第8章 第6节　双曲线-2022届高三数学一轮复习讲义（新高考）

第六节 双曲线 一、教材概念·结论·性质重现 1．双曲线的定义 平面内与两个定点 F1，F2 的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的 点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲 线的焦距． 集合 P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中 a，c 为常数且 a>0，c>0. (1)当 ac 时，点 P 不存在． 2．双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 x2 a2 －y2 b2 ＝1(a>0，b>0) y2 a2 －x2 b2 ＝1(a>0，b>0) 图形 性 质 范围 x≥a 或 x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a 或 y≥a 对称性 对称轴：坐标轴，对称中心：原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线 y＝±b ax y＝±a bx 离心率 e＝c a ，e∈(1，＋∞)，其中 c＝ a2＋b2 实虚轴 实轴|A1A2|＝2a；虚轴|B1B2|＝2b；实半轴长 a，虚半轴长 b a，b，c 的关系 c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0) 3.常用结论 (1)过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为2b2 a ，也叫通径． (2)与双曲线x2 a2 －y2 b2 ＝1(a>0，b>0)有共同的渐近线的方程可表示为x2 a2 －y2 b2 ＝ λ(λ≠0)． (3)双曲线的焦点到其渐近线的距离为 b. (4)若 P 是双曲线右支上一点，F1，F2 分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min ＝a＋c，|PF2|min＝c－a. 二、基本技能·思想·活动体验 1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”． (1)平面内到点 F1(0,2)，F2(0，－2)距离之差的绝对值等于 4 的点的轨迹是双 曲线． (×) (2)方程x2 m －y2 n ＝1(mn>0)表示焦点在 y 轴上的双曲线． (×) (3)双曲线方程x2 m2 －y2 n2 ＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是x2 m2 －y2 n2 ＝0，即x m±y n ＝0.(√) (4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.(√) 2．双曲线x2 3 －y2＝1 的焦点坐标是( ) A．(－ 2，0)，( 2，0) B．(－2,0)，(2,0) C．(0，－ 2)，(0， 2) D．(0，－2)，(0,2) B 解析：由题可知双曲线的焦点在 x 轴上，又 c2＝a2＋b2＝3＋1＝4，所以 c＝2，故焦点坐标为(－2,0)，(2,0)． 3．若双曲线x2 a2 －y2 4 ＝1(a>0)的离心率为 5 2 ，则 a＝________. 4 解析：由题意可得，e2＝a2＋4 a2 ＝ 5 2 2 ，即 a2＝16.又 a>0，所以 a＝4. 4．经过点 A(3，－1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为 __________． x2 8 －y2 8 ＝1 解析：设双曲线方程为 x2－y2＝λ(λ≠0)，把点 A(3，－1)代入， 得λ＝8，故所求双曲线方程为x2 8 －y2 8 ＝1. 5．已知双曲线 x2－y2 16 ＝1 上一点 P 到它的一个焦点的距离等于 4，那么点 P 到另一个焦点的距离等于________． 6 解析：设双曲线的焦点为 F1，F2，|PF1|＝4，则||PF1|－|PF2||＝2，故|PF2| ＝6 或 2.又双曲线上的点到焦点的距离的最小值为 c－a＝ 17－1，故|PF2|＝6. 考点 1 双曲线的定义——基础性 (1)(2020·浙江卷)已知点 O(0,0)，A(－2,0)，B(2,0)．设点 P 满足|PA|－|PB| ＝2，且 P 为函数 y＝3 4－x2图象上的点，则|OP|＝( ) A． 22 2 B．4 10 5 C． 7 D． 10 D 解析：由双曲线定义可知，点 P 在以 A，B 为焦点，实轴长为 2 的双曲 线的右支上．设 P(x，y)，则 x2－y2 3 ＝1(x≥1)， 将 y＝3 4－x2代入可得 x2＝13 4 ， 所以 y2＝3(x2－1)＝27 4 ，所以|OP|＝ x2＋y2＝ 10. 故选 D． (2)(2020·肥东县综合高中高三三模)已知双曲线 C：x2 a2 －y2 b2 ＝1(a>0，b>0)的离 心率为 2，左焦点为 F1，点 Q(0， 3c)(c 为半焦距)．P 是双曲线 C 的右支上的动 点，且|PF1|＋|PQ|的最小值为 6，则双曲线 C 的方程为______________． x2－y2 3 ＝1 解析：设双曲线右焦点为 F2，则|PF1|－|PF2|＝2a，所以|PF1|＋|PQ| ＝2a＋|PF2|＋|PQ|，而|PF2|＋|PQ|的最小值为|QF2|＝ c2＋ 3c2＝2c，所以|PF1| ＋|PQ|最小值为 2a＋2c＝6.又c a ＝2，解得 a＝1，c＝2，于是 b2＝3，故双曲线 C 的方程为 x2－y2 3 ＝1. 利用双曲线的定义求方程要注意的问题 (1)距离之差的绝对值． (2)2a＜|F1F2|. (3)焦点所在坐标轴的位置． 1．(2020·咸阳市高三三模)设 F1，F2 是双曲线x2 a2 －y2 b2 ＝1(a>0，b>0)的左、右 焦点，P 为双曲线右支上一点．若∠F1PF2＝90°，c＝2，S △PF2F1 ＝3，则双曲线的 渐近线方程为( ) A．y＝±2x B．y＝± 2x C．y＝± 3 3 x D．y＝± 3x D 解析：由题意可得 |PF1|2＋|PF2|2＝16， 1 2|PF1||PF2|＝3， 所以(|PF1|－|PF2|)2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝4，|PF1|－|PF2|＝2＝2a，得 a＝1，b＝ 22－12＝ 3，所以渐近线方程为 y＝± 3x. 2．(2020·深圳市高三二模)已知双曲线 C：x2 a2 －y2 b2 ＝1(a>0，b>0)的焦点分别 为 F1(－5,0)，F2(5，0)，P 为双曲线 C 上一点，PF1⊥PF2，tan ∠PF1F2＝3 4 ，则 双曲线 C 的方程为( ) A．x2－y2 24 ＝1 B．x2 24 －y2＝1 C．x2 9 －y2 16 ＝1 D．x2 16 －y2 9 ＝1 A 解析：如图，因为 PF1⊥PF2，tan ∠PF1F2＝3 4 ，|F1F2|＝10，所以|PF1|＝ 8，|PF2|＝6.根据双曲线的定义可得|PF1|－|PF2|＝2a＝2，即 a＝1，所以 b2＝c2－ a2＝25－1＝24，所以双曲线 C 的方程为 x2－y2 24 ＝1. 考点 2 双曲线的方程——综合性 (1)已知方程 x2 m2＋n － y2 3m2－n ＝1 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距 离为 4，则 n 的取值范围是( ) A．(－1,3) B．(－1， 3) C．(0,3) D．(0， 3) A 解析：因为双曲线的焦距为 4，所以 c＝2，即 m2＋n＋3m2－n＝4，解得 m2＝1. 又由所给方程表示双曲线得(1＋n)(3－n)>0，解得－10)，过抛物线 y2＝ 4x 的焦点和点(0，b)的直线为 l.若 C 的一条渐近线与 l 平行，另一条渐近线与 l 垂直，则双曲线 C 的方程为( ) A．x2 4 －y2 4 ＝1 B．x2－y2 4 ＝1 C．x2 4 －y2＝1 D．x2－y2＝1 D 解析：由题意知双曲线的两条渐近线互相垂直，所以双曲线 C 为等轴双 曲线，渐近线的斜率分别为 1 和－1.因为直线 l 与一条渐近线平行，抛物线 y2＝ 4x 的焦点为(1,0)，所以b－0 0－1 ＝－1，即 b＝1.所以双曲线 C 的方程为 x2－y2＝1. 故选 D． 求双曲线标准方程的一般方法 (1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出关于参 数 a，b，c 的方程并求出 a，b，c 的值；与双曲线x2 a2 －y2 b2 ＝1 有相同渐近线时， 可设所求双曲线方程为x2 a2 －y2 b2 ＝λ(λ≠0)． (2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出 a 的值，由定点位置 确定 c 的值． 1．已知双曲线 C：y2 16 －x2 9 ＝1，则双曲线 C 的焦点坐标为( ) A．(±5,0) B．(± 7，0) C．(0，±5) D．(0，± 7) C 解析：双曲线的焦点坐标在 y 轴上，又 a2＝16，b2＝9，则 c2＝a2＋b2＝ 25，即 c＝5，故双曲线的焦点坐标为(0，±5)． 2．与双曲线 x2－2y2＝2 有公共渐近线，且过点 M(2，－2)的双曲线方程为 ____________． y2 2 －x2 4 ＝1 解析：设与双曲线x2 2 －y2＝1 有公共渐近线的双曲线方程为x2 2 －y2 ＝k.将点(2，－2)代入得 k＝22 2 －(－2)2＝－2，所以双曲线的标准方程为y2 2 －x2 4 ＝ 1. 3．已知圆 C1：(x＋3)2＋y2＝1 和圆 C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆 M 同时与圆 C1 及圆 C2 相外切，则动圆圆心 M 的轨迹方程为____________． x2－y2 8 ＝1(x≤－1) 解析：如图所示，设动圆 M 与圆 C1 及圆 C2 分别外切于 A 和 B． 根据两圆外切的条件，得|MC1|－|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝|MB|. 因为|MA|＝|MB|， 所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|， 即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2，所以点 M 到两定点 C2，C1 的距离的差是 常数且小于|C1C2|＝6.根据双曲线的定义，得动点 M 的轨迹为双曲线的左支(点 M 与 C2 的距离大，与 C1 的距离小)，其中 a＝1，c＝3，则 b2＝8.故点 M 的轨迹方 程为 x2－y2 8 ＝1(x≤－1)． 考点 3 双曲线的几何性质——综合性 考向 1 双曲线的渐近线 双曲线x2 a2 －y2 b2 ＝1(a>0，b>0)的离心率为 3，则其渐近线方程为( ) A．y＝± 2x B．y＝± 3x C．y＝± 2 2 x D．y＝± 3 2 x A 解析：(方法一)由题意知，e＝c a ＝ 3，所以 c＝ 3a，所以 b＝ c2－a2＝ 2a，即b a ＝ 2，所以该双曲线的渐近线方程为 y＝±b ax＝± 2x. (方法二)由 e＝c a ＝ 1＋ b a 2 ＝ 3，得b a ＝ 2，所以该双曲线的渐近线方程 为 y＝±b ax＝± 2x. 求双曲线的渐近线的方法 已知双曲线x2 a2 －y2 b2 ＝1(a>0，b>0)或y2 a2 －x2 b2 ＝1(a>0，b>0)的方程，求渐近线的 方程时，可令x2 a2 －y2 b2 ＝0，得 y＝±b ax；或令y2 a2 －x2 b2 ＝0，得 y＝±a bx.反之，已知渐近 线方程为 y＝±b ax，可设双曲线方程为x2 a2 －y2 b2 ＝λ(a>0，b>0，λ≠0)． 考向 2 求双曲线的离心率 (1)(2020·江苏卷)在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线x2 a2 －y2 5 ＝1(a>0) 的一条渐近线方程为 y＝ 5 2 x，则该双曲线的离心率是________． 3 2 解析：因为双曲线x2 a2 －y2 5 ＝1(a>0)的渐近线方程为 y＝± 5 a x，所以 5 a ＝ 5 2 ， 所以 a＝2，则离心率 e＝ 1＋b2 a2 ＝ 1＋5 4 ＝3 2. (2)(2020·浏阳一模)已知双曲线 C1：x2 a2 －y2 b2 ＝1(a>0，b>0)，圆 C2：x2＋y2－2ax ＋3 4a2＝0.若双曲线 C1 的一条渐近线与圆 C2 有两个不同的交点，则双曲线 C1 的 离心率的取值范围是( ) A． 1，2 3 3 B． 2 3 3 ，＋∞ C．(1,2) D．(2，＋∞) A 解析：由双曲线方程可得其渐近线方程为 y＝±b ax，即 bx±ay＝0，圆 C2： x2＋y2－2ax＋3 4a2＝0 可化为(x－a)2＋y2＝1 4a2，圆心 C2 的坐标为(a,0)，半径 r＝1 2a. 由双曲线 C1 的一条渐近线与圆 C2 有两个不同的交点，得 |ab| a2＋b22b， 即 c2>4b2.又知 b2＝c2－a2，所以 c2>4(c2－a2)，即 c20)，它的一个焦点(c,0)到 渐近线 bx－ay＝0 的距离为 |bc| b2＋a2 ＝b.双曲线 x2 8－m ＋ y2 4－m ＝1，即 x2 8－m － y2 m－4 ＝1，其焦点在 x 轴上，则 8－m>0， m－4>0， 解得 40)的左顶点、右焦点以及右 支上的动点．若∠PFA＝2∠PAF 恒成立，则双曲线的离心率为( ) A． 2 B． 3 C．2 D．1＋ 3 [四字程序] 读 想 算 思 A，F 分别是 双曲线的左 顶点和右焦 点，P 是双曲 线上的动点 1.双曲线的离心率的表达 式是什么？ 2.如何把几何条件∠PFA ＝2∠PAF 转化为代数式 子？ 设∠PAF＝α，建 立∠PAF 和∠PFA 之间的联系 数形结合 ∠PFA＝ 2∠PAF，求 双曲线的离 心率 1.e＝c a ＝ 1＋b2 a2 ； 2.转化为直线的倾斜角， 进而用直线的斜率表示 二者之间的关系 tan∠PFA＝tan 2α ＝ 2tan α 1－tan2α 利用特殊值法或 者代数运算，都要 结合图形解决问 题 思路参考：特殊值法，不妨设∠PFA＝90°求解． C 解析：因为∠PFA＝2∠PAF 恒成立， 不妨令∠PFA＝90°，则∠PAF＝45°. 在双曲线x2 a2 －y2 b2 ＝1 中，令 x＝c，易得 P c，±b2 a . 因为 tan∠PAF＝1，所以b2 a ＝a＋c， 所以 c2－ac－2a2＝0， 所以(c＋a)(c－2a)＝0， 解得 c＝2a，即 e＝2. 思路参考：利用诱导公式表示出直线 PA，PF 之间斜率的关系求解． C 解析：设∠PAF＝α，∠PFA＝2α，kPA＝k1，kPF＝k2，k2＝tan(π－2α)＝ －2tan α 1－tan2α ＝－2k1 1－k21 . 设点 P(x0，y0)，故x20 a2 －y20 b2 ＝1.① 因为 k2＝ y0 x0－c ，k1＝ y0 x0＋a ， 所以 y0 x0－c ＝ －2y0x0＋a x0＋a2－y20 .② 联立①②消去 y0 得： 4－c2 a2 x20＋(4a－2c)x0＋c2－2ac＝0，(*) 当且仅当 4－c2 a2 ＝0， 4a－2c＝0， c2－2ac＝0 时，(*)式恒成立， 此时 e＝c a ＝2. 思路参考：造构相似三角形，结合平面几何知识求解． C 解析：如图 1，∠ACB＝2∠ABC，由平面几何知识， △ACD∽△BAD，故b c ＝ c a＋b ， 所以 c2－b2＝ab，反之亦然． 图 1 图 2 在双曲线中，设点 P(x0，y0)， 过点 P 作 PM⊥AF，如图 2. 因为∠PFA＝2∠PAF， 同理可得|PA|2－|PF|2＝|AF|·|PF|， 又|PA|2－|PF|2＝(|AM|2＋|MP|2)－(|MF|2＋|MP|2)＝(|AM|＋|MF|)(|AM|－|MF|)＝ |AF|·(2x0＋a－c)， 所以|PF|＝2x0＋a－c. 由双曲线的焦半径公式知，|PF|＝ex0－a， 所以 2x0＋a－c＝ex0－a，此时 e＝c a ＝2. 思路参考：设出点 P(m，n)，利用过两点的斜率公式与倾斜角关系求解． C 解析：如图，作 PM⊥AF 于 M， 设∠PAF＝α，∠PFA＝2α，设点 P(m，n)． 在 Rt△PAM 中，tan α＝ n m＋a ， 在 Rt△PFM 中，tan 2α＝ n c－m. 因为 tan 2α＝ 2tan α 1－tan2 α ， 所以 n c－m ＝ 2nm＋a m＋a2－n2 ， 所以 2(m＋a)(c－m)＝(m＋a)2－n2， 所以 2(m＋a)(c－m)＝(m＋a)2－ m2 a2 －1 b2， 所以－2m2＋2(c－a)m＋2ac＝ 1－b2 a2 m2＋2am＋c2 恒成立． 所以 －2＝1－b2 a2 ， c－a＝a， 2a＝c， 所以 e＝c a ＝2. 1．本题考查双曲线的离心率的计算，其基本策略是根据双曲线的几何性质 寻找 a，c 的关系式． 2．基于课程标准，解答本题要熟练掌握双曲线的定义，直线的斜率公式和 正切的二倍角公式，体现了数学运算的核心素养． 3．基于高考数学评价体系，本题通过知识间的相互联系和转化，体现了基 础性和综合性的统一． 已知双曲线 C：x2 a2 －y2 b2 ＝1(a>0，b>0)的离心率为 2，则点(4,0)到 C 的渐近线 的距离为( ) A. 2 B．2 C.3 2 2 D．2 2 D 解析：(方法一)由离心率 e＝c a ＝ 2，得 c＝ 2a.又 b2＝c2－a2，得 b＝a， 所以双曲线 C 的渐近线方程为 y＝±x.由点到直线的距离公式，得点(4,0)到双曲线 C 的渐近线的距离为 4 1＋1 ＝2 2. (方法二)离心率 e＝ 2的双曲线是等轴双曲线，其渐近线方程是 y＝±x，所 以点(4,0)到双曲线 C 的渐近线的距离为 4 1＋1 ＝2 2.