第8章 第7节　抛物线-2022届高三数学一轮复习讲义（新高考）

第七节 抛物线 一、教材概念·结论·性质重现 1．抛物线的概念 我们把平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(l 不经过点 F)的距离相等的点的 轨迹叫做抛物线．点 F 叫做抛物线的焦点，直线 l 叫做抛物线的准线． 2．抛物线的标准方程与几何性质 标准方程 y2＝2px (p>0) y2＝－2px (p>0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py (p>0) p 的几何意义：焦点 F 到准线 l 的距离 图形 顶点坐标 O(0,0) 对称轴 x 轴 y 轴 焦点坐标 F p 2 ，0 F －p 2 ，0 F 0，p 2 F 0，－p 2 离心率 e＝1 准线方程 x＝－p 2 x＝p 2 y＝－p 2 y＝p 2 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 开口方向 向右 向左 向上 向下 (1)抛物线方程中，字母 p 的几何意义是抛物线的焦点 F 到准线的距离，p 2 等 于焦点到抛物线顶点的距离． (2)求抛物线方程时，要依据题设条件，弄清抛物线的对称轴和开口方向， 正确选择抛物线的标准方程． (3)由 y2＝mx(m≠0)或 x2＝my(m≠0)求焦点坐标时，只需将 x 或 y 的系数除 以 4，再确定焦点位置即可． (4)抛物线 y2＝2px(p>0)上一点 P(x0，y0)到焦点 F p 2 ，0 的距离|PF|＝x0＋p 2 ， 也称为抛物线的焦半径． 二、基本技能·思想·活动体验 1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”． (1)平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物 线． (×) (2)方程 y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在 x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是 a 4 ，0 ，准线方程是 x＝－a 4 ． (×) (3)抛物线方程中，字母 p 的几何意义是焦点到抛物线顶点的距离． (×) (4)AB 为抛物线 y2＝2px(p>0)的过焦点 F p 2 ，0 的弦．若 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 x1x2＝p2 4 ，y1y2＝－p2，弦长|AB|＝x1＋x2＋p． (√) (5)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛 物线的通径，那么抛物线 x2＝－2ay(a>0)的通径长为 2a． (√) 2．已知方程 y2＝4x 表示抛物线，且该抛物线的焦点到直线 x＝m 的距离为 4， 则 m 的值为( ) A．5 B．－3 或 5 C．－2 或 6 D．6 B 解析：抛物线 y2＝4x 的焦点为 F(1,0)，它与直线 x＝m 的距离为 d＝|m－ 1|＝4，所以 m＝－3 或 5. 3．设抛物线 y2＝8x 上一点 P 到 y 轴的距离是 4，则点 P 到该抛物线焦点的 距离是( ) A．4 B．6 C．8 D．12 B 解析：如图所示，抛物线的准线 l 的方程为 x＝－2，F 是抛物线的焦点．过 点 P 作 PA⊥y 轴，垂足是 A，延长 PA 交直线 l 于点 B，则|AB|＝2.由于点 P 到 y 轴的距离为 4，则点 P 到准线 l 的距离|PB|＝4＋2＝6，所以点 P 到焦点的距离|PF| ＝|PB|＝6.故选 B． 4．顶点在原点，且过点 P(－2,3)的抛物线的标准方程是____________． y2＝－9 2x 或 x2＝4 3y 解析：设抛物线的标准方程为 y2＝kx 或 x2＝my，代入 点 P(－2,3)，解得 k＝－9 2 ，m＝4 3 ，所以 y2＝－9 2x 或 x2＝4 3y. 5．抛物线 y2＝8x 上到其焦点 F 距离为 5 的点的个数为________． 2 解析：设 P(x1，y1)，则|PF|＝x1＋2＝5，得 x1＝3，y1＝±2 6.故满足条件 的点的个数为 2. 考点 1 抛物线的标准方程——基础性 1．过点 F(0,3)且与直线 y＋3＝0 相切的动圆圆心的轨迹方程为( ) A．y2＝12x B．y2＝－12x C．x2＝－12y D．x2＝12y D 解析：由题意，得动圆的圆心到直线 y＝－3 的距离和到点 F(3,0)的距离 相等，所以动圆的圆心是以点 F(0,3)为焦点，直线 y＝－3 为准线的抛物线，其 方程为 x2＝12y. 2．如图，过抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点 F 的直线依次交抛物线及准线于点 A， B，C．若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则抛物线的方程为( ) A．y2＝3 2x B．y2＝9x C．y2＝9 2x D．y2＝3x D 解析：如图，分别过点 A，B 作准线的垂线，分别交准线于点 E，D． 设|BF|＝a，则|BC|＝2a，|BD|＝a，故∠BCD＝30°.在直角三角形 ACE 中，因 为|AF|＝3，|AC|＝3＋3a，所以 2|AE|＝|AC|，所以 3＋3a＝6，从而得 a＝1.因为 BD∥FG，所以1 p ＝2 3 ，解得 p＝3 2 ，因此抛物线方程为 y2＝3x.故选 D． 3．已知抛物线的顶点在原点，焦点在 x 轴的正半轴上．若抛物线的准线与 双曲线 5x2－y2＝20 的两条渐近线围成的三角形的面积等于 4 5，则抛物线的方 程为____________． y2＝8x 解析：设抛物线的方程为 y2＝2px(p>0)，则抛物线的准线方程为 x ＝－p 2 ，双曲线的渐近线方程为 y＝± 5x. 由围成的三角形面积为 4 5，可得1 2 ×p 2 × 5p＝4 5，解得 p＝4.所以抛物线 的方程为 y2＝8x. 抛物线标准方程的求法 (1)定义法：根据条件确定动点满足的几何特征，从而求出抛物线的标准方 程． (2)待定系数法：根据条件设出标准方程，再确定参数 p 的值，这里要注意 抛物线的标准方程有四种形式．若焦点在 x 轴上，设为 y2＝px(p≠0)；若焦点在 y 轴上，设为 x2＝py(p≠0)． 考点 2 抛物线的定义及应用——综合性 (1)已知 F 为抛物线 C：y2＝4x 的焦点，过点 F 的直线 l 交抛物线 C 于 A，B 两点．若|AB|＝8，则线段 AB 的中点 M 到直线 x＋1＝0 的距离为( ) A．2 B．4 C．8 D．16 B 解析：如图，抛物线 y2＝4x 的焦点为 F(1,0)，准线为 x＝－1，即 x＋1 ＝0. 过 A，B 作准线的垂线，垂足分别为 C，D，则有|AB|＝|AF|＋|BF|＝|AC|＋|BD| ＝8.过 AB 的中点 M 作准线的垂线，垂足为 N，则 MN 为直角梯形 ABDC 的中位 线，则|MN|＝1 2(|AC|＋|BD|)＝4，即点 M 到准线 x＝－1 的距离为 4. (2)(2020·山东滨州期末)已知抛物线 y2＝4x 的焦点为 F，准线为 l，P 为该抛 物线上一点，PA⊥l，A 为垂足．若直线 AF 的斜率为－ 3，则△PAF 的面积为( ) A．2 3 B．4 3 C．8 D．8 3 B 解析：由题意得，抛物线 y2＝4x 的焦点 F(1,0)，设抛物线 y2＝4x 的准线 与 x 轴的交点为 D，则|DF|＝2.又直线 AF 的斜率为－ 3，所以∠AFD＝60°，因 此|AF|＝2|DF|＝4，∠FAP＝60°.由抛物线的定义可得|PA|＝|PF|，所以△PAF 是 边长为 4 的等边三角形，所以△PAF 的面积为1 2 ×4×4×sin 60°＝4 3.故选 B． 将本例(2)中点 A 的坐标改为(3,4)，则|PA|＋|PF|的最小值为________． 2 5 解析：因为点 A(3,4)在抛物线的外部，所以当 P，A，F 共线时，|PA| ＋|PF|最小，|PA|＋|PF|≥|AF|＝ (3－1)2＋42＝2 5. 抛物线定义的应用技巧 (1)涉及抛物线上的点到焦点(准线)的距离问题，可优先考虑利用抛物线的定 义转化为点到准线(焦点)的距离问题求解．“看到准线想焦点，看到焦点想准 线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径． (2)与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关． 1．(2020·全国卷Ⅰ)已知点 A 为抛物线 C：y2＝2px(p>0)上一点，点 A 到 C 的焦点的距离为 12，到 y 轴的距离为 9，则 p＝( ) A．2 B．3 C．6 D．9 C 解析：设焦点为 F，点 A 的坐标为(x0，y0)， 由抛物线定义得|AF|＝x0＋p 2. 因为点 A 到 y 轴的距离为 9，所以 x0＝9， 所以 9＋p 2 ＝12，所以 p＝6.故选 C． 2．(2020·山西大学附中模拟)已知点 Q(2 2，0)及抛物线 y＝x2 4 上一动点 P(x， y)，则 y＋|PQ|的最小值是________． 2 解析：抛物线 y＝x2 4 ，即 x2＝4y，其焦点坐标为点 F(0,1)，准线方程为 y ＝－1.因为点 Q 的坐标为(2 2，0)，所以|FQ|＝ 2 22＋12＝3.过点 P 作准线的 垂线 PH，交 x 轴于点 D，如图所示． 结合抛物线的定义，有 y＋|PQ|＝|PD|＋|PQ|＝|PH|＋|PQ|－1＝|PF|＋|PQ|－ 1≥|FQ|－1＝3－1＝2，即 y＋|PQ|的最小值是 2. 考点 3 抛物线的几何性质——综合性 考向 1 范围问题 设 M(x0，y0)为抛物线 C：x2＝8y 上一点，F 为抛物线 C 的焦点，以 F 为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线 C 的准线相交，则 y0 的取值范围是( ) A．(0,2) B．[0,2] C．(2，＋∞) D．[2，＋∞) C 解析：由抛物线 C：x2＝8y 知 p＝4，所以焦点 F(0,2)，准线方程 y＝－2. 由抛物线的定义，|MF|＝y0＋2.因为以 F 为圆心、|FM|为半径的圆与准线相交， 且圆心 F(0,2)到准线 y＝－2 的距离为 4.所以 4＜y0＋2，从而 y0＞2. 考向 2 弦长问题 已知抛物线 C：x2＝2py(p>0)和定点 M(0,1)．设过点 M 的动直线交抛物 线 C 于 A，B 两点，抛物线 C 在 A，B 处的切线交点为 N. (1)若 N 在以 AB 为直径的圆上，求 p 的值； (2)若△ABN 面积的最小值为 4，求抛物线 C 的方程． 解：(1)设直线 AB 的方程为 y＝kx＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 将 AB 的方程代入抛物线 C，得 x2－2pkx－2p＝0.显然方程有两个不等实根， 则 x1＋x2＝2pk，x1x2＝－2p.① 由 x2＝2py，得 y′＝x p ，则 A，B 处的切线斜率乘积为x1x2 p2 ＝－2 p ＝－1，解得 p ＝2. (2)设切线 AN 的方程为 y＝x1 px＋b， 又切点 A 在抛物线 y＝x2 2p 上， 所以 y1＝x21 2p ，所以 b＝x21 2p －x21 p ＝－x21 2p ， 则切线 AN 的方程为 yAN＝x1 px－x21 2p. 同理切线 BN 的方程为 yBN＝x2 px－x22 2p. 又因为 N 在 yAN 和 yBN 上， 所以 y＝x1 px－x21 2p ， y＝x2 px－x22 2p ， 解得 N x1＋x2 2 ，x1x2 2p ， 所以 N(pk，－1)． |AB|＝ 1＋k2|x2－x1| ＝ 1＋k2 4p2k2＋8p， 点 N 到直线 AB 的距离 d＝|kxN＋1－yN| 1＋k2 ＝|pk2＋2| 1＋k2 ， S△ABN＝1 2·|AB|·d ＝ ppk2＋23≥2 2p， 所以 2 2p＝4，所以 p＝2， 故抛物线 C 的方程为 x2＝4y. 1．有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过 抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p；若不过焦点，则必须用一般弦 长公式． 2．涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关 系采用“设而不求”“整体代入”等解法． (2020·合肥模拟)已知 F 为抛物线 C：y2＝4x 的焦点，过 F 作两条互相垂直的 直线 l1，l2，直线 l1 与 C 交于 A，B 两点，直线 l2 与 C 交于 D，E 两点，则|AB| ＋|DE|的最小值为( ) A．16 B．14 C．12 D．10 A 解析：抛物线 C：y2＝4x 的焦点为 F(1，0)，由题意可知 l1，l2 的斜率存 在且不为 0.不妨设直线 l1 的斜率为 k，则直线 l2 的斜率为－1 k ， 故 l1：y＝k(x－1)，l2：y＝－1 k(x－1)． 由 y2＝4x， y＝kx－1， 消去 y 得 k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 所以 x1＋x2＝2k2＋4 k2 ＝2＋4 k2. 由抛物线的定义可知，|AB|＝x1＋x2＋2＝4＋4 k2. 同理得|DE|＝4＋4k2， 所以|AB|＋|DE|＝8＋4k2＋4 k2 ≥8＋2 16＝16，当且仅当1 k2 ＝k2，即 k＝±1 时取 等号． 故|AB|＋|DE|的最小值为 16. 过抛物线 x2＝2y 的焦点 F 作直线交抛物线于 A，B 两点．若|AB|＝25 12 ，且 |AF|