第10章 第3节　随机事件的概率-2022届高三数学一轮复习讲义（新高考）

第三节 随机事件的概率 一、教材概念·结论·性质重现 1．样本点和样本空间 随机试验 E 的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验 E 的样本空间．一般地，我们用Ω表示样本空间，用ω表示样本点． 2．概率与频率 一般地，随着试验次数 n 的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件 A 发生的频率 fn(A)会逐渐稳定于事件 A 发生的概率 P(A)．我们称频率的这个性质 为频率的稳定性．因此，我们可以用频率 fn(A)来估计概率 P(A)． 随机事件 A 发生的频率与概率的区别与联系 随机事件 A 发生的频率是随机的，而概率是客观存在的确定的常数，但在大 量随机试验中事件 A 发生的频率稳定在事件 A 发生的概率附近． 3．事件的关系与运算 名称 条件 结论 符号表示 包含关系 事件 A 发生，事件 B 一 定发生 事件 B 包含事件 A(或事件 A 包含于 事件 B) B⊇A (或 A⊆B) 相等关系 B⊇A 且 A⊇B 事件 A 与事件 B 相 等 A＝B 并事件 (或和事件) 事件 A 与事件 B 至少有 一个发生 事件 A 与事件 B 的 并事件(或和事件) A∪B (或 A＋B) 交事件 (或积事件) 事件 A 与事件 B 同时发 生 事件 A 与事件 B 的 交事件(或积事件) A∩B (或 AB) 互斥事件 事件 A 与事件 B 不能同 时发生 事件 A 与事件 B 互 斥(或互不相容) A∩B＝∅ 互为对立 事件 A 与事件 B 有且仅 有一个发生 事件 A 与事件 B 互 为对立 A∩B＝∅， A∪B＝Ω 4.概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1. (2)必然事件的概率 P(Ω)＝1. (3)不可能事件的概率 P(∅)＝0. (4)①如果事件 A 与事件 B 互斥，则 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)． ②如果事件 A 与事件 B 互为对立事件，那么 P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)． ③如果 A⊆B，那么 P(A)≤P(B)． ④设 A，B 是一个随机试验中的两个事件，我们有 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－ P(A∩B)． 5．事件的相关概念 1．随机事件 A，B 互斥与对立的区别与联系 当随机事件 A，B 互斥时，不一定对立；当随机事件 A，B 对立时，一定互 斥． 2．从集合的角度理解互斥事件和对立事件 (1)几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空 集． (2)事件 A 的对立事件 A 所含的结果组成的集合，是全集中由事件 A 所含的 结果组成的集合的补集． 二、基本技能·思想·活动体验 1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”． (1)事件发生的频率与概率是相同的． (×) (2)随机事件和随机试验是一回事． (×) (3)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值． (√) (4)两个事件的和事件发生是指这两个事件至少有一个发生． (√) (5)若 A，B 为互斥事件，则 P(A)＋P(B)＝1.(×) (6)对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件． (√) 2．一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的对立事件是 ( ) A．至多有一次中靶 B．两次都中靶 C．只有一次中靶 D．两次都不中靶 D 解析：“至少有一次中靶”的对立事件是“两次都不中靶”． 3．将一枚硬币向上抛掷 10 次，其中“正面向上恰有 5 次”是( ) A．必然事件 B．随机事件 C．不可能事件 D．无法确定 B 解析：抛掷 10 次硬币正面向上的次数可能为 0～10，都有可能发生，所 以正面向上 5 次是随机事件． 4．把语文、数学、英语三本书随机分给甲、乙、丙三位同学，每人一本， 记事件 A 为“甲分得语文书”，事件 B 为“乙分得数学书”，事件 C 为“丙分 得英语书”，则下列说法正确的是( ) A．A 与 B 是不可能事件 B．A＋B＋C 是必然事件 C．A 与 B 不是互斥事件 D．B 与 C 既是互斥事件也是对立事件 C 解析：事件 A，事件 B，事件 C 都是随机事件，可能发生，也可能不发 生，故 A，B 两项错误；事件 A，事件 B 可能同时发生，故事件 A 与事件 B 不是 互斥事件，C 项正确；事件 B 与事件 C 既不互斥，也不对立，D 项错误．故选 C． 5．容量为 20 的样本数据，分组后的频数如下表： 分组 [10,20) [20,30) [30,40) [40,50) [50,60) [60,70) 频数 2 3 4 5 4 2 则样本数据落在区间[10,40)的频率为 0.45. 6．一个口袋内装有 2 个白球和 3 个黑球，则在先摸出 1 个白球后放回的条 件下，再摸出 1 个白球的概率是________． 2 5 解析：先摸出 1 个白球后放回，再摸出 1 个白球的概率，实质上就是第 二次摸到白球的概率．因为袋内装有 2 个白球和 3 个黑球，因此所求概率为2 5. 考点 1 随机事件的关系——基础性 (1)把红、黄、蓝、白 4 张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四人，每 个人分得一张，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”( ) A．是对立事件 B．是不可能事件 C．是互斥但不对立事件 D．不是互斥事件 C 解析：显然两个事件不可能同时发生，但两者可能同时不发生，因为红 牌可以分给丙、丁两人，综上，这两个事件为互斥但不对立事件． (2)设条件甲：事件 A 与事件 B 是对立事件，结论乙：概率满足 P(A)＋P(B) ＝1，则甲是乙的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 A 解析：若事件 A 与事件 B 是对立事件，则 A∪B 为必然事件．再由概率 的加法公式得 P(A)＋P(B)＝1.投掷一枚硬币 3 次，满足 P(A)＋P(B)＝1，但 A，B 不一定是对立事件．如事件 A：“至少出现一次正面”，事件 B：“出现 3 次正 面”，则 P(A)＝7 8 ，P(B)＝1 8 ，满足 P(A)＋P(B)＝1，但 A，B 不是对立事件． 判断互斥事件、对立事件的两种方法 (1)定义法：判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的 两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事 件，对立事件一定是互斥事件． (2)集合法：① 由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则 事件互斥． ②事件 A 的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件 A 所含的结 果组成的集合的补集． 1．(2020·高三月考)同时投掷两枚硬币一次，互斥而不对立的两个 事件是( ) A．“至少有 1 枚正面朝上”与“2 枚都是反面朝上” B．“至少有 1 枚正面朝上”与“至少有 1 枚反面朝上” C．“恰有 1 枚正面朝上”与“2 枚都是正面朝上” D．“至少有 1 枚反面朝上”与“2 枚都是反面朝上” C 解析：在 A 中，“至少有 1 枚正面朝上”与“2 枚都是反面朝上”不能 同时发生，且“至少有 1 枚正面朝上”不发生时，“2 枚都是反面朝上”一定发 生，故 A 中的两个事件是对立事件；在 B 中，当两枚硬币恰好 1 枚正面朝上，1 枚反面朝上时，“至少有 1枚正面朝上”与“至少有 1 枚反面朝上”能同时发生， 故 B 中的两个事件不是互斥事件；在 C 中，“恰有 1 枚正面朝上”与“2 枚都是 正面朝上”不能同时发生，且其中一个不发生时，另一个有可能发生也有可能不 发生，故 C 中的两个事件是互斥而不对立事件；在 D 中，当 2 枚硬币同时反面 朝上时，“至少有 1 枚反面朝上”与“2 枚都是反面朝上”能同时发生，故 D 中 的两个事件不是互斥事件．故选 C． 2．口袋里装有 6 个形状相同的小球，其中红球 1 个，白球 2 个，黄球 3 个．从 中取出两个球，事件 A＝“取出的两个球同色”，B＝“取出的两个球中至少有 一个黄球”，C＝“取出的两个球中至少有一个白球”，D＝“取出的两个球不 同色”，E＝“取出的两个球中至多有一个白球”．下列判断中正确的序号为 ________． ①A 与 D 为对立事件；②B 与 C 是互斥事件；③C 与 E 是对立事件；④P(C∪E) ＝1；⑤P(B)＝P(C)． ①④ 解析：显然 A 与 D 是对立事件，①正确；当取出的两个球为一黄一 白时，B 与 C 都发生，②不正确；当取出的两个球中恰有一个白球时，事件 C 与 E 都发生，③不正确；C∪E 为必然事件，P(C∪E)＝1，④正确；P(B)＝4 5 ， P(C)＝3 5 ，⑤不正确． 考点 2 随机事件的频率与概率——基础性 如图，A 地到火车站共有两条路径 L1 和 L2，现随机抽取 100 位从 A 地 到达火车站的人进行调查，调查结果如下： 所用时间(分) 10～20 20～30 30～40 40～50 50～60 选择 L1 的人数 6 12 18 12 12 选择 L2 的人数 0 4 16 16 4 (1)试估计 40 分钟内不能赶到火车站的概率； (2)分别求通过路径 L1 和 L2 所用时间落在上表中各时间段内的频率； (3)现甲、乙两人分别有 40 分钟和 50 分钟时间用于赶往火车站，为了尽最 大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路 径． 解：(1)由已知共调查了 100 人，其中 40 分钟内不能赶到火车站的有 12＋12 ＋16＋4＝44(人)， 所以用频率估计相应的概率 p＝ 44 100 ＝0.44. (2)选择 L1 的有 60 人，选择 L2 的有 40 人， 故由调查结果得频率为 所用时间(分) 10～20 20～30 30～40 40～50 50～60 选择 L1 的频率 0.1 0.2 0.3 0.2 0.2 选择 L2 的频率 0 0.1 0.4 0.4 0.1 (3)设 A1，A2 分别表示甲选择 L1 和 L2 时，在 40 分钟内赶到火车站；B1，B2 分别表示乙选择 L1 和 L2 时，在 50 分钟内赶到火车站．由(2)知 P(A1)＝0.1＋0.2 ＋0.3＝0.6， P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5. 因为 P(A1)＞P(A2)，所以甲应选择 L1. 同理，P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8， P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9. 因为 P(B1)＜P(B2)，所以乙应选择 L2. 1．概率与频率的关系 频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确 定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为 随机事件概率的估计值． 2．随机事件概率的求法 利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频 率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率． 提醒：概率的定义是求一个事件概率的基本方法． 1．在投掷一枚硬币的试验中，共投掷了 100 次，正面朝上的频数为 51 次， 则正面朝上的频率为( ) A．49 B．0.5 C．0.51 D．0.49 C 解析：由题意，根据事件发生的频率的定义可知，“正面朝上”的频率 为 51 100 ＝0.51. 2．(2020·潍坊高三模拟)某学校共有教职工 120 人，对他们进行年龄结构和 受教育程度的调查，其结果如下表： 本科 研究生 合计 35 岁以下 40 30 70 35～50 岁 27 13 40 50 岁以上 8 2 10 现从该校教职工中任取 1 人，则下列结论正确的是( ) A．该校教职工具有本科学历的概率低于 60% B．该校教职工具有研究生学历的概率超过 50% C．该校教职工的年龄在 50 岁以上的概率超过 10% D．该校教职工的年龄在 35 岁及以上且具有研究生学历的概率超过 10% D 解析：对于选项 A，该校教职工具有本科学历的概率 p＝ 75 120 ＝5 8 ＝ 62.5%>60%，故 A 错误；对于选项 B，该校教职工具有研究生学历的概率 p＝ 45 120 ＝3 8 ＝37.5%