高考
第四节 随机事件的概率
【知识重温】
一、必记 4 个知识点
1．随机事件和确定事件
(1)在条件 S 下，①____________的事件，叫做相对于条件 S 的必然事件，简称必然事件．
(2)在条件 S 下，②____________的事件，叫做相对于条件 S 的不可能事件，简称不可能事
件．
(3)必然事件和不可能事件统称为相对于条件 S 的确定事件，简称确定事件．
(4)在条件 S 下，③________________________的事件，叫做相对于条件 S 的随机事件，简
称随机事件．
2．频率与概率
(1)在相同的条件 S 下重复 n 次试验，观察某一事件 A 是否出现，称 n 次试验中事件 A 出
现的次数 nA 为事件 A 出现的频数，称事件 A 出现的比例④____________为事件 A 出现的频率．
(2)对于给定的随机事件 A，如果随着试验次数的增加，事件 A 发生的⑤________fn(A)稳
定在某个⑥________上，把这个⑦________记作 P(A)，称为事件 A 的概率，简称为 A 的概率．
3．事件的关系与运算
定义 符号表示
包含关系
如果事件 A 发生，则事件 B 一定发生，
这时称事件 B⑧____事件 A(或称事件 A
包含于事件 B)
⑨______(或 A⊆B)
并事件 若某事件发生当且仅当 A 发生或事件 B A∪B(或 A＋B)
高考
(和事件) 发生，称此事件为事件 A 与事件 B 的
○10______(或和事件)
交事件
(积事件)
若某事件发生当且仅当⑪____________且
⑫______发生，则称此事件为事件 A 与事
件 B 的交事件
A∩B(或 AB)
互斥事件
若 A∩B 为不可能事件，则事件 A 与事件
B 互斥
A∩B＝∅
对立事件
若 A∩B 为不可能事件，A∪B 为必然条件，那么称事件 A 与事件 B 互为对
立事件
4.概率的几个基本性质
(1)概率的取值 X 围：⑬____________.
(2)必然事件的概率 P(E)＝⑭____________.
(3)不可能事件的概率 P(F)＝⑮____________.
(4)互斥事件概率的加法公式．
①如果事件 A 与事件 B 互斥，则 P(A∪B)＝⑯____________.
②若事件 B 与事件 A 互为对立事件，则 P(A)＝⑰____________.
二、必明 3 个易误点
1．正确区别互斥事件与对立事件的关系：对立事件是互斥事件的特殊情况，但互斥事件
不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．
2．从集合的角度看，几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合彼此不
相交，事件 A 的对立事件 A－所含的结果组成的集合，是全集中由事件 A 所含的结果组成的集
合的补集．
3．需准确理解题意，特留心“至多……”，“至少……”，“不少于……”等语句的含义．
【小题热身】
一、判断正误
高考
1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)事件发生的频率与概率是相同的．( )
(2)随机事件和随机试验是一回事．( )
(3)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值．( )
(4)两个事件的和事件是指两个事件都得发生．( )
(5)对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件．( )
(6)两互斥事件的概率和为 1.( )
二、教材改编
2．某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“至少一次中靶”互为对立事件的是
( )
A．至多一次中靶 B．两次都中靶
C．只有一次中靶 D．两次都没有中靶
3．从不包含大小王牌的 52X 扑克牌中随机抽取一 X，设事件 A＝“抽到红心”，事件 B
＝“抽到方片”，P(A)＝P(B)＝
1
4
，则 P(“抽到红花色”)＝________，P(“抽到黑花色”)＝________.
三、易错易混
4．甲、乙两人做出拳(锤子、剪刀、布)游戏，则平局的概率为________；甲赢的概率为
________．
5．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件 A＝{抽到一等品}，事件 B＝{抽到二等品}，事
件 C＝{抽到三等品}，且已知 P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，则事件“抽到的产品不是
一等品”的概率为________．
四、走进高考
6．[2019·某某卷]从 3 名男同学和 2 名女同学中任选 2 名同学参加志愿者服务，则选出
的 2 名同学中至少有 1 名女同学的概率是________．
高考
考点一 随机事件关系的判断[自主练透型]
1．把语文、数学、英语三本学习书随机地分给甲、乙、丙三位同学，每人一本，则事件
A：“甲分得语文书”，事件 B：“乙分得数学书”，事件 C：“丙分得英语书”，则下列说法正确
的是( )
A．A 与 B 是不可能事件
B．A＋B＋C 是必然事件
C．A 与 B 不是互斥事件
D．B 与 C 既是互斥事件也是对立事件
2．在 5X 卡中，有 3X 移动卡和 2X 联通卡，从中任取 2X，若事件“2X 全是移动卡”的
概率是
3
10
，那么概率是
7
10
的事件是( )
A．至多有一 X 移动卡
B．恰有一 X 移动卡
C．都不是移动卡
D．至少有一 X 移动卡
3．甲：A1，A2 是互斥事件；乙：A1，A2 是对立事件，那么( )
A．甲是乙的充分不必要条件
B．甲是乙的必要不充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件
高考
悟·技法
互斥、对立事件的判别方法
(1)在一次试验中，不可能同时发生的两个事件为互斥事件．
(2)两个互斥事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件.
考点二 随机事件的频率与概率[互动讲练型]
[例 1] [2020·全国卷Ⅰ]甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：
累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者
与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的
两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．
经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为
1
2
.
(1)求甲连胜四场的概率；
(2)求需要进行第五场比赛的概率；
(3)求丙最终获胜的概率．
悟·技法
计算简单随机事件频率或概率的解题思路
(1)计算所求随机事件出现的频数及总事件的频数．
(2)由频率公式得所求，由频率估计概率.
高考
[变式练]——(着眼于举一反三)
1．某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量 Y(单位：万千瓦时)与该河上游在
六月份的降雨量 X(单位：毫米)有关．据统计，当 X＝70 时，Y＝460；X 每增加 10，Y 增加
5. 已 知 近 20 年 X 的 值 为
140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200,140,110,160,220,140,160.
(1)完成频率分布表．
近 20 年六月份降雨量频率分布表
降雨量 70 110 140 160 200 220
频率
1
20
4
20
2
20
(2)假定今年六月份的降雨量与近 20 年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率视为概
率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于 490 万千瓦时或超过 530 万千瓦时的概率．
高考
考点三 互斥事件与对立事件的概率
[互动讲练型]
[例 2] 某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超
市购物的 100 位顾客的相关数据，如下表所示．
一次购
物量
1 至
4 件
5 至
8 件
9 至
12 件
13 至
16 件
17 件
及以上
顾客数(人) x 30 25 y 10
结算时间
(分钟/人)
1 1.5 2 2.5 3
已知这 100 位顾客中一次购物量超过 8 件的顾客占 55%.
(1)确定 x，y 的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；
(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟的概率(将频率视为概率)．
听课笔记：
悟·技法
(1)求解本题的关键是正确判断各事件之间的关系，以及把所求事件用已知概率的事件表示出
来．
(2)求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一
些彼此互斥的事件的概率再求和；二是间接法，先求该事件的对立事件的概率，再由 P(A)＝1
高考
－P(A－)求解．当题目涉及“至多”、“至少”时，多考虑间接法.
[变式练]——(着眼于举一反三)
2．有一批货物需要用汽车从生产商所在城市甲运至销售商所在城市乙，已知从城市甲到
城市乙只有两条公路，据调查统计，通过这两条公路从城市甲到城市乙的 200 辆汽车所用时
间的频数分布情况如下表所示，
所用时间(天数) 10 11 12 13
通过公路 1 的频数 20 40 20 20
通过公路 2 的频数 10 40 40 10
假设汽车 A 只能在约定日期(某月某日)的前 11 天出发，汽车 B 只能在约定日期的前 12
天出发(将频率视为概率)，为了在各自允许的时间内将货物运至城市乙，汽车 A 和汽车 B 选
择的最佳路径分别为( )
A．公路 1 和公路 2 B．公路 2 和公路 1
C．公路 2 和公路 2 D．公路 1 和公路 1
第四节 随机事件的概率
【知识重温】
①一定会发生 ②一定不会发生 ③可能发生也可能不发生 ④fn(A)＝
nA
n
⑤频率 ⑥常
数 ⑦常数 ⑧包含 ⑨B⊇A⑩并事件
⑪事件 A 发生 ⑫事件 B⑬0≤P(A)≤1 ⑭1 ⑮0 ⑯P(A)＋P(B) ⑰1－P(B)
高考
【小题热身】
1．答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×
(5)√ (6)×
2．解析：连续射击两次的结果有四种：①第一次中靶第二次中靶；②第一次中靶第二次
没中靶；③第一次没中靶第二次中靶；④第一次没有中靶第二次没有中靶，事件“至少一次
中靶”包含①②③，所以事件“至少一次中靶”的对立事件是 D.
答案：D
3．解析：因为 A 与 B 不会同时发生，所以 A 与 B 是互斥事件，则 P(“抽到红花色”)
＝P(A)＋P(B)＝
1
4
＋
1
4
＝
1
2
，又事件“抽到黑花色”与“抽到红花色”是对立事件，则 P(“抽到
黑花色”)＝1－P(“抽到红花色”)＝1－
1
2
＝
1
2
.
答案：
1
2
1
2
4．解析：设平局(用△表示)为事件 A，甲赢(用⊙表示)为事件 B，乙赢(用※表示)为事件 C，
容易得到如图．平局含 3 个基本事件(图中的△)，P(A)＝
3
9
＝
1
3
，甲赢含 3 个基本事件(图中的⊙)，
P(B)＝
3
9
＝
1
3
.
答案：
1
3
1
3
5．解析：∵事件 A＝{抽到一等品}，且 P(A)＝0.65，∴事件“抽到的产品不是一等品”的
概率为 P＝1－P(A)＝1－0.65＝0.35.
高考
答案：0.35
6．解析：从 3 名男同学和 2 名女同学中任选 2 名同学共有 C2
5＝10 种选法，其中选出的
2 名同学都是男同学的选法有 C2
3＝3 种，则选出的 2 名同学中至少有 1 名女同学的概率 P＝1
－
3
10
＝
7
10
.
答案：
7
10
课堂考点突破
考点一
1．解析：“A，B，C”都是随机事件，可能发生，也可能不发生，故 A、B 两项错误；“A，
B”可能同时发生，故“A”与“B”不互斥，C 项正确；“B”与“C”既不互斥，也不对立，
D 项错误，故选 C.
答案：C
2．解析：“至多有一 X 移动卡”包含“一 X 移动卡，一 X 联通卡”，“两 X 全是联通卡”
两个事件，它是“2X 全是移动卡”的对立事件．
答案：A
3．解析：两个事件是对立事件，则它们一定互斥，反之不成立，故甲是乙的必要不充分
条件．
答案：B
考点二
例 1 解析：(1)甲连胜四场的概率为
1
16
.
(2)根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛．
比赛四场结束，共有三种情况：
高考
甲连胜四场的概率为
1
16
；
乙连胜四场的概率为
1
16
；
丙上场后连胜三场的概率为
1
8
.
所以需要进行第五场比赛的概率为 1－
1
16
－
1
16
－
1
8
＝
3
4
.
(3)丙最终获胜，有两种情况：
比赛四场结束且丙最终获胜的概率为
1
8
；
比赛五场结束且丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有
三种情况：胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为
1
16
，
1
8
，
1
8
.
因此丙最终获胜的概率为
1
8
＋
1
16
＋
1
8
＋
1
8
＝
7
16
.
变式练
1．解析：(1)在所给数据中，降雨量为 110 毫米的有 3 个，为 160 毫米的有 7 个，为 200
毫米的有 3 个．故近 20 年六月份降雨量频率分布表为
降雨量 70 110 140 160 200 220
频率
1
20
3
20
4
20
7
20
3
20
2
20
(2)由已知可得 Y＝
X
2
＋425，
故 P(“发电量低于 490 万千瓦时或超过 530 万千瓦时”)＝P(Y530)＝P(X210)＝P(X＝70)＋P(X＝110)＋P(X＝220)＝
1
20
＋
3
20
＋
2
20
＝
3
10
.
故今年六月份该水力发电站的发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时的概率为
3
10
.
考点三
例 2 解析：(1)由已知得 25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以 x＝15，y＝20.该超市所
有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的 100 位顾客一次购物的结算时间可视为
总体容量为 100 的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，
其估计值为
1×15＋1.5×30＋2×25＋2.5×20＋3×10
100
＝1.9(分钟)．
(2)记 A 为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟”，A1，A2，A3 分别表示事
件“该顾客一次购物的结算时间为 1 分钟”“该顾客一次购物的结算时间为 1.5 分钟”“该顾
客一次购物的结算时间为 2 分钟”，将频率视为概率得
P(A1)＝
15
100
＝
3
20
，P(A2)＝
30
100
＝
3
10
，P(A3)＝
25
100
＝
1
4
，
因为 A＝A1∪A2∪A3，且 A1，A2，A3 是互斥事件，
所以 P(A)＝P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝
3
20
＋
3
10
＋
1
4
＝
7
10
.
故一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟的概率为
7
10
.
变式练
2．解析：通过公路 1 的频率为 0.2,0.4,0.2,0.2；通过公路 2 的频率为 0.1,0.4,0.4,0.1，
设 A1，A2 分别表示汽车 A 在约定日期前 11 天出发，选择公路 1,2 将货物运往城市乙．B1，
B2 分别表示汽车 B 在约定日期前 12 天出发选择公路 1,2 将货物运往城市乙，则 P(A1)＝0.2
＋0.4＝0.6，P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，P(B1)＝0.2＋0.4＋0.2＝0.8，P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，
所以汽车 A 的最佳路径为选择公路 1，汽车 B 的最佳路径为选择公路 2.
答案：A
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