统考版2022届高考数学一轮复习选修4_4.1坐标系课时作业理含解析

高考 - 1 - / 12 课时作业 71 坐标系 [基础达标] 1．[2021·某某模拟]以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系．已 知曲线 C1 的极坐标方程为ρsin θ－ π 4 ＝ 2，曲线 C2 的极坐标方程为ρ＝2cos θ－ π 4 . (1)写出 C1，C2 的直角坐标方程． (2)设 M，N 分别是曲线 C1，C2 上的两个动点，求|MN|的最小值． 高考 - 2 - / 12 2．在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线 C 的极 坐标方程为ρcos θ－ π 3 ＝1(0≤θ＜2π)，M、N 分别为 C 与 x 轴、y 轴的交点． (1)写出 C 的直角坐标方程，并求 M、N 的极坐标； (2)设 MN 的中点为 P，求直线 OP 的极坐标方程． 高考 - 3 - / 12 3．[2018·全国卷Ⅰ]在直角坐标系 xOy 中，曲线 1C 的方程为 y＝k|x|＋2.以坐标原点为极 点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2C 的极坐标方程为ρ2＋2ρcosθ－3＝0. (1)求 2C 的直角坐标方程； (2)若 1C 与 2C 有且仅有三个公共点，求 C1 的方程． 高考 - 4 - / 12 4．[2020·全国卷Ⅲ]在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 x＝2－t－t2， y＝2－3t＋t2 (t 为 参数且 t≠1)，C 与坐标轴交于 A，B 两点． (1)求|AB|； (2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线 AB 的极坐标方程． 高考 - 5 - / 12 5.[2021·某某省考试试题]在直角坐标系 xOy 中，直线 l1：x＝0，圆 C：(x－1)2＋(y－1 － 2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求直线 l1 和圆 C 的极坐标方程； (2)若直线 l2 的极坐标方程为θ＝ π 4 (ρ∈R)，设 l1，l2 与圆 C 的公共点分别为 A，B，求△OAB 的面积． 高考 - 6 - / 12 6．[2021·某某市高三调研考试试题]已知在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的参数方程为 x＝cosα y＝1＋sinα (α为参数)．以原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，取相同的单位长度建 立极坐标系． (1)求圆 C 的普通方程及其极坐标方程； (2)设直线 l 的极坐标方程为ρsin θ＋ π 3 ＝2，射线 OM：θ＝ π 6 与圆 C 的交点为 P(异于极 点)，与直线 l 的交点为 Q，求线段 PQ 的长． [能力挑战] 7．[2021·某某市四校高三年级模拟考试]已知曲线 C 的参数方程为 x＝2t y＝t2 (t 为参数)， 以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，过极点的两射线 l1，l2 相互垂直， 与曲线 C 分别相交于 A，B 两点(不同于点 O)，且 l1 的倾斜角为锐角α. (1)求曲线 C 和射线 l2 的极坐标方程； 高考 - 7 - / 12 (2)求△OAB 的面积的最小值，并求此时α的值． 课时作业 71 1．解析：(1)依题意ρsin θ－ π 4 ＝ 2 2 ρsinθ－ 2 2 ρcosθ＝ 2， 所以曲线 C1 的普通方程为 x－y＋2＝0， 因为曲线 C2 的极坐标方程为： ρ2＝2ρcos θ－ π 4 ＝ 2ρcosθ＋ 2ρsinθ， 所以 x2＋y2－ 2x－ 2y＝0， 高考 - 8 - / 12 即 x－ 2 2 2＋ y－ 2 2 2＝1. (2)由(1)知圆 C2 的圆心 2 2 ， 2 2 ，所以圆心到直线 x－y＋2＝0 的距离： d＝ | 2 2 － 2 2 ＋2| 2 ＝ 2， 又半径 r＝1，所以|MN|min＝d－r＝ 2－1. 2．解析：(1)由ρcos θ－ π 3 ＝1 得 ρ 1 2 cosθ＋ 3 2 sinθ ＝1. 从而 C 的直角坐标方程为 1 2 x＋ 3 2 y＝1， 即 x＋ 3y＝2. 当θ＝0 时，ρ＝2，所以 M(2,0)． 当θ＝ π 2 时，ρ＝ 2 3 3 ， 所以 N 2 3 3 ， π 2 . (2)M 点的直角坐标为(2,0)，N 点的直角坐标为 0， 2 3 3 . 所以 P 点的直角坐标为 1， 3 3 ， 则 P 点的极坐标为 2 3 3 ， π 6 ， 高考 - 9 - / 12 所以直线 OP 的极坐标方程为θ＝ π 6 (ρ∈R)． 3．解析：(1)由 x＝ρcosθ，y＝ρsinθ得 2C 的直角坐标方程为(x＋1)2＋y2＝4. (2)由(1)知 2C 是圆心为 A(－1,0)，半径为 2 的圆． 由题设知， 1C 是过点 B(0,2)且关于 y 轴对称的两条射线．记 y 轴右边的射线为 1l ，y 轴 左边的射线为 2l . 由于点 B 在圆 2C 的外面，故 1C 与 2C 有且仅有三个公共点等价于 1l 与 2C 只有一个公共点 且 2l 与 2C 有两个公共点，或 2l 与 2C 只有一个公共点且 1l 与 2C 有两个公共点． 当 1l 与 2C 只有一个公共点时，点 A 到 1l 所在直线的距离为 2，所以 |－k＋2| k2＋1 ＝2，故 k＝ － 4 3 或 k＝0. 经检验，当 k＝0 时， 1l 与 2C 没有公共点； 当 k＝－ 4 3 时， 1l 与 2C 只有一个公共点， 2l 与 2C 有两个公共点． 当 2l 与 2C 只有一个公共点时，点 A 到 2l 所在直线的距离为 2，所以 |k＋2| k2＋1 ＝2，故 k＝0 或 k＝ 4 3 . 经检验，当 k＝0 时， 1l 与 2C 没有公共点； 当 k＝ 4 3 时， 2l 与 2C 没有公共点． 综上，所求 1C 的方程为 y＝－ 4 3 |x|＋2. 4．解析：(1)因为 t≠1，由 2－t－t2＝0 得 t＝－2，所以 C 与 y 轴的交点为(0,12)；由 2 －3t＋t2＝0 得 t＝2，所以 C 与 x 轴的交点为(－4,0)．故|AB|＝4 10. 高考 - 10 - / 12 (2)由(1)可知，直线 AB 的直角坐标方程为 x －4 ＋ y 12 ＝1，将 x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入， 得直线 AB 的极坐标方程为 3ρcosθ－ρsinθ＋12＝0. 5．解析：(1)∵x＝ρcosθ，y＝ρsinθ， ∴直线 l1 的极坐标方程为ρcosθ＝0，即θ＝ π 2 (ρ∈R)， 圆 C 的极坐标方程为ρ2－2ρcosθ－2(1＋ 2)ρsinθ＋3＋2 2＝0. (2)设 A π 2 ，ρ1 ，B π 4 ，ρ2 ，将θ＝ π 2 代入ρ2－2ρcosθ－2(1＋ 2)ρsinθ＋3＋2 2＝0， 得ρ2－2(1＋ 2)ρ＋3＋2 2＝0，解得ρ1＝1＋ 2. 将θ＝ π 4 代入ρ2－2ρcosθ－2(1＋ 2)ρsinθ＋3＋2 2＝0， 得ρ2－2(1＋ 2)ρ＋3＋2 2＝0，解得ρ2＝1＋ 2. 故△OAB 的面积为 1 2 ×(1＋ 2)2×sin π 4 ＝1＋ 3 2 4 . 6．解析：(1)由 x＝cosα y＝1＋sinα ，得 x＝cosα① y－1＝sinα② ， ①2＋②2，得 x2＋(y－1)2＝1， ∴圆 C 的普通方程为 x2＋(y－1)2＝1. 又 x＝ρcosθ，y＝ρsinθ， ∴(ρcosθ)2＋(ρsinθ－1)2＝1， 化简得圆 C 的极坐标方程为ρ＝2sinθ. (2)解法一 把θ＝ π 6 代入圆的极坐标方程可得：ρP＝2sin π 6 ＝1， 高考 - 11 - / 12 把θ＝ π 6 代入直线 l 的极坐标方程可得：ρsin π 6 ＋ π 3 ＝2， ∴ρQ＝2， ∴|PQ|＝|ρP－ρQ|＝1. 解法二 把θ＝ π 6 代入圆的极坐标方程可得：ρP＝2sin π 6 ＝1. 将直线 l 的极坐标方程化为直角坐标方程，得 y＝－ 3x＋4， 射线 OM：θ＝ π 6 的直角坐标方程为 y＝ 3 3 x(x≥0)， 记直线 l 与 x 轴的交点为 A，则△OAQ 为直角三角形，其中∠QOA＝30°， 根据勾股定理可得|OQ|＝2， ∴|PQ|＝|OQ|－|OP|＝1. 7．解析：(1)由曲线 C 的参数方程，得其普通方程为 4y＝x2，由 x＝ρcosθ，y＝ρsinθ， 得 4ρsinθ＝ρ2cos2θ，∴曲线 C 的极坐标方程为ρcos2θ＝4sinθ，即ρ＝ 4sinθ cos2θ . 射线 l2 的极坐标方程为θ＝α＋ π 2 (ρ≥0)． (2)依题意设 A(ρA，α)，B ρB， π 2 ＋α ，则由(1)可得ρA＝ 4sinα cos2α ，ρB＝ 4sin α＋ π 2 cos2 α＋ π 2 ，即ρB ＝ 4cosα sin2α ， ∴S△OAB＝ 1 2 |OA|·|OB|＝ 1 2 |ρA·ρB|＝ 8|sinα·cosα| cos2α·sin2α ， ∵0