第6章 第3节　等比数列-2022届高三数学一轮复习讲义（新高考）

第三节 等比数列 一、教材概念·结论·性质重现 1．等比数列的有关概念 (1)定义：一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比都 等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比， 公比通常用字母 q 表示(显然 q≠0)．定义的递推公式为an＋1 an ＝q(常数)． (2)等比中项：如果在 a 与 b 中间插入一个数 G，使 a，G，b 成等比数列， 那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项．此时，G2＝ab. (1)注意：①等比数列的每一项都不可能为 0. ②公比是每一项与其前一项的比，前后次序不能颠倒，且公比是一个与 n 无 关的常数． (2)“G2＝ab”是“a，G，b 成等比数列”的必要不充分条件． 2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：an＝a1qn－1. (2)通项公式的推广：an＝am·qn－m(n，m∈N*)． (3)前 n 项和公式： Sn＝ na1，q＝1， a11－qn 1－q ＝a1－anq 1－q ，q≠1. (1)等比数列通项公式与指数函数的关系 等比数列{an}的通项公式 an＝a1qn－1 还可以改写为 an＝a1 q ·qn，当 q≠1 且 a1≠0 时，y＝qx 是指数函数，y＝a1 q ·qx 是指数型函数，因此数列{an}的图象是函数 y＝a1 q ·qx 的图象上一些孤立的点． (2)求等比数列前 n 项和时要对公比 q 是否等于 1 进行分类讨论． 3．等比数列的有关性质 (1)若 m＋n＝p＋q，则 aman＝apaq，其中 m，n，p，q∈N*.特别地，若 2w＝ m＋n，则 aman＝a2w，其中 m，n，w∈N*. 对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即 a1·an＝a2·an－1＝…＝ak·an－k＋1＝…. (2)若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{ban}， 1 an ，{a2n}，{an·bn}， an bn ，{pan·qbn}和 pan qbn 仍然是等比数列(其中 b，p，q 是非零常数)． (3)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即 ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等 比数列，公比为 qm(k，m∈N*)． (4)当 q≠－1 或 q＝－1 且 k 为奇数时，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…是等比数列， 其公比为 qk. (5)若 a1·a2·…·an＝Tn，则 Tn，T2n Tn ，T3n T2n ，…成等比数列． 4．等比数列{an}的单调性 满足的条件 单调性 a1>0， q>1 或 a1