高考
第五节 椭圆
【知识重温】
一、必记 3 个知识点
1．椭圆的定义
条件 结论 1 结论 2
平面内的动点 M 与平面内的两个定点 F1，
F2
M 点的
轨迹为
椭圆
①________为椭圆的焦点
|MF1|＋|MF2|＝2a
(2a＞|F1F2|)
②________为椭圆的焦距
2.椭圆的简单几何性质(a2＝b2＋c2)
标准方程
x2
a2
＋
y2
b2
＝1(a＞b＞0)
y2
a2
＋
x2
b2
＝1(a＞b＞0)
图形
性
质
X 围
－a≤x≤a
－b≤y≤b
－b≤x≤b
－a≤y≤a
对称性
对称轴：③________
对称中心：④________
高考
顶点
A1⑤_____，A2⑥_____
B1⑦_____，B2⑧_____
A1⑨_____，A2⑩_____
B1⑪_____，B2⑫_____
性
质
轴
长轴 A1A2 的长为⑬________
短轴 B1B2 的长为⑭________
焦距 |F1F2|＝⑮________
离心率 e＝
c
a
∈⑯________
a，b，c
的关系
⑰________
3.椭圆中的 4 个常用结论
(1)设椭圆
x2
a2
＋
y2
b2
＝1(a>b>0)上任意一点 P(x，y)，则当 x＝0 时，|OP|有最小值 b，这时，
P 在短轴端点处；当 x＝±a 时，|OP|有最大值 a，这时，P 在长轴端点处．
(2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中 a 是斜边长，a2＝b2
＋c2.
(3)已知过焦点 F1 的弦 AB，则△ABF2 的周长为 4a.
(4)若 P 为椭圆上任一点，F 为其焦点，则 a－c≤|PF|≤a＋c.
二、必明 3 个易误点
1．椭圆的定义中易忽视 2a>|F1F2|这一条件，当 2a＝|F1F2|其轨迹为线段 F1F2，当 2ab>0)．
3．注意椭圆的 X 围，在设椭圆
x2
a2
＋
y2
b2
＝1(a>b>0)上点的坐标为 P(x，y)时，则|x|≤a，
这往往在求与点 P 有关的最值问题中特别有用，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因．
高考
【小题热身】
一、判断正误
1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)平面内与两个定点 F1，F2 的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( )
(2)椭圆上一点 P 与两焦点 F1，F2 构成△PF1F2 的周长为 2a＋2c(其中 a 为椭圆的长半轴长，
c 为椭圆的半焦距)．( )
(3)椭圆的离心率 e 越大，椭圆就越圆．( )
(4)方程 mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲线是椭圆．( )
(5)
y2
a2
＋
x2
b2
＝1(a≠b)表示焦点在 y 轴上的椭圆．( )
(6)
x2
a2
＋
y2
b2
＝1(a>b>0)与
y2
a2
＋
x2
b2
＝1(a>b>0)的焦距相等．( )
二、教材改编
2．已知椭圆
x2
m－2
＋
y2
10－m
＝1 的焦点在 x 轴上，焦距为 4，则 m 等于( )
A．8 B．7 C．6 D．5
3．过点 A(3，－2)且与椭圆
x2
9
＋
y2
4
＝1 有相同焦点的椭圆的方程为( )
A.
x2
15
＋
y2
10
＝1 B.
x2
25
＋
y2
20
＝1
C.
x2
10
＋
y2
15
＝1 D.
x2
20
＋
y2
15
＝1
三、易错易混
高考
4．若方程
x2
5－m
＋
y2
m＋3
＝1 表示椭圆，则 m 的取值 X 围是( )
A．(－3,5) B．(－5,3)
C．(－3,1)∪(1,5) D．(－5,1)∪(1,3)
5．已知椭圆
x2
5
＋
y2
m
＝1(m>0)的离心率 e＝
10
5
，则 m 的值为________．
四、走进高考
6．[2019·全国卷Ⅰ]已知椭圆 C 的焦点为 F1(－1,0)，F2(1,0)，过 F2 的直线与 C 交于 A，
B 两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则 C 的方程为( )
A.
x2
2
＋y2＝1 B.
x2
3
＋
y2
2
＝1
C.
x2
4
＋
y2
3
＝1 D.
x2
5
＋
y2
4
＝1
考点一 椭圆的定义及其标准方程
[自主练透型]
1．[2021·某某省示 X 高中名校高三联考]已知椭圆 C：
x2
a2
＋
y2
b2
＝1(a＞b＞0)，F1，F2 为其
左、右焦点，|F1F2|＝2 2，B 为短轴的一个端点，三角形 BF1O(O 为坐标原点)的面积为 7，
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则椭圆的长轴长为( )
A．4 B．8
C.
1＋ 33
2
D．1＋ 33
2．[2021·某某市高三学情调研测试试题]在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 的中点为原
点，焦点 F1，F2 在 x 轴上，离心率为
2
2
，过 F1 的直线 l 交 C 于 A，B 两点，且△ABF2 的周长
为 16，那么 C 的方程为( )
A.
x2
36
＋
y2
18
＝1 B.
x2
16
＋
y2
10
＝1
C.
x2
4
＋
y2
2
＝1 D.
x2
16
＋
y2
8
＝1
3．[2021·某某市普通高中高三年级统一考试]已知动点 M 在以 F1，F2 为焦点的椭圆 x2
＋
y2
4
＝1 上，动点 N 在以 M 为圆心，半径长为|MF1|的圆上，则|NF2|的最大值为( )
A．2 B．4
C．8 D．16
悟·技法
求椭圆标准方程的 2 种常用方法
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定义法 根据椭圆的定义，确定 a2，b2 的值，结合焦点位置可写出椭圆方程
待定系
数法
若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出 a，b；
若焦点位置不明确，则需要分焦点在 x 轴和 y 轴上两种情况讨论，也可
设椭圆的方程为 Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)
考点二 椭圆的几何性质[分层深化型]
考向一：求离心率的值
[例 1] [2021·某某市高三年级统一模拟考试]设椭圆 C：
x2
a2
＋
y2
b2
＝1(a＞b＞0)的左、右焦
点分别为 F1，F2，点 E(0，t)(0＜t＜b)，已知动点 P 在椭圆上，且点 P，E，F2 不共线，若△
PEF2 的周长的最小值为 3b，则椭圆 C 的离心率为( )
A.
3
2
B.
2
2
C.
1
2
D.
5
3
考向二：求离心率的 X 围
[例 2] 已知椭圆
x2
a2
＋
y2
b2
＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1(－c,0)、F2(c,0)，P 是椭圆上
一点，|PF2|＝|F1F2|＝2c，若∠PF2F1∈
π
3
，π
，则该椭圆的离心率的取值 X 围是( )
A.
0，
1
2 B.
0，
1
3
C.
1
2
，1
D.
1
3
，
1
2
悟·技法
求椭圆离心率的三种方法
高考
(1)直接求出 a，c 来求解 e.通过已知条件列方程组，解出 a，c 的值．
(2)构造 a，c 的齐次式，解出 e.由已知条件得出关于 a，c 的二元齐次方程，然后转化为关于
离心率 e 的一元二次方程求解．
(3)通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．
提醒：在解关于离心率 e 的二次方程时，要注意利用椭圆的离心率 e∈(0,1)进行根的取舍，
否则将产生增根.
考向三：最值(或 X 围)问题
[例 3] 已知椭圆
x2
4
＋
y2
b2
＝1(0c>0)的左、右焦点分别为 F1，F2，
若以 F2 为圆心，b－c 为半径作圆 F2，过椭圆上一点 P 作此圆的一条切线，切点为 T，且|PT|
的最小值不小于
3
2
(a－c)，则椭圆的离心率 e 的取值 X 围是________．
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考点三 直线与椭圆的位置关系[互动讲练型]
[例 4] [2020·全国卷Ⅲ]已知椭圆 C：
x2
25
＋
y2
m2
＝1(00，
m＋3>0，
5－m≠m＋3，
高考
解得－30.所以
高考
3＋
2
e
－
1
e 2>0
1
e
－
1
2
1
e 210－m，
解得 6c，所以 b2>c2，所以 a2－c2>c2，所以 2e2
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