统考版2022届高考数学一轮复习第七章7.7数学归纳法学案理含解析

高考 第七节 数学归纳法 【知识重温】 一、必记 3 个知识点 1．归纳法 由一系列有限的特殊事例得出①________的推理方法叫归纳法．根据推理过程中考查的对 象是涉及事物的全体或部分可分为②________归纳法和③________归纳法． 2．数学归纳法 数学归纳法：一个与自然数相关的命题，如果：(1)当 n 取第 1 个值 n0 时命题成立；(2) 假设当 n＝k，(k∈N＋，且 k≥n0)时，命题成立的前提下，推出当 n＝k＋1 时命题也成立，那 么可以断定这个命题对于 n 取第 1 个值后面的所有正整数成立． 3．数学归纳法证题的步骤 (1)(归纳奠基)证明当 n 取第一个值④________时，命题成立． (2)(归纳递推)假设⑤________(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当⑥________时命题也成立． 只要完成这两个步骤就可以断定命题对从 n0 开始的所有正整数 n 都成立． 二、必明 2 个易误点 应用数学归纳法时应注意两点： 1．数学归纳法证题时，误把第一个值 n0 认为是 1，如证明多边形内角和定理(n－2)π时， 初始值 n0＝3. 2．数学归纳法证题的关键是第二步，证题时应注意：①必须利用归纳假设作基础；②证 明中可利用综合法、分析法、反证法等方法；③解题时要搞清从 n＝k 到 n＝k＋1 增加了哪些 项或减少了哪些项． 高考 【小题热身】 一、判断正误 1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)． (1)与正整数 n 有关的数学命题的证明只能用数学归纳法．( ) (2)数学归纳法的第一步 n0 的初始值一定为 1.( ) (3)数学归纳法的两个步骤缺一不可．( ) 二、教材改编 2．下列结论能用数学归纳法证明的是( ) A．x>sin x，x∈(0，π) B．ex≥x＋1(x∈R) C．1＋ 1 2 ＋ 1 22 ＋…＋ 1 2n－1 ＝2－ 1 2 n－1(n∈N*) D．sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β(α，β∈R) 3．若 f(n)＝1＋ 1 2 ＋ 1 3 ＋…＋ 1 6n－1 (n∈N＋)，则 f(1)为( ) C．1＋ 1 2 ＋ 1 3 ＋ 1 4 ＋ 1 5 D．非以上答案 三、易错易混 4．已知 f(n)＝ 1 n ＋ 1 n＋1 ＋ 1 n＋2 ＋…＋ 1 n2 ，则( ) A．f(n)中共有 n 项，当 n＝2 时，f(2)＝ 1 2 ＋ 1 3 B．f(n)中共有 n＋1 项，当 n＝2 时，f(2)＝ 1 2 ＋ 1 3 ＋ 1 4 高考 C．f(n)中共有 n2－n 项，当 n＝2 时，f(2)＝ 1 2 ＋ 1 3 D．f(n)中共有 n2－n＋1 项，当 n＝2 时，f(2)＝ 1 2 ＋ 1 3 ＋ 1 4 5．用数学归纳法证明：“1＋ 1 2 ＋ 1 3 ＋…＋ 1 2n－1 1)”，由 n＝k(k>1)不等式成立，推 证 n＝k＋1 时，左边应增加的项的项数是________． 考点一 用数学归纳法证明等式[自主练透型] 1．求证：12＋22＋…＋n2＝ nn＋12n＋1 6 . 2．设 f(n)＝1＋ 1 2 ＋ 1 3 ＋…＋ 1 n (n∈N*)．求证：f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2， n∈N*)． 悟·技法 用数学归纳法证明恒等式应注意 (1)明确初始值 n0 的取值并验证 n＝n0 时等式成立． (2)由 n＝k 证明 n＝k＋1 时，弄清左边增加的项，且必须用上假设. 考点二 用数学归纳法证明不等式 [互动讲练型] [例 1] 已知数列{an}，an≥0，a1＝0，a2 n＋1＋an＋1－1＝a2 n.求证：当 n∈N*时，an1. 证明：当 x>－1 且 x≠0 时(1＋x)p>1＋px. 考点三 归纳、猜想、证明[互动讲练型] [例 2] 已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足：Sn＝ an 2 ＋ 1 an －1，且 an>0，n∈N*. (1)求 a1，a2，a3，并猜想{an}的通项公式； 高考 (2)证明通项公式的正确性． 悟·技法 “归纳—猜想—证明”的一般环节 [变式练]——(着眼于举一反三) 2．已知数列{an}满足 Sn＋an＝2n＋1. (1)写出 a1，a2，a3，推测 an 的表达式； (2)用数学归纳法证明所得结论． 高考 第七节 数学归纳法 【知识重温】 ①一般结论 ②完全 ③不完全 ④n＝n0⑤n＝k⑥n＝k＋1 【小题热身】 1．答案：(1)× (2)× (3)√ 2．解析：数学归纳法是用来证明与自然数有关的命题的一种方法，由此可知选项 C 符合 题意． 答案：C 3．解析：等式右边的分母是从 1 开始的连续的自然数，且最大分母为 6n－1，则当 n＝ 1 时，最大分母为 5，故选 C. 答案：C 4．解析：由 f(n)可知，共有 n2－n＋1 项，且 n＝2 时，f(2)＝ 1 2 ＋ 1 3 ＋ 1 4 . 答案：D 5．解析：当 n＝k 时， 不等式为 1＋ 1 2 ＋ 1 3 ＋…＋ 1 2k－1 0， 所以 ak＋1(1＋x)(1＋kx)＝1＋(k＋1)x＋kx2>1＋(k＋ 1)x. 所以当 p＝k＋1 时，原不等式也成立． 综合(1)(2)可得，当 x>－1 且 x≠0 时，对一切整数 p>1，不等式(1＋x)p>1＋px 均成立． 高考 考点三 例 2 解析：(1)当 n＝1 时，由已知得 a1＝ a1 2 ＋ 1 a1 －1，a2 1＋2a1－2＝0. ∴a1＝ 3－1(a1>0)． 当 n＝2 时，由已知得 a1＋a2＝ a2 2 ＋ 1 a2 －1， 将 a1＝ 3－1 代入并整理得 a2 2＋2 3a2－2＝0. ∴a2＝ 5－ 3(a2>0)．同理可得 a3＝ 7－ 5. 猜想 an＝ 2n＋1－ 2n－1(n∈N*)． (2)证明：①由(1)知，当 n＝1,2,3 时，通项公式成立． ②假设当 n＝k(k≥3，k∈N*)时，通项公式成立， 即 ak＝ 2k＋1－ 2k－1. 由于 ak＋1＝Sk＋1－Sk＝ ak＋1 2 ＋ 1 ak＋1 － ak 2 － 1 ak ， 将 ak＝ 2k＋1－ 2k－1代入上式，整理得 a2 k＋1＋2 2k＋1ak＋1－2＝0， ∴ak＋1＝ 2k＋3－ 2k＋1， 即 n＝k＋1 时通项公式成立． 由①②可知对所有 n∈N*，an＝ 2n＋1－ 2n－1都成立． 变式练 2．解析：(1)由 Sn＋an＝2n＋1，得 a1＝ 3 2 ，a2＝ 7 4 ，a3＝ 15 8 ，推测 an＝ 2n＋1－1 2n ＝2－ 1 2n (n ∈N*)． 高考 (2)证明：an＝2－ 1 2n (n∈N*)， ①当 n＝1 时，a1＝2－ 1 21 ＝ 3 2 ，结论成立． ②假设当 n＝k(k≥1，k∈N*)时结论成立，即 ak＝2－ 1 2k ， 那么当 n＝k＋1 时，a1＋a2＋…＋ak＋ak＋1＋ak＋1＝2(k＋1)＋1， ∵a1＋a2＋…＋ak＝2k＋1－ak， ∴2ak＋1＝ak＋2，∴2ak＋1＝4－ 1 2k ，∴ak＋1＝2－ 1 2k＋1 ， ∴当 n＝k＋1 时结论成立． 由①②知对于任意正整数 n，结论都成立．