高考
第四节 用样本估计总体
【知识重温】
一、必记 3 个知识点
1．频率分布直方图
(1)通常我们对总体作出的估计一般分成两种．一种是用样本的①________估计总体的分
布．另一种是用样本的②________估计总体的数字特征．
(2)在频率分布直方图中，纵轴表示③________，数据落在各小组内的频率用各小长方形的
④________表示．各小长方形的面积总和⑤________.
(3)连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图．随着⑥
________的增加，作图时所分的⑦________增加，相应的频率分布折线图就会越来越接近于一
条光滑的曲线，统计中称之为⑧________________，它能够更加精细地反映出总体在各个 X 围
内取值的⑨________.
(4)当样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好，它不但可以保留所有信息，而且
可以随时记录，给数据的记录和表示都带来方便．
2．众数，中位数，平均数
(1)众数：在一组数据中，出现次数⑩________的数据叫做这组数据的众数．
(2)中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在⑪________位置的一个数据(或最中间两
个数据的平均数)叫做这组数据的⑫________.
(3)平均数：样本数据的算术平均数．即 x ＝⑬__________.在频率分布直方图中，中位数
左边和右边的直方图的面积应该⑭________.
3．样本方差，标准差
标准差
高考
s＝
1
n
[x1－ x 2＋x2－ x 2＋…＋xn－ x 2]，
其中 xn 是样本数据的第 n 项，n 是样本容量， x 是⑮________.标准差是反映总体波动大
小的特征数，样本方差是标准差的平方．通常用样本方差估计总体方差，当样本容量⑯________
总体容量时，样本方差越接近总体方差．
二、必明 1 个易误点
不要把直方图错认为条形图，两者的区别在于条形图是离散随机变量，纵坐标刻度为频
数或频率，直方图是连续随机变量，纵坐标刻度为频率/组距，连续随机变量在某一点上是没
有频率的．
【小题热身】
一、判断正误
1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)在频率分布直方图中，小矩形的高表示频率．( )
(2)频率分布直方图中各个长方形的面积之和为 1.( )
(3)茎叶图中的数据要按从小到大的顺序写，相同的数据可以只记一次．( )
(4)平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势．( )
(5)一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越大．( )
二、教材改编
2．四名同学各掷骰子 5 次，分别记录每次骰子出现的点数．根据四名同学的统计结果，
可以判断出一定没有出现点数 6 的是( )
A．平均数为 3，中位数为 2
B．中位数为 3，众数为 2
C．平均数为 2，方差为 2.4
D．中位数为 3，方差为 2.8
高考
3．已知一组数据 4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，则该组数据的方差是________．
三、易错易混
4．把样本容量为 20 的数据分组，分组区间与频数如下：[10,20)，2；[20,30)，3；[30,40)，
4；[40,50)，5；[50,60)，4；[60,70]，2，则在区间[10,50)上的数据的频率是( )
A．0.05 B．0.25
C．0.5 D．0.7
5．若数据 x1，x2，x3，…，xn 的平均数 x－＝5，方差 s2＝2，则数据 3x1＋1,3x2＋1,3x3
＋1，…，3xn＋1 的平均数和方差分别为________．
四、走进高考
6．[2019·全国卷Ⅱ]演讲比赛共有 9 位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成
绩时，从 9 个原始评分中去掉 1 个最高分、1 个最低分，得到 7 个有效评分.7 个有效评分与 9
个原始评分相比，不变的数字特征是( )
A．中位数 B．平均数
C．方差 D．极差
考点一 样本的数字特征[自主练透型]
1．[2018·某某卷]
高考
已知 5 位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这 5 位裁判打出的分数的
平均数为________．
2．[2021·某某、某某、某某联考]从某小学随机抽取 100 名学生，将他们的身高(单位：
厘米)分布情况汇总如下：
身高 (100,110] (110,120] (120,130] (130,140] (140,150]
频数 5 35 30 20 10
由此表估计这 100 名小学生身高的中位数为(结果保留 4 位有效数字)( )
A．119.3 B．119.7
C．123.3 D．126.7
3．[2021·某某市调研考试试题]某工厂为了解产品的生产情况，随机抽取了 100 个产品
为样本．若样本数据 x1，x2，…，x100 的方差为 8，则数据 2x1－1,2x2－1，…，2x100－1 的方
差为( )
A．8 B．15
C．16 D．32
悟·技法
众数、中位数、平均数及方差的意义及计算公式
(1)平均数与方差都是重要的数字特征，是对总体的一种简明地描述，平均数、中位数、众数
描述数据集中趋势，方差和标准差描述波动的大小．
(2)平均数、方差的公式推广．
高考
①若数据 x1，x2，…，xn 的平均数为 x ，那么 mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a
的平均数是 m x－＋a.
②数据 x1，x2，…，xn 的方差为 s2.
(ⅰ)数据 x1＋a，x2＋a，…，xn＋a 的方差也为 s2；
(ⅱ)数据 ax1，ax2，…，axn 的方差为 a2s2.
(3)方差的简化计算公式．
s2＝
1
n
[(x2
1＋x2
2＋…＋x2
n)－n x－2]或写成 s2＝
1
n
(x2
1＋x2
2＋…＋x2
n)－ x－2，即方差等于原数据平
方的平均数减去平均数的平方.
考点二 茎叶图[自主练透型]
4．[2021·某某、某某某某二中联考]某市重点中学奥数培训班共有 14 人，分为
两个小组，在一次阶段考试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，其中甲组学生成绩的平均数
是 88，乙组学生成绩的中位数是 89，则 m＋n 的值是( )
A．10 B．11
C．12 D．13
5．[2021·某某某某质检]在一次 53.5 千米的自行车个人赛中，25 名参赛选手成绩(单位：
分钟)的茎叶图如图所示，现将参赛选手按成绩由好到差编为 1～25 号，再用系统抽样的方法
从中选取 5 人，已知选手甲的成绩为 85 分钟，若甲被选取，则被选取的其余 4 名选手的成绩
的平均数为( )
高考
A．95 B．96
C．97 D．98
悟·技法
茎叶图的应用
(1)茎叶图中的“茎”上的数字代表十位上的数字，“叶”上的数字代表个位上的数字(若没有
则表示该数据不存在)；
(2)解题时，可把茎叶图中的数字按大小顺序转化为总体的个体数字再求解.
考点三 频率分布直方图[互动讲练型]
[例 1] [2020·某某卷]从一批零件中抽取 80 个，测量其直径(单位：mm)，将所得数据分
为 9 组：[5.31,5.33)，[5.33，5.35)，…，[5.45,5.47)，[5.47,5.49]，并整理得到如下频率分
布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间[5.43,5.47)内的个数为( )
A．10 B．18
C．20 D．36
悟·技法
1.绘制频率分布直方图时的 2 个注意点
(1)制作好频率分布表后，可以利用各组的频率之和是否为 1 来检验该表是否正确．
高考
(2)频率分布直方图的纵坐标是
频率
组距
，而不是频率．
2．由频率分布直方图进行相关计算时，需掌握的 2 个关系式
(1)
频率
组距
×组距＝频率．
(2)
频数
样本容量
＝频率，此关系式的变形为
频数
频率
＝样本容量，样本容量×频率＝频数.
[变式练]——(着眼于举一反三)
1．[2021·某某市统一模拟考试]某学校对本校高三 500 名学生的视力进行了一次调查，
随机抽取了 100 名学生的体检表，得到的频率分布直方图如图所示，若频率分布直方图后四
组的频数成等差数列，则估计本校高三这 500 名学生中视力在 4.8 以上(含 4.8)的人数为( )
A．185 B．180
C．195 D．200
考点四 扇形图与折线图[互动讲练型]
[例 2] (1)[2018·全国卷Ⅰ]某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，
实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农
村的经济收入构成比例，得到如下饼状图：
高考
则下面结论中不正确的是( )
A．新农村建设后，种植收入减少
B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
(2)[2021·某某某某模拟]如图为某市国庆节 7 天假期的楼房认购量与成交量的折线图，小
明同学根据折线图对这 7 天的认购量(单位：套)与成交量(单位：套)作出如下判断，其中判断
正确的是( )
A．日成交量的中位数是 26
B．日成交量超过日平均成交量的有 2 天
C．认购量与日期正相关
D．10 月 7 日认购量的增幅大于 10 月 7 日成交量的增幅
高考
悟·技法
(1)通过扇形统计图可以很清楚的表示出各部分数量同总数之间的关系．
(2)折线图可以显示随时间(根据常用比例放置)而变化的数据，因此非常适用于显示在相等
时间间隔下数据的变化趋势.
[变式练]——(着眼于举一反三)
2．[2021·某某市第一次模拟考试]某省普通高中学业水平考试成绩由高分到低分按人数所
占比例依次分为 A，B，C，D，E 五个等级，A 等级 15%，B 等级 30%，C 等级 30%，D，E
等级共 25%.其中 E 等级为不合格，原则上比例不超过 5%.该省某校高二年级学生都参加学业
水平考试，先从中随机抽取了部分学生的考试成绩进行统计，统计结果如图所示．若该校高
二年级共有 1 000 名学生，则估计该年级拿到 C 等级及以上级别的学生人数为( )
A．45 B．660
C．880 D．900
3．某市气象部门根据 2018 年各月的每天最高气温平均值与最低气温平均值(单位：℃)
数据，绘制如下折线图：
那么，下列叙述不正确的是( )
高考
A．各月最高气温平均值与最低气温平均值总体呈正相关
B．全年中，2 月份的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大
C．全年中各月最低气温平均值不高于 10 ℃的月份有 5 个
D．从 2018 年 7 月至 12 月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值呈下降趋势
第四节 用样本估计总体
【知识重温】
①频率分布 ②数字特征 ③
频率
组距
④面积
⑤等于 1 ⑥样本容量 ⑦组数 ⑧总体密度曲线 ⑨百分比 ⑩最多 ⑪最中间
⑫中位数 ⑬1
n
(x1＋x2＋…＋xn) ⑭相等
⑮平均数 ⑯接近
【小题热身】
1．答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√
(5)√
2．答案：C
3．解析：5 个数的平均数 x－＝
4.7＋4.8＋5.1＋5.4＋5.5
5
＝5.1，所以它们的方差 s2＝
1
5
[(4.7
－5.1)2＋(4.8－5.1)2＋(5.1－5.1)2＋(5.4－5.1)2＋(5.5－5.1)2]＝0.1.
答案：0.1
高考
4．解析：由题意知，在区间[10,50)上的数据的频数是 2＋3＋4＋5＝14，故其频率为
14
20
＝0.7.
答案：D
5 ． 解 析 ： ∵ x1 ， x2 ， x3 ， … ， xn 的 平 均 数 为 5 ， ∴
x1＋x2＋x3＋…＋xn
n
＝ 5 ， ∴
3x1＋3x2＋3x3＋…＋3xn
n
＋1＝3×5＋1＝16，∵x1，x2，x3，…，xn 的方差为 2，∴3x1＋1,3x2
＋1,3x3＋1，…，3xn＋1 的方差是 32×2＝18.
答案：16,18
6．解析：记 9 个原始评分分别为 a，b，c，d，e，f，g，h，i(按从小到大的顺序排列)，
易知 e 为 7 个有效评分与 9 个原始评分的中位数，故不变的数字特征是中位数，故选 A.
答案：A
课堂考点突破
考点一
1．解析：这 5 位裁判打出的分数分别是 89,89,90,91,91，因此这 5 位裁判打出的分数的
平均数为
89＋89＋90＋91＋91
5
＝90.
答案：90
2．解析：本题考查中位数，体现了数学运算的核心素养．由题意知身高在(100,110]，
(110,120]，(120,130]的频率依次为 0.05,0.35,0.3，前两组频率和为 0.4，组距为 10，设中
位数为 x，则(x－120)×
0.3
10
＝0.1，解得 x≈123.3.故选 C.
答案：C
3．解析：样本数据 x1，x2，…，x100 的方差为 8，则数据 2x1－1,2x2－1，…，2x100－1
的方差为 22×8＝32，故选 D.
高考
答案：D
考点二
4．解析：∵甲组学生成绩的平均数是 88，
∴由茎叶图可知 78＋86＋84＋88＋95＋90＋m＋92＝88×7，∴m＝3，
∵乙组学生成绩的中位数是 89，∴n＝9，
∴m＋n＝12.故选 C.
答案：C
5．解析：由系统抽样法及已知条件可知被选中的其他 4 人的成绩分别是 88,94,99,107，
故平均数为
88＋94＋99＋107
4
＝97，故选 C.
答案：C
考点三
例 1 解析：由题知[5.43,5.45)与[5.45,5.47)所对应的小矩形的高分别为 6.25,5.00，所
以[5.43,5.47)的频率为(6.25＋5.00)×0.02＝0.225，所以直径落在区间[5.43,5.47)内的个数为
80×0.225＝18，故选 B.
答案：B
变式练
1．解析：由题意得频率分布直方图前三组的频率依次为 0.03,0.07,0.27，所以前三组的
频数依次为 3,7,27，则后四组的频数和为 90，又后四组的频数成等差数列，所以后四组的频
数依次为 27,24,21,18，所以视力在 4.8 以上(含 4.8)的频率为 39%，故本校高三这 500 名学
生中视力在 4.8 以上(含 4.8)的人数约为 500×39%＝195.选 C.
答案：C
考点四
例 2 解析：(1)设新农村建设前，农村的经济收入为 a，则新农村建设后，农村的经济收
入为 2a.新农村建设前后，各项收入的对比如下表：
高考
新农村
建设前
新农村
建设后
新农村建设
后变化情况
结论
种植收入 60%a 37%×2a＝74%a 增加 A 错
其他收入 4%a 5%×2a＝10%a 增加了一倍以上 B 对
养殖收入 30%a 30%×2a＝60%a 增加了一倍 C 对
养殖收入
＋第三产
业收入
(30%＋6%)a
＝36%a
(30%＋28%)
×2a＝116%a
超过经济收
入 2a 的一半
D 对
故选 A.
(2)7 天假期楼房的成交量从小到大依次为 8,13,16,26,32,38,166，所以日成交量的中位数
为 26，所以 A 正确；日平均成交量为
8＋13＋16＋26＋32＋38＋166
7
≈42.7，只有一天日成
交量超过日平均成交量，所以 B 错误；由折线图的起伏变化可知，认购量与日期不是正相关，
所以 C 错误；10 月 7 日认购量的增幅为
276－112
112
×100%≈146.4%，10 月 7 日成交量的增
幅为
166－38
38
≈336.8%，显然 10 月 7 日认购量的增幅小于 10 月 7 日成交量的增幅，所以 D
错误，故选 A.
答案：(1)A (2)A
变式练
2．解析：由题中两图可知 C 等级所占比例为 12÷
10
20%
＝24%，所以 C 等级及以上级别
所占比例为 20%＋24%＋46%＝90%，所以 C 等级及以上级别的学生人数为 1 000×90%＝
900.故选 D.
答案：D
高考
3．解析：对于 A，根据折线图可以发现除 2 月份外，各月最低气温平均值越高，最高气
温平均值也越高，总体呈正相关，A 正确；对于 B，通过折线图观察，2 月份的两个点距离最
大，B 正确；对于 C，各月最低气温平均值不高于 10 ℃的有 1 月，2 月，3 月，11 月，12
月，共有 5 个月，C 正确；对于 D，观察折线图可知，7 月份到 8 月份气温在上升，D 错误．
答案：D
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