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单元质检卷三 导数及其应用
(时间:100 分钟满分:140 分)
一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目
要求的.
1.(2020 某某某某模拟,理 7)已知函数 f(x)为偶函数,当 x
e
2
C.m>1 D.m>
e
8.下列关于函数 f(x)=x3-3x2+2x 的叙述不正确的为 ()
A.函数 f(x)有三个零点
B.点(1,0)是函数 f(x)图像的对称中心
C.函数 f(x)的极大值点为 x=1-
3
3
D.存在实数 a,使得函数 g(x)=[f(x)]2+af(x)为增函数
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9.已知函数 f(x)=x2+|x-a|,g(x)=(2a-1)x+aln x,若函数 y=f(x)与函数 y=g(x)的图像恰好有两个不同
的交点,则实数 a 的取值 X 围为()
A.(1,+∞) B.(-∞,1)
C.(0,+∞) D.(-∞,0)
10.(2020 某某某某三模,理 12)已知函数 f(x)=x2-ax
∈
1
e ,e
与 g(x)=ex 的图像上存在两对关于直
线 y=x 对称的点,则实数 a 的取值 X 围是()
A.
e-
1
e ,e
B.
1,e-
1
e
C.
1,e-
1
e
D.
1,e +
1
e
11.(2020 某某某某一模,理 11)已知函数 y=f(x-2)的图像关于点(2,0)对称,函数 y=f(x)对于任意的 x
∈(0,π)满足 f(x)cos x>f'(x)sin x,则下列不等式成立的是 ()
A.f -π
3
>
3
f π
6
B.f -π
3
>-
3
f π
6
C.
2
f -π
4
>
3
f π
6
D.
2
f -π
4
>f -π
3
12.(2020 某某师大附中月考,12)设函数 f(x)=
|ln|, > ,
e
( + 1),
≤
,
若方程[f(x)]2-af(x)+
1
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=0 有六个不
等的实数根,则实数 a 可能的取值是()
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A.
1
2
B.
2
3
C.
3
2
D.2
二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.
13.(2020 某某、某某两省 4 月模拟,13)函数 f(x)=
ln
e
在点 P(1,f(1))处的切线与直线 2x+y-3=0 垂
直,则 a=.
14.设 f(x)=ex(ln x-a),若函数 f(x)在区间
1
e
,e 上递减,则实数 a 的取值 X 围为.
15.已知函数 f(x)=log2x,g(x)=
+ -
(a>0),若对任意 x1∈{x|g(x)=
+ -
},存在 x2∈[4,16],
使 g(x1)=f(x2)成立,则实数 a 的取值 X 围是.
16.已知函数 f(x)=2ln x,g(x)=ax2-x-
1
2
(a>0).若直线 y=2x-b 与函数 y=f(x),y=g(x)的图像均相切,则
a 的值为;若总存在直线与函数 y=f(x),y=g(x)的图像均相切,则 a 的取值 X 围是.
三、解答题:本题共 5 小题,共 60 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(12 分)(2020 某某某某质量预测二,理 21)已知函数 f(x)=
ln
,g(x)=
+1
(x>0).
(1)当 a=1 时,求曲线 y=
()
()
在 x=1 处的切线方程;
(2)讨论函数 F(x)=f(x)-
1
()
在(0,+∞)上的单调性.
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18.(12 分)(2020 某某某某三模,理 20)已知函数 f(x)=axex-ln x+b(a,b∈R)在 x=1 处的切线方程为
y=(2e-1)x-e.
(1)求 a,b 值;
(2)若 f(x)≥mx 恒成立,某某数 m 的取值 X 围.
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19.(12 分)(2020 某某某某三模,文 21)已知函数 f(x)=ln x+ax2-(2a+1)x,a∈R,f'(x)为 f(x)的导函数.
(1)讨论 f(x)的单调性;
(2)若 g(x)=f(x)+a+1,当 a>
1
2
时,求证:g(x)有两个零点.
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20.(12 分)(2020 某某师大附中检测)已知函数 f(x)=x2-ax+2ln x.
(1)求函数 f(x)的单调区间;
(2)设函数 f(x)有两个极值点 x1,x2(x1mx2 恒成立,某某数 m 的取值 X 围.
21.(12 分)(2020 某某,20)已知函数 f(x)=x3+kln x(k∈R),f'(x)为 f(x)的导函数.
(1)当 k=6 时,
①求曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
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②求函数 g(x)=f(x)-f'(x)+
9
的单调区间和极值;
(2)当 k≥-3 时,求证:对任意的 x1,x2∈[1,+∞),且 x1>x2,有
'(1)+'(2)
2 >
(1)-(2)
1-2
.
参考答案
单元质检卷三 导数及其应用
1.A 当 x>0 时,-x1 时,f'(x)0.
所以当 x0,
可知选项 B 符合题意.故选 B.
3.D 设 f(x1)=g(x2)=t,所以 x1=t-1,x2=et,所以 x2-x1=et-t+1,令 h(t)=et-t+1,则 h'(t)=et-1,所以 h(t)
在(-∞,0)上递减,在(0,+∞)上递增,所以 h(t)min=h(0)=2.
4.D 设 g(x)=ex·f(x),则 g'(x)=ex[f(x)+f'(x)]>0,所以 g(x)在 R 上递增.
由 a>0,得 g(a)>g(0),
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即 ea·f(a)>f(0).
5.A 令 g(x)=
()
,g'(x)=
'()-()
2
0 等价为
(e
)
e
>
(2)
2
,即 g(ex)>g(2),故 ex0;当 x>
e
-
1
2
时,g'(x)
e
2
故选 B.
8.D 令 f(x)=0,即 x(x-1)(x-2)=0,解得 x=0 或 x=1 或 x=2,故函数 f(x)有三个零点,故 A 正确;
因为 f(1+x)+f(1-x)=0,所以点(1,0)是函数 f(x)图像的对称中心,故 B 正确;
令 f'(x)=3x2-6x+2=0,
解得 x=
3
±
3
3
,
故 f(x)在 -∞,
3- 3
3
上递增,在
3- 3
3 ,
3+ 3
3
上递减,在
3+ 3
3
,+∞ 上单调递增,
函数 f(x)的极大值点为 x=1-
3
3
,故 C 正确;假设函数 g(x)=[f(x)]2+af(x)为增函数,则
g'(x)=f'(x)(2f(x)+a)>0 恒成立,由上可知当 x1+
3
3
时,f'(x)>0,若要满足
g'(x)=f'(x)(2f(x)+a)>0,则需在 -∞,1-
3
3
和 1+
3
3
,+∞ 上 2f(x)+a>0 恒成立,f(x)=x3-3x2+2x 的
大致图像如下,如图所示函数 2f(x)+a>0 在 -∞,1-
3
3
上不可能恒成立,故不存在实数 a,使得函数
g(x)=[f(x)]2+af(x)为增函数,故 D 错误.故选 D.
9.A
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当 a≠0 时函数 g(x)的定义域为(0,+∞),所以只研究这两个函数在 x∈(0,+∞)上的图像,当 a≤0 时,f(x)
递增,又 g(x)递减,两者的图像最多只有一个交点,不符合题意.当 a>0 时,
设φ(x)=f(x)-g(x),即φ(x)=
2
-2-ln + , ,
2
+ (2-2)-ln-,
≥
,
因为φ'(x)=
2(-)-
, ,
2(-) +
2-
> ,
≥
,
所以
φ(x)在(0,a)上递减,(a,+∞)上递增,所以φ(x)min=-a2-alna+a,因为 x→0,x→+∞时,φ(x)→+∞,所以φ
(x)有两个零点,当且仅当φ(x)min=-a2-alna+a1,即 a 的取值 X 围为(1,+∞).
10.B∵f(x)与 g(x)的图像在 x∈
1
e ,e
上存在两对关于直线 y=x 对称的点,则函数 f(x)与函数φ(x)=lnx
的图像在 x∈
1
e ,e
上有两个交点,∴lnx=x2-ax 在 x∈
1
e ,e
上有两个实数解,即 a=x-
ln
在 x∈
1
e ,e
上
有两个实数解,令 h(x)=x-
ln
,则 h'(x)=
2
+ln-1
2
令 k(x)=x2+lnx-1,k(x)在 x∈
1
e ,e
上递增,且 k(1)=0,
∴当 x∈
1
e ,1
时,h'(x)0,所以只需 lnx+
1
-a≤0,
即 a≥lnx+
1
在
1
e
,e 上恒成立.令 g(x)=lnx+
1
因为 g'(x)=
1
1
2
-1
2
由 g'(x)=0,得 x=1.则 g(x)在
1
e
,1 上单调递减,在(1,e)上单调递增,
g
1
e
=ln
1
e
+e=e-1,g(e)=1+
1
e
,因为 e-1>1+
1
e
,
所以 g(x)max=g
1
e
=e-1.
故 a 的取值 X 围为[e-1,+∞).
15.[4,8]结合题意可得 log24=2≤f(x)≤log216=4,
要使得对任意 x1∈{x|g(x)=
+ -
},存在 x2∈[4,16],使 g(x1)=f(x2)成立,
则要求 g(x)的值域在[2,4]上,对 g(x)求导得 g'(x)=
--
2
·
-
,
令 g'(x)>0,解得 x<
2
,结合该函数的定义域为[0,a],
可知 g(x)在 0,
2
上递增,在
2
,a 上递减,故 g(x)在 x=
2
取到最大值,在 x=0 取到最小值,所以需
要满足 g
2
≤4,且 g(0)≥2,得到
2 +
2
≤
4,
≥
2,
解得 a∈[4,8].
16
3
2
3
2 , +
∞ 由题意,f'(x)=
2
,g'(x)=2ax-1,因为直线 y=2x-b 与函数 y=f(x),y=g(x)的图像均相切,
所以 2
2,
2-1 2,
解得 x=1,a=
3
2
设直线 l 与 y=f(x)的图像相切于点 P1(x1,y1),x1>0,则切线方程为 y-
2lnx1=
2
1
(x-x1),代入 g(x)=ax2-x-
1
2
(a>0),得
2
1
x-2+2lnx1=ax2-x-
1
2
,即 ax2-
1 +
2
1
x+
3
2 -2ln1
=0.所
以Δ=
1 +
2
1
2
-4a×
3
2 -2ln1
=0.
所以 a=
(1+2)
2
21
2
(3-4ln1)
(x1>0).
令 y=
(1+2)
2
21
2
(3-4ln1)
(x1>0),
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则 y'=
2(1+2)(4ln1+1-1)
1
3
(3-4ln1)
2
令 y'=0,解得 x1=1.
当 x1>1 时,y'>0,y 递增,当 04 时,方程
1
x2+
2
-1
x+
1
=0 有两个不等实数根 x1,x2,设 x10 时,令 f'(x)=0,得 x1=1,x2=
1
2
(ⅰ)当 a=
1
2
时,f'(x)=
(-1)
2
≥0,所以 f(x)在(0,+∞)上递增.
(ⅱ)当 a>
1
2
时,令 f'(x)>0,得 01;
令 f'(x)0;
当 x34,则 x1+x2=
2
>2,x1x2=1,故 0mx2 恒成立,只需满足 m≤-3.
所以实数 m 的取值 X 围为(-∞,-3].
21.(1)解①当 k=6 时,f(x)=x3+6lnx,故 f'(x)=3x2+
6
可得 f(1)=1,f'(1)=9,所以曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为 y-1=9(x-1),即 y=9x-8.
②依题意,g(x)=x3-3x2+6lnx+
3
,x∈(0,+∞).从而可得 g'(x)=3x2-6x+
6
3
2
,整理可得
g'(x)=
3(-1)
3
(+1)
2
令 g'(x)=0,解得 x=1.
当 x 变化时,g'(x),g(x)的变化情况如下表:
x (0,1) 1 (1,+∞)
g'(x) - 0 +
g(x) ↘ 极小值 ↗
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所以,函数 g(x)的递减区间为(0,1),递增区间为(1,+∞);g(x)的极小值为 g(1)=1,无极大值.
(2)证明由 f(x)=x3+klnx,得 f'(x)=3x2+
对任意的 x1,x2∈[1,+∞),且 x1>x2,令
1
2
=t(t>1),
则(x1-x2)[f'(x1)+f'(x2)]-2[f(x1)-f(x2)]
=(x1-x2) 3
1
2
+
1
+3
2
2
+
2
-2
1
3
2
3
+kln
1
2
=
1
3
2
3
-3
1
2
x2+3x1
2
2
+k
1
2
2
1
-2kln
1
2
=
2
3
(t3-3t2+3t-1)+k t-
1
-2lnt . ①
令 h(x)=x-
1
-2lnx,x∈[1,+∞).
当 x>1 时,h'(x)=1+
1
2
2
1-
1
2
>0,
由此可得 h(x)在[1,+∞)上递增,所以当 t>1 时,h(t)>h(1),即 t-
1
-2lnt>0.
因为 x2≥1,t3-3t2+3t-1=(t-1)3>0,k≥-3,
所以,
2
3
(t3-3t2+3t-1)+k t-
1
-2lnt ≥(t3-3t2+3t-1)-3 t-
1
-2lnt =t3-3t2+6lnt+
3
-1. ②
由(1)②可知,当 t>1 时,g(t)>g(1),即 t3-3t2+6lnt+
3
>1,故 t3-3t2+6lnt+
3
-1>0. ③
由①②③可得(x1-x2)[f'(x1)+f'(x2)]-2[f(x1)-f(x2)]>0.
所以,当 k≥-3 时,对任意的 x1,x2∈[1,+∞),且 x1>x2,有
'(1)+'(2)
2 >
(1)-(2)
1-2
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