统考版2022届高考数学一轮复习第六章6.4数列求和学案理含解析

高考 第四节 数列求和 【知识重温】 一、必记 6 个知识点 1．公式法求和 使用已知求和公式求和的方法，即等差、等比数列或可化为等差等比数列的求和方法． 2．裂项相消法求和 把数列的通项拆分为两项之差，使之在求和时产生前后相互抵消的项的求和方法． 3．错位相减法求和 (1)适用的数列：{anbn}，其中数列{an}是公差为 d 的等差数列，{bn}是公比为 q≠1 的等比 数列． (2)方法：设 Sn＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn(*)， 则 qSn＝a1b2＋a2b3＋…＋an－1bn＋anbn＋1(**)， (*)－(**)得：(1－q)Sn＝a1b1＋d(b2＋b3＋…＋bn)－anbn＋1，就转化为根据公式可求的和． 4．倒序相加法求和 如果一个数列{an}与首末两端等“距离”的两项的和等于首末两项之和，可把正着写与倒 着写的两个式子相加，就得到一个常数列的和，那么求这个数列的前 n 项和即可用倒序相加 法，例如等差数列的前 n 项和公式即是用此法推导的． 5．分组求和法求和 若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时 可用分组转化求和法，分别求和而后相加减．例如已知 an＝2n＋(2n－1)，求 Sn. 6．并项求和法求和 高考 把数列中的若干项结合到一起，形成一个新的可求和的数列，此时，数列中的项可能正、 负相间出现或呈现周期性．形如 an＝(－1)nf(n)类型，可采用两个项合并求解．例如：Sn＝1002 －992＋982－972＋…＋22－12＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12)＝(100＋99)＋(98 ＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050. 二、必明 2 个易误点 1．使用裂项相消法求和时，要注意正负项相消时，消去了哪些项，保留了哪些项，切不 可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点． 2．在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于 1 和不等于 1 两 种情况求解． 【小题热身】 一、判断正误 1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)． (1)如果数列{an}为等比数列，且公比不等于 1，则其前 n 项和 Sn＝ a1－an＋1 1－q .( ) (2)当 n≥2 时， 1 n2－1 ＝ 1 2 1 n－1 － 1 n＋1 .( ) (3)求 Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan 之和时，只要把上式等号两边同时乘以 a 即可根据错位 相减法求得．( ) (4)推导等差数列求和公式的方法叫做倒序相加求和法，利用此法可求得 sin21°＋sin22° ＋sin23°＋…＋sin288°＋sin289°＝44.5.( ) 二、教材改编 2．[必修 5·P47T4 改编]数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 an＝ 1 nn＋1 ，则 S5 等于( ) A．1 B. 5 6 C. 1 6 D. 1 30 3．[必修 5·P61T4(1)改编]若数列{an}的通项公式为 an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前 n 项和 高考 为________. 三、易错易混 4．[2021·某某某某三校联考]数列{an}的通项公式是 an＝(－1)n(2n－1)，则该数列的前 100 项之和为( ) A．－200 B．－100 C．200 D．100 5．函数 f(x)＝ x 2x－1 ，求 f 1 2 021 ＋f 2 2 021 ＋f 3 2 021 ＋…＋f 2 020 2 021 的值为( ) A．2 020 B．2 021 C．1 010 D．1 011 四、走进高考 6．[2020·全国卷Ⅱ]0－1 周期序列在通信技术中有着重要应用．若序列 a1a2…an…满足 ai∈{0,1}(i＝1,2，…)，且存在正整数 m，使得 ai＋m＝ai(i＝1,2，…)成立，则称其为 0－1 周期 序列，并称满足 ai＋m＝ai(i＝1,2，…)的最小正整数 m 为这个序列的周期．对于周期为 m 的 0 －1 序列 a1a2…an…，C(k)＝ 1 1 m i i i a am   ＋k(k＝1,2，…，m－1)是描述其性质的重要指标．下列 周期为 5 的 0－1 序列中，满足 C(k)≤ 1 5 (k＝1,2,3,4)的序列是( ) A．11010… B．11011… C．10001… D．11001… 考点一 分组法求和[互动讲练型] [例 1] [2021·某某市高三毕业班适应性练习卷]已知数列{an}满足 a1＝2，nan＋1－(n＋ 高考 1)an＝2n(n＋1)，设 bn＝ an n . (1)求数列{bn}的通项公式； (2)若＝2bn－n，求数列{}的前 n 项和． 悟·技法 分组转化法求和的常见类型 (1)若 an＝bn±，且{bn}，{}为等差或等比数列，可采用分组求和法求{an}的前 n 项和． (2)通项公式为 an＝{bn，n 为奇数， ，n 为偶数 的数列，其中数列{bn}，{}是等比数列或等 差数列，可采用分组求和法求和． [提醒] 某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数 列的和，注意在含有字母的数列中对字母的讨论. [变式练]——(着眼于举一反三) 1．[2021·某某市高三年级统一考试]已知{an}是等差数列，满足 a1＝3，a4＝12，数列{bn} 满足 b1＝4，b4＝20，且{bn－an}为等比数列． (1)求数列{an}和{bn}的通项公式； (2)求数列{bn}的前 n 项和 Sn. 考点二 错位相减法求和[互动讲练型] [例 2] [2020·全国卷Ⅰ]设{an}是公比不为 1 的等比数列，a1 为 a2，a3 的等差中项． 高考 (1)求{an}的公比； (2)若 a1＝1，求数列{nan}的前 n 项和． 悟·技法 1.掌握解题“3 步骤” 2．注意解题“3 关键” (1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形． (2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn －qSn”的表达式． (3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比 q＝1 和 q≠1 两种情况求 解． 3．谨防解题“2 失误” (1)两式相减时最后一项因为没有对应项而忘记变号． (2)对相减后的和式的结构认识模糊，错把中间的 n－1 项和当作 n 项和. [变式练]——(着眼于举一反三) 2．[2021·某某市高三年级阶段性训练题]已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 a3＋a6 ＝9，S6＝21. 高考 (1)求数列{an}的通项公式； (2)设 an bn ＝ 1 2 n，求数列{bn}的前 n 项和． 高考 考点三 裂项相消法[互动讲练型] [例 3] [2021·某某市高三调研考试试题]记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，若 a4＋a5＝ 20，S6＝48. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设 bn＝ 1 anan＋1 ，Tn 为数列{bn}的前 n 项和，证明 Tn＜ 1 6 . 悟·技法 常见的裂项方法(其中 n 为正整数) 数列 裂项方法 1 nn＋k (k 为非零常数) 1 nn＋k ＝ 1 k 1 n － 1 n＋k 1 4n2－1 1 4n2－1 ＝ 1 2 1 2n－1 － 1 2n＋1 1 nn＋1n＋2 1 2 1 nn＋1 － 1 n＋1n＋2 1 n＋ n＋k 1 n＋ n＋k ＝ 1 k ( n＋k－ n) loga 1＋ 1 n a>0，a≠1 loga 1＋ 1 n ＝loga(n＋1)－logan 高考 [变式练]——(着眼于举一反三) 3．[2021·，华师附中等八校联考]在公差是整数的等差数列{an}中，a1＝－9，且 前 n 项和 Sn≥S5. (1)求数列{an}的通项公式 an； (2)令 bn＝ 1 2n－9an ，求数列{bn}的前 n 项和 Tn. 高考 第四节 数列求和 【小题热身】 1．答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)√ 2．解析：∵an＝ 1 nn＋1 ＝ 1 n － 1 n＋1 ，∴S5＝a1＋a2＋…＋a5＝1－ 1 2 ＋ 1 2 － 1 3 ＋…＋ 1 5 － 1 6 ＝ 5 6 . 答案：B 3．解析：Sn＝ 21－2n 1－2 ＋ n1＋2n－1 2 ＝2n＋1－2＋n2. 答案：2n＋1－2＋n2 4．解析：根据题意有 S100＝－1＋3－5＋7－9＋11－…－197＋199＝2×50＝100，故 选 D. 答案：D 5．解析：∵f(x)＝ x 2x－1 ， ∴f(1－x)＝ 1－x 21－x－1 ＝ 1－x 1－2x ＝ x－1 2x－1 . ∴f(x)＋f(1－x)＝1， ∴倒序相加得 f 1 2 021 ＋f 2 2 021 ＋f 3 2 021 ＋…＋f 2 020 2 021 ＝1 010. 答案：C 6．解析：C(1)＝ 1 5 (a1a2＋a2a3＋a3a4＋a4a5＋a5a6)＝ 1 5 (a1a2＋a2a3＋a3a4＋a4a5＋a5a1)， 高考 C(2)＝ 1 5 (a1a3＋a2a4＋a3a5＋a4a6＋a5a7)＝ 1 5 (a1a3＋a2a4＋a3a5＋a4a1＋a5a2)， C(3)＝ 1 5 (a1a4＋a2a5＋a3a6＋a4a7＋a5a8)＝ 1 5 (a1a4＋a2a5＋a3a1＋a4a2＋a5a3)， C(4)＝ 1 5 (a1a5＋a2a6＋a3a7＋a4a8＋a5a9)＝ 1 5 (a1a5＋a2a1＋a3a2＋a4a3＋a5a4)． 对于 A，C(1)＝ 1 5 ，C(2)＝ 2 5 ，故 A 不正确；对于 B，C(1)＝ 3 5 ，故 B 不正确；对于 D，C(1) ＝ 2 5 ，故 D 不正确；对于 C，C(1)＝ 1 5 ，C(2)＝0，C(3)＝0，C(4)＝ 1 5 ，∴C 正确． 答案：C 课堂考点突破 考点一 例 1 解析：解法一 因为 bn＝ an n 且 nan＋1－(n＋1)an＝2n(n＋1)， 所以 bn＋1－bn＝ an＋1 n＋1 － an n ＝2， 又 b1＝a1＝2， 所以{bn}是以 2 为首项，以 2 为公差的等差数列． 所以 bn＝2＋2(n－1)＝2n. 解法二 因为 bn＝ an n ，所以 an＝nbn， 又 nan＋1－(n＋1)an＝2n(n＋1)， 所以 n(n＋1)bn＋1－(n＋1)nbn＝2n(n＋1)， 即 bn＋1－bn＝2， 高考 又 b1＝a1＝2， 所以{bn}是以 2 为首项，以 2 为公差的等差数列． 所以 bn＝2＋2(n－1)＝2n. (2)由(1)及题设得，＝22n－n＝4n－n， 所以数列{}的前 n 项和 Sn＝(41－1)＋(42－2)＋…＋(4n－n) ＝(41＋42＋…＋4n)－(1＋2＋…＋n) ＝ 41－4n 1－4 － nn＋1 2 ＝ 4n＋1 3 － 4 3 － n2＋n 2 . 变式练 1．解析：(1)设等差数列{an}的公差为 d，由题意得 d＝ a4－a1 3 ＝ 12－3 3 ＝3， 所以 an＝a1＋(n－1)d＝3n， 设等比数列{bn－an}的公比为 q，由题意得 q3＝ b4－a4 b1－a1 ＝ 20－12 4－3 ＝8，解得 q＝2， 所以 bn－an＝(b1－a1)qn－1＝2n－1， 从而 bn＝3n＋2n－1. (2)由(1)知 bn＝3n＋2n－1， Sn＝b1＋b2＋…＋bn ＝(3×1＋20)＋(3×2＋21)＋…＋(3n＋2n－1) ＝(3×1＋3×2＋…＋3n)＋(20＋21＋…＋2n－1) ＝3× nn＋1 2 ＋ 1－2n 1－2 高考 ＝ 3 2 n(n＋1)＋2n－1. 考点二 例 2 解析：(1)设{an}的公比为 q，由题设得 2a1＝a2＋a3，即 2a1＝a1q＋a1q2， 所以 q2＋q－2＝0，解得 q＝1(舍去)或 q＝－2. 故{an}的公比为－2. (2)记 Sn 为{nan}的前 n 项和，由(1)及题设可得，an＝(－2)n－1， 所以 Sn＝1＋2×(－2)＋…＋n×(－2)n－1， －2Sn＝－2＋2×(－2)2＋…＋(n－1)×(－2)n－1＋n×(－2)n， 可得 3Sn＝1＋(－2)＋(－2)2＋…＋(－2)n－1－n×(－2)n ＝ 1－－2n 3 －n×(－2)n. 所以 Sn＝ 1 9 － 3n＋1－2n 9 . 变式练 2．解析：(1)设数列{an}的首项为 a1，公差为 d，由 S6＝21，得 6a1＋a6 2 ＝21，所以 a1 ＋a6＝7， 又 a3＋a6＝9，所以 d＝1. 于是 a1＝1，故 an＝n. (2)设{bn}的前 n 项和为 Tn，因为 an bn ＝ 1 2 n，所以 bn＝n×2n， 所以 Tn＝1×21＋2×22＋…＋n×2n， 则 2Tn＝1×22＋2×23＋…＋n×2n＋1， 高考 于是－Tn＝1×21＋1×22＋…＋1×2n－n×2n＋1＝(1－n)×2n＋1－2， 即 Tn＝(n－1)×2n＋1＋2，故 Tn＝(n－1)×2n＋1＋2. 考点三 例 3 解析：(1)设等差数列{an}的公差为 d，依题意得 a4＋a5＝2a1＋7d＝20 S6＝6a1＋ 6×5 2 d＝48， 解得 a1＝3， d＝2. 由 an＝a1＋(n－1)d， 得 an＝2n＋1，n∈N*. (2)bn＝ 1 anan＋1 ＝ 1 2n＋12n＋3 ＝ 1 2 1 2n＋1 － 1 2n＋3 ， ∴Tn＝ 1 2 1 3 － 1 5 ＋ 1 5 － 1 7 ＋…＋ 1 2n＋1 － 1 2n＋3 ＝ 1 2 1 3 － 1 2n＋3 . ∵n∈N*， ∴Tn＜ 1 6 . 变式练 3．解析：(1)设等差数列{an}的公差为 d，则 d∈Z，由题意知，Sn 的最小值为 S5，则 a5≤0， a6≥0. ∵a1＝－9，∴ 4d－9≤0 5d－9≥0， ，解得 9 5 ≤d≤ 9 4 ，∵d∈Z，∴d＝2， ∴an＝a1＋(n－1)d＝－9＋2(n－1)＝2n－11. 高考 (2)∵bn＝ 1 2n－92n－11 ＝ 1 2 1 2n－11 － 1 2n－9 ， ∴Tn ＝ 1 2 [－ 1 9 － － 1 7 ＋ － 1 7 － － 1 5 ＋…＋ 1 2n－11 － 1 2n－9 ]＝ 1 2 － 1 9 － 1 2n－9 ＝－ 1 2 1 9 ＋ 1 2n－9 ＝ n 99－2n .