2022年新高考数学一轮复习4.2 应用导数研究函数的单调性（讲）解析版

1 / 17 专题 4.2 应用导数研究函数的单调性 新课程考试要求 1. 了解函数单调性和导数的关系，会用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间. 核心素养 本节涉及所有的数学核心素养：逻辑推理（多例）、数学建模、直观想象（例 4.5）、 数学运算（多例）、数据分析等. 考向预测 （1）以研究函数的单调性、单调区间等问题为主，根据函数的单调性确定参数的值或 范围，与不等式、函数与方程、函数的图象相结合； （2）单独考查利用导数研究函数的某一性质以小题呈现；大题常与不等式、方程等结 合考查，综合性较强.其中研究函数的极值、最值，都绕不开研究函数的单调性． 【知识清单】 1．利用导数研究函数的单调性 在 ( , )a b 内可导函数 ( )f x ， '( )f x 在 ( , )a b 任意子区间内都不恒等于 0. '( ) 0 ( )f x f x  在 ( , )a b 上为增函数． '( ) 0 ( )f x f x  在 ( , )a b 上为减函数． 【考点分类剖析】 考点一 ：判断或证明函数的单调性 【典例 1】（2020·辽宁高三期中）已知函数  3( ) lnf x x a x a R   . （1）讨论函数 ( )f x 的单调性； （2）若函数 ( ) ( ) 18g x f x x  在区间 1,e 上是增函数，求实数 a 的取值范围. 【答案】（1）若 0a  时，函数在 0,  上单调递增；若 0a  时，函数在 30, 3 a      上单调递减，在 3 ,3 a     上单调递增；（2） , 12 2   . 【解析】 （1）先求导，根据导数和函数的单调性的关系，分类讨论即可求出； （2）对 ( )g x 求导得 33 18( ) x x ag x x    ，由 ( )g x 在区间 1,e 上是增函数，可得  1,x e 时， 33 18a x x  恒成立，令 3( ) 3 18h x x x  ，  1,x e ，利用导数求出 ( )h x 的最小值，即可求得 a 的取值 范围. 【详解】 2 / 17 解：（1）函数 ( )f x 的定义域为 0,  ，   3 2 3( ) 3 0a x af x x xx x      ， ①若 0a  时， ( ) 0f x  ，此时函数在  0,  上单调递增； ②若 0a  时，令 ( ) 0f x  ，可得 3 3 ax  ， ( ) 0f x  ，可得 30 3 ax  ， 所以函数在 30, 3 a      上单调递减，在 3 ,3 a     上单调递增. （2） 3 2 3 18( ) ( ) 18 3 18a x x ag x f x x x x         ， 若函数 ( ) ( ) 18g x f x x  在区间 1,e 上是增函数， 又当  1,x e 时， 33 18a x x  恒成立， 令 3( ) 3 18h x x x  ，  1,x e ，则  2 2( ) 9 18 9 2h x x x     ， 令 ( ) 0h x  ，有 2 x e  ，可得函数 ( )h x 的增区间为 2,e ，减区间为 1, 2 ， 所以 min( ) ( 2) 6 2 18 2 12 2h x h     ， 有 12 2a   ， 故实数 a 的取值范围为 , 12 2   . 【典例 2】（2020·全国高考真题（理））已知函数 f(x)=sin2xsin2x. （1）讨论 f(x)在区间(0，π)的单调性； 【答案】（1）当 0, 3x     时，    ' 0,f x f x 单调递增，当 2,3 3x      时，    ' 0,f x f x 单调递 减，当 2 ,3x      时，    ' 0,f x f x 单调递增. 【解析】 (1)由函数的解析式可得：   32sin cosf x x x ，则：    2 2 4' 2 3sin cos sinf x x x x   2 2 22sin 3cos sinx x x  .【答案】(Ⅰ)a=3；(Ⅱ)答案见解析 （Ⅱ）讨论函数  f x 的单调性。 （Ⅰ）若 ' (2) 0f  ，求 a 的值； 2.已知函数    21 1 ln2f x x ax a x    ， 1a  。 所以 ( )f x 的减区间为 ( ,0) ，增区间为 (0, ) ； 令 ' ( ) 0f x  ，解得 0x  ，令 ' ( ) 0f x  ，解得 0x  ， （1）当 1a  时， ( ) ( 2)xf x e x   ， ' ( ) 1xf x e  ， 【解析】  . 【答案】（1） ( )f x 的减区间为 ( ,0) ，增区间为 (0, ) ；（2） 1( , )e （1）当 1a  时，讨论 ( )f x 的单调性； 1. （2020·全国高考真题（文））已知函数 ( ) ( 2)xf x e a x   . 【变式探究】 在相应区间上是减增函数.ڊ嵂 时， ሻ ڊ嵂 在相应区间上是增函数；当 ڊ嵂 时， ሻ ڊ嵂 的取值范围，当 ڊ ）解出相应的 ሻ ڊ嵂 （或 ሻ ڊ嵂 ③由； ڊ嵂 的定义域；②求导数 ڊ嵂 2.利用导数研究函数的单调性的方法步骤：①确定函数 调递减；(3)若恒有 f′(x)＝0，则 y＝f(x)是常数函数，不具有单调性． 求函数 f(x)的导数 f′(x)：(1)若 f′(x)>0，则 y＝f(x)在(a，b)上单调递增；(2)若 f′(x)1， ∴f(x)的定义域为(0,+∞)，         1 11 11' x x ax x aaf x x a x x x             ， 令 f′(x)=0,得 x1=1,x2=a−1. ①若 a−1=1,即 a=2 时,    21' 0xf x x   ，故 f(x)在(0,+∞)单调递增. ②若 0