高考
第六节 双曲线
【知识重温】
一、必记 3 个知识点
1．双曲线的定义
(1) 平 面 内 与 两 个 定 点 F1 、 F2(|F1F2| ＝ 2c>0) 的 距 离 ① ________________ 为 非 零 常 数
2a(2a0，c>0.
(ⅰ)当④________________时，M 点的轨迹是双曲线；
(ⅱ)当⑤________________时，M 点的轨迹是两条射线；
(ⅲ)当⑥________________时，M 点不存在．
2．双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
x2
a2
－
y2
b2
＝1(a＞0，b＞0)
y2
a2
－
x2
b2
＝1
(a＞0，b＞0)
图形
性
质
X 围 ⑦________ y∈R ⑧________ x∈R
对称性 对称轴：⑨________ 对称轴：⑪________
高考
对称中心：⑩________ 对称中心：⑫________
顶点
顶点坐标：A1⑬______，
A2⑭________
顶点坐标：A1⑮______，
A2⑯________
渐近线 ⑰____________ ⑱____________
离心率 e＝⑲________，e∈(1，＋∞)其中 c＝⑳________
实虚轴
线段 A1A2 叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝ ○21________；线段
B1B2 叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝ ○22________；a 叫做双曲
线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长
a、b、c 关系 c2＝ ○23________(c＞a＞0，c＞b＞0)
3.双曲线中的 4 个常用结论
(1)双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率 e＝ 2⇔双曲线的两条渐近线互相垂直．
(2)渐近线的斜率与双曲线的焦点位置的关系：当焦点在 x 轴上时，渐近线斜率为±
b
a
，当
焦点在 y 轴上时，渐近线斜率为±
a
b
.
(3)渐近线与离心率．
x2
a2
－
y2
b2
＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的斜率为
b
a
＝ e2－1.
(4)若 P 为双曲线上一点，F 为其对应焦点，则|PF|≥c－a.
二、必明 4 个易误点
1．双曲线的定义中易忽视 2a|F1F2|则轨迹不存在．
2．双曲线的标准方程中对 a，b 的要求只是 a>0，b>0，易误认为与椭圆标准方程中 a，
b 的要求相同．
若 a>b>0，则双曲线的离心率 e∈(1， 2)；
高考
若 a＝b>0，则双曲线的离心率 e＝ 2；
若 00)表示焦点在 x 轴上的双曲线．( )
(3)双曲线方程
x2
m2
－
y2
n2
＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是
x2
m2
－
y2
n2
＝0，即
x
m
±
y
n
＝
0.( )
(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.( )
(5)若双曲线
x2
a2
－
y2
b2
＝1(a>0，b>0)与
x2
b2
－
y2
a2
＝1(a>0，b>0)的离心率分别是 e1，e2，则
1
e2
1
＋
1
e2
2
＝1(此结论中两条双曲线称为共轭双曲线)．( )
二、教材改编
2．若双曲线
x2
a2
－
y2
b2
＝1(a>0，b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的
离心率为( )
高考
A. 5 B．5
C. 2D．2
3．经过点 A(4,1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________．
三、易错易混
4．P 是双曲线
x2
16
－
y2
81
＝1 上任意一点，F1，F2 分别是它的左、右焦点，且|PF1|＝9，则
|PF2|＝________.
5．坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线的倾斜角为
π
3
，则双
曲线的离心率为________．
四、走进高考
6．[2020·某某卷]在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线
x2
a2
－
y2
5
＝1(a>0)的一条渐近线方
程为 y＝
5
2
x，则该双曲线的离心率是________．
考点一 双曲线的定义及其标准方程
[互动讲练型]
考向一：双曲线的定义及应用
[例 1] (1)[2021·某某非凡联盟联考]已知双曲线 C：
x2
a2
－
y2
9
＝1(a＞0)的左、右焦点分别
为 F1，F2，一条渐近线与直线 4x＋3y＝0 垂直，点 M 在 C 上，且|MF2|＝6，则|MF1|＝( )
A．2 或 14 B．2
C．14 D．2 或 10
高考
(2)[2020·全国卷Ⅲ]设双曲线 C：
x2
a2
－
y2
b2
＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为 F1，F2，离
心率为 5.P 是 C 上一点，且 F1P⊥F2P.若△PF1F2 的面积为 4，则 a＝( )
A．1 B．2
C．4 D．8
悟·技法
双曲线定义的应用
(1)判定满足某条件的平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程；
(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平
方的方法，建立|PF1|与|PF2|的关系．
[注意] 在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲
线的一支，若是双曲线的一支，则需确定是哪一支.
考向二：双曲线的方程
[例 2] [2020·某某卷]设双曲线 C 的方程为
x2
a2
－
y2
b2
＝1(a>0，b>0)，过抛物线 y2＝4x 的
焦点和点(0，b)的直线为 l.若 C 的一条渐近线与 l 平行，另一条渐近线与 l 垂直，则双曲线 C
的方程为( )
A.
x2
4
－
y2
4
＝1 B．x2－
y2
4
＝1
C.
x2
4
－y2＝1 D．x2－y2＝1
悟·技法
求双曲线标准方程的一般方法
(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数 a，b，c 的方程并求
高考
出 a，b，c 的值．与双曲线
x2
a2
－
y2
b2
＝1 有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为
x2
a2
－
y2
b2
＝λ(λ
≠0)．
(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出 a 的值，由定点位置确定 c 的值.
[变式练]——(着眼于举一反三)
1．已知 F1，F2 为双曲线 C：x2－y2＝2 的左、右焦点，点 P 在 C 上，|PF1|＝2|PF2|，则
cos∠F1PF2＝________.
2．[2021·某某市高三年级模拟试题]已知双曲线
x2
a2
－
y2
b2
＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方
程 为 y ＝ 3 x ， 若 其 右 顶 点 到 这 条 渐 近 线 的 距 离 为 3 ， 则 双 曲 线 的 方 程 为
________________________________________________________________________．
考点二 双曲线的几何性质[分层深化型]
考向一：双曲线的离心率
[例 3] [2020·全国卷Ⅰ]已知 F 为双曲线 C：
x2
a2
－
y2
b2
＝1(a>0，b>0)的右焦点，A 为 C 的
右顶点，B 为 C 上的点，且 BF 垂直于 x 轴．若 AB 的斜率为 3，则 C 的离心率为________．
考向二：双曲线的渐近线
[例 4] [2021·某某市高三教学质量检测]已知双曲线 C：
x2
a2
－
y2
b2
＝1(a＞0，b＞0)的右焦
点为点 F，点 B 是虚轴的一个端点，点 P 为双曲线 C 左支上的一个动点，若△BPF 周长的最小
值等于实轴长的 4 倍，则双曲线 C 的渐近线方程为__________________．
悟·技法
高考
1.求双曲线离心率或其 X 围的方法
(1)求 a，b，c 的值，由
c2
a2
＝
a2＋b2
a2
＝1＋
b2
a2
直接求 e.
(2)列出含有 a，b，c 的齐次方程(或不等式)，借助于 b2＝c2－a2 消去 b，然后转化成关于 e
的方程(或不等式)求解．
2．求双曲线的渐近线方程的方法
求双曲线
x2
a2
－
y2
b2
＝1(a>0，b>0)的渐近线的方法是令
x2
a2
－
y2
b2
＝0，即得两渐近线方程
x
a
±
y
b
＝0.
[同类练]——(着眼于触类旁通)
3．[2021·某某某某质检]若双曲线
y2
a2
－
x2
9
＝1(a>0)的一条渐近线与直线 y＝
1
3
x 垂直，则此
双曲线的实轴长为( )
A．2 B．4 C．18 D．36
4．[2021·某某市高三年级调研检测]已知 F 为双曲线 C：
x2
a2
－
y2
b2
＝1(a＞0，b＞0)的右焦
点，过 F 作 C 的渐近线的垂线 FD，垂足为 D，且满足|FD|＝
1
2
|OF|(O 为坐标原点)，则双曲线
的离心率为( )
A.
2 3
3
B．2 C．3 D.
10
3
[变式练]——(着眼于举一反三)
5．[2021·某某市尖子生联考]已知双曲线
x2
a2
－
y2
b2
＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为 F1，
F2，P 为双曲线上一点，且|PF1|＝2|PF2|，若 sin∠F1PF2＝
15
4
，则该双曲线的离心率等于( )
高考
A. 6 B．2 C. 6或 2 D. 3＋1 或 6
6．[2021·某某市高三调研考试]双曲线
x2
a2
－
y2
b2
＝1(a＞0，b＞0)的离心率为 2，则该双曲
线的渐近线与圆(x－2)2＋y2＝3 的公共点的个数为( )
A．1 B．2 C．4 D．0
[拓展练]——(着眼于迁移应用)
7．[2021·某某市高三教学质量检测]已知双曲线 C：
x2
a2
－
y2
b2
＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦
点分别为 F1，F2，圆 F2 与双曲线 C 的渐近线相切，M 是圆 F2 与双曲线 C 的一个交点．若F1M→ ·F2M→
＝0，则双曲线 C 的离心率等于( )
A. 5 B．2 C. 3 D. 2
8．[2021·某某省某某市高三调研试题]已知双曲线 C：
x2
a2
－
y2
b2
＝1(a＞0，b＞0)的左焦点
为 F，过原点的直线 l 与双曲线左、右两支分别交于点 P，Q，且满足|QF|－|PF|＝8，虚轴的
上端点 B 在圆 x2＋(y－3)2＝1 内，则该双曲线离心率的取值 X 围为( )
A.
5＋1
2
，2
B.
3＋1
2
，2
C.
5
2
， 2
D．( 2， 3)
考点三 直线与双曲线的位置关系
[互动讲练型]
[例 5] [2021·某某四校联考]设 A，B 分别为双曲线
x2
a2
－
y2
b2
＝1(a＞0，b＞0)的左、右顶
点，双曲线的实轴长为 4 3，焦点到渐近线的距离为 3.
高考
(1)求双曲线的方程；
(2)已知直线 y＝
3
3
x－2 与双曲线的右支交于 M，N 两点，且在双曲线的右支上存在点
D，使OM→ ＋ON→ ＝tOD→ ，求 t 的值及点 D 的坐标．
悟·技法
1.解决此类问题的常用方法是设出直线方程或双曲线方程，然后把直线方程和双曲线方程组成
方程组，消元后转化成关于 x(或 y)的一元二次方程．利用根与系数的关系，整体代入．
2．有时根据直线的斜率 k 与渐近线的斜率的关系来判断直线与双曲线的位置关系会比较快捷.
[变式练]——(着眼于举一反三)
9．已知双曲线
x2
a2
－
y2
b2
＝1(a>0，b>0)的离心率为 2，焦点到渐近线的距离等于 3，过
右焦点 F2 的直线 l 交双曲线于 A，B 两点，F1 为左焦点．
(1)求双曲线的方程；
(2)若△F1AB 的面积等于 6 2，求直线 l 的方程．
高考
高考
第六节 双曲线
【知识重温】
①之差的绝对值 ②焦点 ③焦距
④2a|F1F2| ⑦x≥a 或 x≤－a
⑧y≥a 或 y≤－a⑨x 轴，y 轴 ⑩坐标原点
⑪x 轴，y 轴 ⑫坐标原点 ⑬(－a,0)
⑭(a,0) ⑮(0，－a) ⑯(0，a) ⑰y＝±
b
a
x
⑱y＝±
a
b
x⑲c
a
⑳ a2＋b2 ○212a ○222b ○23a2＋b2
【小题热身】
1．答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√
(5)√
2．解析：由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，双曲线的渐近线方程为
x
a
±
y
b
＝0，
即 bx±ay＝0，∴2a＝
bc
a2＋b2
＝b.又 a2＋b2＝c2，∴5a2＝c2.∴e2＝
c2
a2
＝5，∴e＝ 5.
答案：A
3．解析：设双曲线的方程为
x2
a2
－
y2
a2
＝±1(a>0)，把点 A(4,1)代入，得 a2＝15(舍负)，故
所求方程为
x2
15
－
y2
15
＝1.
高考
答案：
x2
15
－
y2
15
＝1
4．解析：由题意知 a＝4，b＝9，
c＝ a2＋b2＝ 97，
由于|PF1|＝9
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