第2章 微专题进阶课2　函数性质的应用-2022届高三数学一轮复习讲义（新高考）

函数性质的应用 函数的奇偶性、周期性及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综 合在一起命题．解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定某一区间上 的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题． 函数性质的判断 已知函数 f (x)＝ln x＋ln(2－x)，则下列结论中正确的是( ) A．f (x)在(0,2)上单调递增 B．f (x)在(0,2)上单调递减 C．f (x)的图象关于直线 x＝1 对称 D．f (x)的图象关于点(1,0)对称 C 解析：f (x)的定义域为(0,2)．f (x)＝ln x＋ln(2－x)＝ln[x(2－x)]＝ln(－x2 ＋2x)．设 u＝－x2＋2x，x∈(0,2)，则 u＝－x2＋2x 在(0,1)上单调递增，在(1,2)上 单调递减．又 y＝ln u 在其定义域上单调递增，所以 f (x)＝ln(－x2＋2x)在(0,1)上 单调递增，在(1,2)上单调递减，故选项 A，B 错误．因为 f (x)＝ln x＋ln(2－x)＝f (2－x)，所以 f (x)的图象关于直线 x＝1 对称，故选项 C 正确．因为 f (2－x)＋f (x) ＝[ln(2－x)＋ln x]＋[ln x＋ln(2－x)]＝2[ln x＋ln(2－x)]，不恒为 0，所以 f (x)的图 象不关于点(1,0)对称，选项 D 错误．故选 C． 定义在 R 上的函数 f (x)满足 f (x)＝f (－x)，且 f (x)＝f (x＋6)．当 x∈[0,3]时， f (x)单调递增，则 f (x)的一个单调递减区间为( ) A．[3,7] B．[4,5] C．[5,8] D．[6,10] B 解析：依题意知，f (x)是偶函数，且是以 6 为周期的周期函数．因为当 x∈[0,3]时，f (x)单调递增，所以 f (x)在[－3,0]上单调递减．根据函数周期性知， 函数 f (x)在[3,6]上单调递减．又因为[4,5]⊆[3,6]，所以函数 f (x)在[4,5]上单调递 减． 函数性质的综合问题 已知 f (x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足 f (1－x)＝f (1＋x)．若 f (1)＝2，则 f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)等于( ) A．－50 B．0 C．2 D．50 C 解析：因为 f (x)是奇函数， 所以 f (－x)＝－f (x )， 所以 f (1－x)＝－f (x－1)． 因为 f (1－x)＝f (1＋x)， 所以－f (x－1)＝f (x＋1)， 所以 f (x＋2)＝－f (x)， 所以 f (x＋4)＝－f (x＋2)＝－[－f (x)]＝f (x)， 所以函数 f (x)是周期为 4 的周期函数． 由 f (x)为奇函数且定义域为 R 得 f (0)＝0. 又因为 f (1－x)＝f (1＋x)， 所以 f (x)的图象关于直线 x＝1 对称， 所以 f (2)＝f (0)＝0，所以 f (－2)＝0. 又 f (1)＝2，所以 f (－1)＝－2， 所以 f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝f (1)＋f (2)＋f (－1)＋f (0)＝2＋0－2＋0＝0， 所以 f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (49)＋f (50)＝0×12＋f (49)＋f (50)＝f (1) ＋f (2)＝2＋0＝2. 故选 C． 已知 f (x)是定义在 R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数 a 满足 f (2|a－1|)>f (－ 2)，则 a 的取值范围是________． 1 2 ，3 2 解析：由已知可得 f (x)在(0，＋∞)上单调递减． 因为 f (2|a－1|)>f (－ 2)＝f ( 2)， 所以 2|a－1|< 2＝2 1 2，所以|a－1|