课程标准 命题解读
1.建立完整的函数概念，不仅把函数理
解为刻画变量之间依赖关系的数学语
言和工具，也把函数理解为实数集合之
间的对应关系．
2.能用代数运算和函数图象揭示函数的
主要性质．
3.在现实问题中，能利用函数构建模型，
解决问题．
4.能用函数图象和代数运算的方法研究
基本初函数的性质．
5.理解基本初等函数中所蕴含的运算规
律．
6.运用基本初等函数建立模型，解决简
单的实际问题，体会这些函数在解决实
际问题中的作用.
考查形式：高考对本章的考查一般为
1～3 道小题．
考查内容：主要涉及函数的图象，多为
给出具体函数解析式判断函数的图象；
函数的性质及函数性质的综合问题；指
数函数、对数函数、幂函数的图象与性
质；分段函数，既有求函数值，也有解
不等式，常与指数函数、对数函数、零
点相结合．
备考策略：(1)熟练掌握函数的基本知识
和解决函数问题的基本方法．
(2)关注点——函数的定义域，抽象函数
问题及函数的实际应用．
(3)重视函数的创新问题——新定义问
题，函数零点的交汇问题，函数图象的
灵活运用问题．
核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学
运算.
第一节 函数及其表示
一、教材概念·结论·性质重现
1．函数的概念
一般地，设 A，B 是非空的实数集，如果对于集合 A 中的任意一个数 x，按
照某种确定的对应关系 f ，在集合 B 中都有唯一确定的数 y 和它对应，那么就称
f ：A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数，记作 y＝f (x)，x∈A．
2．函数的定义域、值域
(1)在函数 y＝f (x)，x∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定
义域；与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x)|x∈A}叫做函数的
值域．
(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量
对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数．
3．函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、列表法和图象法．
4．分段函数
(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的
式子来表示，这种函数称为分段函数．
(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数
的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．
(1)直线 x＝a(a 是常数)与函数 y＝f (x)的图象有 0 个或 1 个交点．
(2)分段函数无论分成几段，都是一个函数，求分段函数的函数值，如果自
变量的范围不确定，要分类讨论．
(3)判断两个函数是否为同一个函数的依据，是两个函数的定义域和对应关
系完全一致．
二、基本技能·思想·活动体验
1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．
(1)函数 y＝1 与 y＝x0 是同一个函数． (×)
(2)对于函数 f ：A→B，其值域是集合 B． (×)
(3)f (x)＝ x－3＋ 2－x是一个函数． (×)
(4)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是同一个函数． (×)
(5)函数 y＝f (x)的图象可以是一条封闭的曲线． (×)
2．函数 y＝ xln(2－x)的定义域为( )
A．(0,2) B．[0,2)
C．(0,1] D．[0,2]
B 解析：由题意知，x≥0 且 2－x>0，解得 0≤x＜2，故定义域为[0,2)．
3．若函数 y＝f (x)的定义域为 M＝{x|－2≤x≤2}，值域为 N＝{y|0≤y≤2}，
则函数 y＝f (x)的图象可能是( )
B 解析：A 中函数的定义域不是[－2,2]，C 中图象不表示函数，D 中函数
的值域不是[0,2]．
4．已知函数 f (x)＝ x－1，若 f (a)＝3，则实数 a＝________.
10 解析：因为 f (a)＝ a－1＝3，所以 a－1＝9，即 a＝10.
5．设 f (x)＝ x，x∈－∞，a，
x2，x∈[a，＋∞.
若 f (2)＝4，则 a 的取值范围为________．
(－∞，2] 解析：因为 f (2)＝4，所以 2∈[a，＋∞)，所以 a≤2，所以 a 的
取值范围为(－∞，2]．
考点 1 函数的定义域——基础性
1．(2020·北京卷)函数 f (x)＝ 1
x＋1
＋ln x 的定义域是________．
(0，＋∞) 解析：要使函数有意义，需满足 x＋1≠0，
x>0，
即 x>0，所以函数
f (x)的定义域为(0，＋∞)．
2．函数 f (x)＝ 4－4x＋ln(x＋4)的定义域为________．
(－4,1] 解析：要使函数 f (x)有意义，需满足 4－4x≥0，
x＋4>0，
解得－41.
故 f (x)＝lg 2
x－1
，x∈(1，＋∞)．
(2)(待定系数法)设 f (x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
由 f (0)＝0，知 c＝0，所以 f (x)＝ax2＋bx.
又由 f (x＋1)＝f (x)＋x＋1，
得 a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1，
即 ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1，
所以 2a＋b＝b＋1，
a＋b＝1，
解得 a＝b＝1
2.
所以 f (x)＝1
2x2＋1
2x，x∈R.
(3)(解方程组法)由 f (－x)＋2f (x)＝2x，①
得 f (x)＋2f (－x)＝2－x.②
①×2－②，得 3f (x)＝2x＋1－2－x，即 f (x)＝2x＋1－2－x
3 .
故 f (x)＝2x＋1－2－x
3
，x∈R.
求函数解析式的 3 种方法
待定系数
法
当函数的类型已经确定时，一般用待定系数法来确定函数解析式
换元法
如果给定复合函数的解析式，求外函数的解析式，通常用换元法
将内函数换元，然后求出外函数的解析式
解方程组
法
如果给定两个关于 f (x)的关系式，可以通过变量代换建立方程组，
再通过解方程组求出函数解析式
1．已知 f
1＋x
x ＝x2＋1
x2
＋1
x
，则 f (x)＝( )
A．(x＋1)2 B．(x－1)2
C．x2－x＋1 D．x2＋x＋1
C 解析：f
1＋x
x ＝x2＋1
x2
＋1
x
＝
x＋1
x
2
－x＋1
x
＋1.令x＋1
x
＝t，得 f (t)＝t2－t
＋1，即 f (x)＝x2－x＋1.
2．已知 f (x)是一次函数，且 f (f (x))＝4x＋3，则 f (x)的解析式为________．
f (x)＝－2x－3 或 f (x)＝2x＋1 解析：设 f (x)＝ax＋b(a≠0)，则 f (f (x))＝f (ax
＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝4x＋3.
所以 a2＝4，
ab＋b＝3，
解得 a＝－2，
b＝－3
或 a＝2，
b＝1.
故 f (x)＝－2x－3 或 f (x)＝2x＋1.
3．已知 f (x)满足 2f (x)＋f
1
x ＝3x，则 f (x)＝________.
2x－1
x(x≠0) 解析：2f (x)＋f
1
x ＝3x，①
把①中的 x 换成1
x
，得 2f
1
x ＋f (x)＝3
x.②
联立①②可得
2f x＋f
1
x ＝3x，
2f
1
x ＋f x＝3
x
，
解此方程组可得 f (x)＝2x－1
x(x≠0)．
考点 3 分段函数——应用性
考向 1 分段函数求值
(1)设 f (x)＝ log2x2－1，x>1，
2x＋1－1，x≤1，
则 f (f (1))的值为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
B 解析：因为 f (x)＝ log2x2－1，x>1，
2x＋1－1，x≤1，
所以 f (1)＝22－1＝3，所以 f (f
(1))＝f (3)＝log28＝3. 故选 B．
(2)设函数 f (x)＝ x2＋2x＋2，x≤0，
－x2，x>0.
若 f (f (a))＝2，则 a＝________.
2 解析：当 a>0 时，f (a)＝－a20，f (f (a))＝－
(a2＋2a＋2)2＝2，此方程无解．综上可知，a＝ 2.
求分段函数的函数值的步骤
(1)确定要求值的自变量所在区间．
(2)代入相应的函数解析式求值，直到求出具体值为止．
提醒：①自变量的值不确定时，必须分类讨论；
②求值时注意函数奇偶性、周期性的应用；
③出现 f (f (a))求值形式时，应由内到外或由外向内逐层求值．
考向 2 分段函数与方程、不等式
设函数 f (x)＝ 2－x，x≤0，
1，x>0，
则满足 f (x＋1)＜f (2x)的 x 的取值范围是
( )
A．(－∞，－1] B．(0，＋∞)
C．(－1,0) D．(－∞，0)
D 解析：函数 f (x)的图象如图所示．结合图象知，要使 f (x＋1)＜f (2x)，则
需
x＋1＜0，
2x＜0，
2x＜x＋1
或 x＋1≥0，
2x＜0，
所以 x＜0.故选 D．
求参数或自变量的值(范围)的解题思路
(1)解决此类问题时，先在分段函数的各段上分别求解，然后将求出的值或
范围与该段函数的自变量的取值范围求交集，最后将各段的结果合起来(取并集)
即可．
(2)如果分段函数的图象易得，也可以画出函数图象后结合图象求解．
1．(2021·天津高三月考)函数 f (x)满足 f (x＋4)＝f (x)(x∈R)，且在
区间(－2,2]上，f (x)＝
cosπx
2
，00 可化为 a2＋a－3a>0，解得 a>2. 当 a0
可化为－a2－2a>0，解得－2
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