统考版2022届高考数学一轮复习第七章7.7数学归纳法课时作业理含解析

高考 - 1 - / 7 课时作业 39 数学归纳法 [基础达标] 一、选择题 1．用数学归纳法证明 2n>2n＋1，n 的第一个取值应是( ) A．1B．2 C．3D．4 2．用数学归纳法证明“当 n 为正奇数时，xn＋yn 能被 x＋y 整除”的第二步是( ) A．假使 n＝2k＋1 时正确，再推 n＝2k＋3 时正确(其中 k∈N*) B．假使 n＝2k－1 时正确，再推 n＝2k＋1 时正确(其中 k∈N*) C．假使 n＝k 时正确，再推 n＝k＋1 时正确(其中 k∈N*) D．假使 n＝k 时正确，再推 n＝k＋2 时正确(其中 k∈N*) 3．利用数学归纳法证明“(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)，n∈N*”时， 从“n＝k”变成“n＝k＋1”时，左边应增乘的因式是( ) A．2k＋1B．2(2k＋1) C. 2k＋1 k＋1 D. 2k＋3 k＋1 4．用数学归纳法证明：首项是 a1，公差是 d 的等差数列的前 n 项和公式是 Sn＝na1＋ nn－1 2 d 时，假设当 n＝k 时，公式成立，则 Sk＝( ) A．a1＋(k－1)dB. ka1＋ak 2 C．ka1＋ kk－1 2 dD．(k＋1)a1＋ kk＋1 2 d 高考 - 2 - / 7 5．凸 n 边形有 f(n)条对角线，则凸(n＋1)边形的对角线的角数 f(n＋1)为( ) A．f(n)＋n＋1B．f(n)＋n C．f(n)＋n－1D．f(n)＋n－2 二、填空题 6．用数学归纳法证明 1 n＋1 ＋ 1 n＋2 ＋…＋ 1 3n > 5 6 (n>1 且 n∈N*)时，第一步要证明的不等 式是________． 7．用数学归纳法证明 1 22 ＋ 1 32 ＋…＋ 1 n＋12 > 1 2 － 1 n＋2 .假设 n＝k 时，不等式成立，则当 n ＝k＋1 时，应推证的目标不等式是 ________________________________________________________________________． 8．对任意 n∈N*,34n＋2＋a2n＋1 都能被 14 整除，则最小的自然数 a＝________. 三、解答题 9．证明：1－ 1 2 ＋ 1 3 － 1 4 ＋…＋ 1 2n－1 － 1 2n ＝ 1 n＋1 ＋ 1 n＋2 ＋…＋ 1 2n (n∈N*)． 10．已知数列{an}中，a1＝5，Sn－1＝an(n≥2 且 n∈N*)． 高考 - 3 - / 7 (1)求 a2，a3，a4 并由此猜想 an 的表达式． (2)用数学归纳法证明{an}的通项公式． [能力挑战] 11．[2019·某某卷]设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，a3＝4，a4＝S3.数列{bn}满足：对每 个 n∈N*，Sn＋bn，Sn＋1＋bn，Sn＋2＋bn 成等比数列． (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (2)记＝ an 2bn ，n∈N*，证明：c1＋c2＋…＋2n＋1 不成立； n＝2 时，22＝4,2×2＋1＝5,2n>2n＋1 不成立； n＝3 时，23＝8,2×3＋1＝7,2n>2n＋1 成立． ∴n 的第一个取值应是 3. 答案：C 2．解析：因为 n 为正奇数，根据数学归纳法证题的步骤，第二步应先假设第 k 个正奇数 也成立，即假设 n＝2k－1 时正确，再推第 k＋1 个正奇数，即 n＝2k＋1 时正确． 答案：B 3．解析：当 n＝k(k∈N*)时， 左式为(k＋1)(k＋2)·…·(k＋k)； 当 n＝k＋1 时，左式为(k＋1＋1)·(k＋1＋2)·…·(k＋1＋k－1)·(k＋1＋k)·(k＋1＋k＋1)， 高考 - 5 - / 7 则左式应增乘的式子是 2k＋12k＋2 k＋1 ＝2(2k＋1)． 答案：B 4．解析：假设当 n＝k 时，公式成立，只需把公式中的 n 换成 k 即可，即 Sk＝ka1＋ kk－1 2 d. 答案：C 5．解析：边数增加 1，顶点也相应增加 1 个，它与和它不相邻的 n－2 个顶点连接成对 角线，原来的一条边也成为对角线，因此，对角线增加 n－1 条． 答案：C 6．解析：∵n>1，∴第一步应证明当 n＝2 时不等式成立，即 1 3 ＋ 1 4 ＋ 1 5 ＋ 1 6 > 5 6 . 答案： 1 3 ＋ 1 4 ＋ 1 5 ＋ 1 6 > 5 6 7．解析：观察不等式左边的分母可知，由 n＝k 到 n＝k＋1 左边多出了 1 k＋22 这一项． 答案： 1 22 ＋ 1 32 ＋…＋ 1 k＋12 ＋ 1 k＋22 > 1 2 － 1 k＋3 8．解析：当 n＝1 时，36＋a3 能被 14 整除的数为 a＝3 或 5；当 a＝3 且 n＝2 时，310 ＋35 不能被 14 整除，故 a＝5. 答案：5 9．证明：①当 n＝1 时，左边＝1－ 1 2 ＝ 1 2 ，右边＝ 1 2 ，等式成立． ②假设当 n＝k(k∈N*，且 k≥1)时等式成立． 即 1－ 1 2 ＋…＋ 1 2k－1 － 1 2k ＝ 1 k＋1 ＋ 1 k＋2 ＋…＋ 1 2k ，则当 n＝k＋1 时， 高考 - 6 - / 7 左边＝1－ 1 2 ＋…＋ 1 2k－1 － 1 2k ＋ 1 2k＋1 － 1 2k＋2 ＝ 1 k＋1 ＋ 1 k＋2 ＋…＋ 1 2k ＋ 1 2k＋1 － 1 2k＋2 ＝ 1 k＋2 ＋…＋ 1 2k ＋ 1 2k＋1 ＋ 1 k＋1 － 1 2k＋2 ＝ 1 k＋1＋1 ＋ 1 k＋1＋2 ＋…＋ 1 k＋1＋k ＋ 1 k＋1＋k＋1 ， ∴当 n＝k＋1 时等式也成立， 由①②知，对一切 n∈N*等式都成立． 10．解析：(1)a2＝S1＝a1＝5，a3＝S2＝a1＋a2＝10，a4＝S3＝a1＋a2＋a3＝20. 猜想：an＝5×2n－2(n≥2，n∈N*) (2)①当 n＝2 时，a2＝5×22－2＝5 成立. ②假设当 n＝k 时猜想成立，即 ak＝5×2k－2(k≥2 且 k∈N*) 则 n＝k＋1 时， ak＋1＝Sk＝a1＋a2＋…＋ak＝5＋5＋10＋…＋5×2k－2＝5＋ 51－2k－1 1－2 ＝5×2k－1. 故当 n＝k＋1 时，猜想也成立． 由①②可知，对 n≥2 且 n∈N*， 都有 an＝5×2n－2， 于是数列{an}的通项公式为 an＝ 5，n＝1， 5×2n－2，n≥2 且 n∈N*. 11．解析：(1)设数列{an}的公差为 d，由题意得 高考 - 7 - / 7 a1＋2d＝4，a1＋3d＝3a1＋3d， 解得 a1＝0，d＝2. 从而 an＝2n－2，n∈N*. 所以 Sn＝n2－n，n∈N*. 由 Sn＋bn，Sn＋1＋bn，Sn＋2＋bn 成等比数列得 (Sn＋1＋bn)2＝(Sn＋bn)(Sn＋2＋bn)． 解得 bn＝ 1 d (S2 n＋1－SnSn＋2)． 所以 bn＝n2＋n，n∈N*. (2)证明：＝ an 2bn ＝ 2n－2 2nn＋1 ＝ n－1 nn＋1 ，n∈N*. 我们用数学归纳法证明． ①当 n＝1 时，c1＝0