统考版2022届高考数学一轮复习选修4_4.2参数方程课时作业理含解析

高考 - 1 - / 13 课时作业 72 参数方程 [基础达标] 1．[2021·某某省示 X 高中名校高三联考]在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程 为 x＝2cosφ y＝sinφ (φ为参数)，以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 是圆心的极坐标为 7， π 2 且经过极点的圆． (1)求曲线 C1 的极坐标方程和 C2 的直角坐标方程； (2)已知射线θ＝ π 3 (ρ≥0)分别与曲线 C1，C2 交于点 A，B(点 B 异于坐标原点 O)，求线段 AB 的长． 高考 - 2 - / 13 2．[2021·，华师附中等八校第一次联考]在直角坐标系 xOy 中，倾斜角为α的直 线 l 的参数方程为 x＝2＋tcosα y＝ 3＋tsinα (t 为参数)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的 极坐标系中，曲线 C 的极坐标方程为ρ2＝2ρcosθ＋8. (1)求直线 l 的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程； (2)若直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，且|AB|＝4 2，求直线 l 的倾斜角． 高考 - 3 - / 13 3．[2021·某某省七校联合体高三第一次联考试题]在平面直角坐标系 xOy 中，已知曲线 C1：x＋y＝1 与曲线 C2： x＝2＋2cosφ y＝2sinφ (φ为参数)．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极 轴建立极坐标系． (1)写出曲线 C1，C2 的极坐标方程； (2)在极坐标系中，已知 l：θ＝α(ρ>0)与 C1，C2 的公共点分别为 A，B，α∈ 0， π 2 ，当 |OB| |OA| ＝4 时，求α的值． 高考 - 4 - / 13 4．[2021·某某市高三年级摸底考试]在极坐标系中，圆 C：ρ＝4cosθ.以极点 O 为原点， 极轴为 x 轴的正半轴建立直角坐标系 xOy，直线 l 经过点 M(－1，－3 3)且倾斜角为α. (1)求圆 C 的直角坐标方程和直线 l 的参数方程； (2)已知直线 l 与圆 C 交于 A，B 两点，满足 A 为 MB 的中点，求α. 高考 - 5 - / 13 5.[2020·全国卷Ⅱ]已知曲线 C1，C2 的参数方程分别为 C1： x＝4cos2θ， y＝4sin2θ (θ为参数)， C2： x＝t＋ 1 t ， y＝t－ 1 t (t 为参数)． (1)将 C1，C2 的参数方程化为普通方程； (2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．设 C1，C2 的交点为 P，求圆心 在极轴上，且经过极点和 P 的圆的极坐标方程． 高考 - 6 - / 13 6．[2021·某某市高三年级摸底测试卷]在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 x＝2cosα y＝2sinα (α∈[0,2π)，α为参数)，在同一平面直角坐标系中，曲线 C 经过伸缩变换 x′＝2x y′＝y 得到曲线 C1，以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系(ρ为极径， θ为极角)． (1)求曲线 C 的普通方程和曲线 C1 的极坐标方程； (2)若射线 OA：θ＝β(ρ>0)与曲线 C1 交于点 A，射线 OB：θ＝β＋ π 2 (ρ>0)与曲线 C1 交于 高考 - 7 - / 13 点 B，求 1 |OA|2 ＋ 1 |OB|2 的值． [能力挑战] 7．[2021·某某省豫北名校高三质量考评]在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 x＝x0＋tcosφ y＝y0＋tsinφ (t 为参数，φ∈[0，π))．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极 坐标系，圆 C 的极坐标方程为ρ＝8cos π 3 －θ . (1)求圆 C 的直角坐标标准方程； (2)设点 P(x0，y0)，圆心 C(2x0,2y0)，若直线 l 与圆 C 交于 M，N 两点，求 |PM| |PN| ＋ |PN| |PM| 的 最大值． 高考 - 8 - / 13 课时作业 72 1．解析：(1)由曲线 C1 的参数方程为 x＝2cosφ y＝sinφ (φ为参数)，消去参数φ得 x2 4 ＋y2＝1， 将 x＝ρcosθ y＝ρsinθ 代入 x2 4 ＋y2 ＝ 1 得曲 线 C1 的极 坐标 方程为 ρ 2 ＝ 4 cos2θ＋4sin2θ ＝ 4 1＋3sin2θ . 由曲线 C2 是圆心的极坐标为 7， π 2 且经过极点的圆， 可得其极坐标方程为ρ＝2 7sinθ， 高考 - 9 - / 13 从而得 C2 的直角坐标方程为 x2＋y2－2 7y＝0. (2)将θ＝ π 3 (ρ≥0)代入ρ＝2 7sinθ得ρB＝2 7sin π 3 ＝ 21， 将θ＝ π 3 (ρ≥0)代入ρ2＝ 4 cos2θ＋4sin2θ 得ρA＝ 4 cos2π 3 ＋4sin2π 3 ＝ 4 13 13 ， 故|AB|＝ρB－ρA＝ 13 21－4 13 13 . 2．解析：(1)因为直线 l 的参数方程为 x＝2＋tcosα y＝ 3＋tsinα (t 为参数)， 所以当α＝ π 2 时，直线 l 的普通方程为 x＝2， 当α≠ π 2 时，直线 l 的普通方程为 y－ 3＝tanα(x－2)，即 y＝xtanα＋ 3－2tanα. 因为ρ2＝x2＋y2，ρcosθ＝x，ρ2＝2ρcosθ＋8，所以 x2＋y2＝2x＋8. 所以曲线 C 的直角坐标方程为 x2＋y2－2x－8＝0. (2)解法一 曲线 C 的直角坐标方程为 x2＋y2－2x－8＝0， 将直线 l 的参数方程代入曲线 C 的直角坐标方程整理，得 t2＋(2 3sinα＋2cosα)t－5＝ 0. 因为Δ＝(2 3sinα＋2cosα)2＋20>0，所以可设该方程的两个根分别为 t1，t2，则 t1＋t2 ＝－(2 3sinα＋2cosα)， 所以|AB|＝|t1－t2|＝ t1＋t22－4t1t2＝ [－2 3sinα＋2cosα]2＋20＝4 2. 整理得( 3sinα＋2cosα)2＝3， 故 2sin α＋ π 6 ＝± 3. 高考 - 10 - / 13 因为 0≤α