精准备战2022年高考数学（理）一轮复习考点16 三角函数的图象与性质

1 考点 16 三角函数的图像与性质 【命题趋势】 三角函数的图象与性质是高中知识的重点，也是高考考查的重点、热点，常结合三角函数公 式的化简进行考查，必须要求我们熟练掌握该知识点： （1）能画出 y=sin x，y =cos x，y = tan x 的图象，了解三角函数的周期性. （2）理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π] 上的性质（如单调性、最大值和最小值以及与 x 轴的交点等），理解正切函数在区间 ,2 2      内的单调性. （3）了解函数 sin( )y A x   的物理意义；能画出 sin( )y A x   的图象，了解参 数 , ,A   对函数图象变化的影响. （4）了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际 问题. 【重要考向】 一、三角函数的图像变换 二、确定三角函数的解析式 三、三角函数的性质 四、函数 sin( )y A x   的性质与其他知识的综合应用 三角函数的图像变换 函数 y＝sin x 的图象经变换得到 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径 【巧学妙记】 2 （1）对函数 y=sin x，y=Asin(ωx＋φ)或 y=Acos(ωx＋φ)的图象，无论是先平移再伸 缩，还是先伸缩再平移，只要平移|φ|个单位，都是相应的解析式中的 x 变为 x±|φ|，而不是ωx 变为ωx±|φ|. （2）注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应用诱导公式化为同名 函数再平移. 【典例】 1.要得到函数 y＝sin（2x+ π 9 ）的图象，只需将函数 y＝cos（2x﹣ π 9 ）的图象上所有点 A．向左平移 5π 18 个单位长度 B．向右平移 5π 18 个单位长度 C．向左平移 5π 36 个单位长度 D．向右平移 5π 36 个单位长度 【答案】D 【解析】∵函数 π π π 7π 5π πcos 2 sin 2 sin 2 sin 29 9 2 18 36 9y x x x x                                  ， 要得到函数 πsin 2 9y x     的图象，只需将函数 πcos 2 9y x     的图象上所有点 向右平移 5π 36 个单位长度. 故选 D. 2.已知曲线 C1：y=cos x，C2：y=sin (2x+ 2π 3 )，则下面结论正确的是 A．把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 π 6 个 单位长度，得到曲线 C2 B．把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 π 12 个单位长度，得到曲线 C2 3 C．把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 π 6 个 单位长度，得到曲线 C2 D．把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 π 12 个单位长度，得到曲线 C2 【答案】D 【解析】因为 1 2,C C 函数名不同，所以先将 2C 利用诱导公式转化成与 1C 相同的函数名， 则 2 2π 2π π π: sin(2 ) cos(2 ) cos(2 )3 3 2 6C y x x x       ，则由 1C 上各点的横坐标缩 短到原来的 1 2 倍变为 cos2y x ，再将曲线向左平移 π 12 个单位长度得到 2C ，故选 D. 【名师点睛】对于三角函数图象变换问题，首先要将不同名函数转换成同名函数，利用 诱导公式，需要重点记住 π πsin cos( ),cos sin( )2 2        ；另外，在进行图象变 换时，提倡先平移后伸缩，而先伸缩后平移在考试中也经常出现，无论哪种变换，记住 每一个变换总是对变量 x 而言. 3.将函数  f x 的图像向左平移 3  个单位，再将所得图像上所有点的横坐标伸长到原来的 3 2 倍，纵坐标不变，所得图像对应的函数解析式为 4 4sin 3 cos3 3y x x  则函数  f x 的解 析式为 。 【答案】   2sin 2 3f x x      【解析】 4 4sin 3 cos3 3y x x  4 1 4 32 sin cos3 2 3 2 xx         42sin 3 3 x      ， 所以纵坐标不变，横坐标变为其的 2 3 ，得到 2sin 2 3y x      ，再向右平移 3  个单位， 得到   2sin 2 3 3f x x           2sin 2 3x      . 确定三角函数的解析式 结合图象及性质求解析式 y=Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)的方法 4 （1）求 A，B，已知函数的最大值 M 和最小值 m，则 ,2 2 M m M mA B   . （2）求ω，已知函数的周期 T，则 2π T   . （3）求φ，常用方法有： ①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时，A，ω，B 已知)． ②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点 ( ,0)  作为突破口，具体如 下： “第一点”(即图象上升时与 x 轴的交点中距原点最近的交点)为ωx＋φ=0；“第二点”(即图象的 “峰点”)为ωx＋φ= π 2 ；“第三点”(即图象下降时与 x 轴的交点)为ωx＋φ=π；“第四点”(即图象 的“谷点”)为ωx＋φ= 3π 2 ；“第五点”为ωx＋φ=2π. 【巧学妙记】 当函数 sin( )y A x   （A>0,ω>0, [0, )x  ）表示一个简谐振动量时， 则 A 叫做振幅， T= 2   叫做周期， f = 1 2πT  叫做频率, x  叫做相位， x=0 时的相位 叫做初相. 【典例】 4.已知函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0