na n    为奇数 为偶数 （4）   2n 1 n na n     ．其中满足条件 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2, ,n n n n n na a a a a a      的个 数为（ ） A． B．2 C．3 D．4 【典例 7】（2020·上海市七宝中学期中）数列 na 满足 1 2 1 2n n n n n na a a a a a       * 1 1,n na a n N   ， 且 1 1a  ， 2 2a  .规定的 na 通项公式只能用  sinA x c   0, 0, 2A        的形式表示. （1）求 3a 的值； （2）证明 3 为数列 na 的一个周期，并用正整数 k 表示 ； （3）求 na 的通项公式. 【规律方法】 1.解决数列周期性问题的方法 先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值． 2.求数列最大项或最小项的方法 (1)利用不等式组 an－1≤an， an≥an＋1 (n≥2)找到数列的最大项； (2)利用不等式组 an－1≥an， an≤an＋1 (n≥2)找到数列的最小项． 3.前 n 项和最值的求法 7 / 7 (1)先求出数列的前 n 项和 nS ，根据 nS 的表达式求解最值； (2)根据数列的通项公式，若 0ma  ，且 1 0ma   ，则 mS 最大；若 0ma  ，且 1 0ma   ，则 mS 最小，这样 便可直接利用各项的符号确定最值. 【变式探究】 1.（2019·高考模拟（文））已知函数  y f x 的定义域为 R ，当 0x  时   1f x  ，且对任 意的实数 ,x y R ，等式      f x f y f x y  成立，若数列 na 满足    1 1 11n n f a f n Na         ， 且  1 0a f ，则下列结论成立的是（ ） A．    2016 2018f a f a B．    2017 2020f a f a C．    2018 2019f a f a D．    2016 2019f a f a 2.（2021·全国高三其他模拟（理））在数列 na 中， 1 1a  ， 2 3a  ， 2 1n na a   ，则 2021 1 2 2021a a a 的 值为______．