统考版2022届高考数学一轮复习第九章9.7抛物线学案理含解析

高考 第七节 抛物线 【知识重温】 一、必记 2 个知识点 1．抛物线定义、标准方程及几何性质 定义(几 何条件) 平面上，到定直线与到该定直线外一定点的距离①________的点的轨迹叫 做抛物线 标准方程 y2＝2px (p＞0) ②________ ________ ③________ ________ ④________ ________ 图形 对称轴 x 轴 ⑤________ y 轴 ⑥________ 顶点坐标 O(0,0) O(0,0) O(0,0) O(0,0) 焦点坐标 F( p 2 ，0) ⑦________ ⑧________ ⑨________ 离心率 e e＝1 e＝1 ⑩________ e＝1 准线方程 ⑪________ x＝ p 2 y＝ p 2 ⑫________ 焦半径 公式 |PF|＝ x0＋ p 2 |PF|＝ －x0＋ p 2 ⑬|PF|＝ ________ ⑭|PF|＝ ________ 高考 X 围 x≥0 y∈R x≤0 y∈R ⑮________ x∈R ⑯________ x∈R 2.抛物线焦点弦的几个常用结论 设 AB 是过抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点 F 的弦，若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 (1)x1x2＝ p2 4 ，y1y2＝－p2. (2)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝ 2p sin2α (α为弦 AB 的倾斜角)． (3)以弦 AB 为直径的圆与准线相切． (4)通径：过焦点且垂直于对称轴的弦，长等于 2p. 二、必明 2 个易误点 1．抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点 的轨迹是过定点且与直线垂直的直线． 2．抛物线标准方程中参数 p 易忽视，只有 p>0，才能证明其几何意义是焦点 F 到准线 l 的距离，否则无几何意义． 【小题热身】 一、判断正误 1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)． (1)平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( ) (2)抛物线 y2＝4x 的焦点到准线的距离是 4.( ) (3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( ) (4)方程 y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在 x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是 a 4 ，0 ，准 线方程是 x＝－ a 4 .( ) 高考 二、教材改编 2．过点 P(－2,3)的抛物线的标准方程是( ) A．y2＝－ 9 2 x 或 x2＝ 4 3 y B．y2＝ 9 2 x 或 x2＝ 4 3 y C．y2＝ 9 2 x 或 x2＝－ 4 3 y D．y2＝－ 9 2 x 或 x2＝－ 4 3 y 3．抛物线 y2＝8x 上到其焦点 F 距离为 5 的点 P 有( ) A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．4 个 三、易错易混 4．已知抛物线 C 与双曲线 x2－y2＝1 有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线 C 的方程 是( ) A．y2＝±2 2x B．y2＝±2x C．y2＝±4x D．y2＝±4 2x 5．设抛物线 y2＝8x 的准线与 x 轴交于点 Q，若过点 Q 的直线 l 与抛物线有公共点，则 直线 l 的斜率的取值 X 围是________． 高考 四、走进高考 6．[2020·全国卷Ⅰ]已知 A 为抛物线 C：y2＝2px(p>0)上一点，点 A 到 C 的焦点的距离 为 12，到 y 轴的距离为 9，则 p＝( ) A．2 B．3 C．6 D．9 考点一 抛物线的定义和标准方程 [自主练透型] 1．[2020·卷]设抛物线的顶点为 O，焦点为 F，准线为 l，P 是抛物线上异于 O 的一点， 过 P 作 PQ⊥l 于 Q.则线段 FQ 的垂直平分线( ) A．经过点 OB．经过点 P C．平行于直线 OP D．垂直于直线 OP 2．[2021·某某某某调研]过抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点 F 作斜率为 3的直线，与抛物线 在第一象限内交于点 A，若|AF|＝4，则 p＝( ) A．2 B．1 C. 3 D．4 3．[2021·某某高三摸底考试]已知顶点在坐标原点的抛物线的焦点坐标为(0，－2)，则此 抛物线的标准方程为________． 4．[2021·某某一中高三摸底考试]从抛物线 y＝ 1 4 x2 上一点 P 引抛物线准线的垂线，垂足 为 M，且|PM|＝5.设抛物线的焦点为 F，则△MPF 的面积为________． 高考 悟·技法 应用抛物线定义的 2 个关键点 (1)由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化． (2)注意灵活运用抛物线上一点 P(x，y)到焦点 F 的距离|PF|＝|x|＋ p 2 或|PF|＝|y|＋ p 2 . 考点二 抛物线的几何性质[互动讲练型] [例 1] (1)[2021·某某市第二次质量检测]已知抛物线 y2＝2px(p>0)上一点 M 到焦点 F 的距离等于 2p，则直线 MF 的斜率为( ) A．± 3 B．±1 C．± 3 4 D．± 3 3 (2)[2021·某某市高三毕业班适应性练习卷]抛物线 C：y2＝2x 的焦点为 F，点 P 为 C 上的 动点，点 M 为 C 的准线上的动点，当△FPM 为等边三角形时，其周长为( ) A. 2 B．2 C．3 2 D．6 悟·技法 1.求抛物线的标准方程的方法 (1)求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有 p，所以只需一个条件确定 p 值即 可． (2)因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量． 2．确定及应用抛物线性质的技巧 (1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化为标准方程． (2)要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解. 高考 [变式练]——(着眼于举一反三) 1．[2021·某某某某一模]已知 P 是抛物线 C：y2＝2px(p＞0)上的一点，F 是抛物线 C 的 焦点，O 为坐标原点．若|PF|＝2，∠PFO＝ π 3 ，则抛物线 C 的方程为( ) A．y2＝6x B．y2＝2x C．y2＝x D．y2＝4x 2．[2021·东北四市模拟]若点 P 为抛物线 y＝2x2 上的动点，F 为抛物线的焦点，则|PF| 的最小值为________． 考点三 直线与抛物线的位置关系 [互动讲练型] [例 2] [2019·全国卷Ⅰ]已知抛物线 C：y2＝3x 的焦点为 F，斜率为 3 2 的直线 l 与 C 的交 点为 A，B，与 x 轴的交点为 P. (1)若|AF|＋|BF|＝4，求 l 的方程； (2)若AP→ ＝3PB→，求|AB|. 高考 悟·技法 解决直线与抛物线位置关系问题的常用方法 1．直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的 关系． 2．有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可 直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式． 3．涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求” “整体代入”等解法． 提醒：涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解. [变式练]——(着眼于举一反三) 3．已知抛物线 y2＝2px(p＞0)的焦点为 F，A 是抛物线上横坐标为 4，且位于 x 轴上方的 点，A 到抛物线准线的距离等于 5，过 A 作 AB 垂直于 y 轴，垂足为 B，OB 的中点为 M. (1)求抛物线的方程； (2)若过 M 作 MN⊥FA，垂足为 N，求点 N 的坐标． 高考 第七节 抛物线 【知识重温】 ①相等 ②y2＝－2px(p＞0) ③x2＝－2py(p＞0) ④x2＝2py(p＞0) ⑤x 轴 ⑥y 轴 ⑦F(－ p 2 ，0) ⑧F(0，－ p 2 ) ⑨F(0， p 2 ) ⑩e＝1 ⑪x＝－ p 2 ⑫y＝－ p 2 ⑬－y0＋ p 2 ⑭y0＋ p 2 ⑮y≤0 ⑯y≥0 【小题热身】 1．答案：(1)× (2)× (3)× (4)× 2．解析：设抛物线的标准方程为 y2＝kx 或 x2＝my，代入点 P(－2,3)，解得 k＝－ 9 2 ，m ＝ 4 3 .∴y2＝－ 9 2 x 或 x2＝ 4 3 y. 答案：A 3．解析：抛物线 y2＝8x 的准线方程为 x＝－2，则抛物线顶点到准线的距离为 2，因为 抛物线到焦点的距离和到准线的距离相等，则根据抛物线的对称性可知抛物线 y2＝8x 上到其 焦点 F 距离为 5 的点有 2 个． 答案：C 4．解析：由已知可知双曲线的焦点为(－ 2，0)，( 2，0)．设抛物线方程为 y2＝± 2px(p>0)，则 p 2 ＝ 2，所以 p＝2 2，所以抛物线方程为 y2＝±4 2x，故选 D. 答案：D 高考 5．解析：Q(－2,0)，当直线 l 的斜率不存在时，不满足题意，故设直线 l 的方程为 y＝k(x ＋2)，代入抛物线方程，消去 y 整理得 k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，由Δ＝(4k2－8)2－4k2·4k2 ＝64(1－k2)≥0，解得－1≤k≤1. 答案：[－1,1] 6．解析：设焦点为 F，点 A 的坐标为(x0，y0)， 由抛物线定义得|AF|＝x0＋ p 2 ， ∵点 A 到 y 轴距离为 9，∴x0＝9， ∴9＋ p 2 ＝12， ∴p＝6.故选 C. 答案：C 课堂考点突破 考点一 1．解析：解法一 不妨设抛物线的方程为 y2＝2px(p>0)，P(x0，y0)(x0>0)，则 Q － p 2 ，y0 ， F p 2 ，0 ，直线 FQ 的斜率为 －y0 p ，从而线段 FQ 的垂直平分线的斜率为 p y0 ，又线段 FQ 的中点 为 0， y0 2 ，所以线段 FQ 的垂直平分线的方程为 y－ y0 2 ＝ p y0 (x－0)，即 2px－2y0y＋y2 0＝0，将 点 P 的横坐标代入，得 2px0－2y0y＋y2 0＝0，又 2px0＝y2 0，所以 y＝y0，所以点 P 在线段 FQ 的垂直平分线上，故选 B. 解法二 连接 PF，由题意及抛物线的定义可知|PQ|＝|FP|，则△QPF 为等腰三角形，故线 段 FQ 的垂直平分线经过点 P.故选 B. 答案：B 高考 2．解析：过点 A 作 AB 垂直 x 轴于点 B，则在 Rt△ABF 中，∠AFB＝ π 3 ，|AF|＝4，∴|BF| ＝ 1 2 |AF|＝2，则 xA＝2＋ p 2 ，∴|AF|＝xA＋ p 2 ＝2＋p＝4，得 p＝2，故选 A. 答案：A 3．解析：依题意可设抛物线的方程为 x2＝－2py(p>0)，因为焦点坐标为(0，－2)，所以 － p 2 ＝－2，解得 p＝4.故所求抛物线的标准方程为 x2＝－8y. 答案：x2＝－8y 4．解析：由题意，得 x2＝4y，则抛物线的准线方程为 y＝－1.从抛物线上一点 P 引抛物 线准线的垂线，设 P(x0，y0)，则由抛物线的定义知|PM|＝y0＋1，所以 y0＝4，所以|x0|＝4， 所以 S△MPF＝ 1 2 ×|PM|×|x0|＝ 1 2 ×5×4＝10. 答案：10 考点二 例 1 解析：(1)设 M(xM，yM)，由抛物线定义可得|MF|＝xM＋ p 2 ＝2p，解得 xM＝ 3p 2 ，代 入抛物线方程可得 yM＝± 3p，则直线 MF 的斜率为 yM xM－ p 2 ＝ ± 3p p ＝± 3，选项 A 正确． (2) 解法一 作出图形如图所示，因为△FPM 为等边三角形，所以 PM 垂直 C 的准线于 M， 易知|PM|＝4|OF|，因为|OF|＝ 1 2 ，所以|PM|＝2，所以△FPM 的周长为 3×2＝6，故选 D. 高考 解法二 因为△FPM 为等边三角形，|PF|＝|PM|，所以 PM 垂直 C 的准线于 M，设 P m2 2 ，m ，则 M － 1 2 ，m ，所以|PM|＝ 1 2 ＋ m2 2 ，又 F 1 2 ，0 ，且|PM|＝|MF|，所以 1 2 ＋ m2 2 ＝ 1 2 ＋ 1 2 2＋m2，解得 m2＝3，所以|PM|＝2，所以△FPM 的周长为 3×2＝6，故选 D. 答案：(1)A (2)D 变式练 1．解析： 过点 P 作 PQ 垂直于 x 轴，垂足为 Q.∵∠PFO＝ π 3 ，|PF|＝2，∴|PQ|＝ 3，|QF|＝1，不 妨令点 P 坐标为 p 2 －1， 3 ，将点 P 的坐标代入 y2＝2px，得 3＝2p p 2 －1 ，解得 p＝3(负 值舍去)，故抛物线 C 的方程为 y2＝6x.故选 A. 答案：A 2．解析：由题意知 x2＝ 1 2 y，则 F 0， 1 8 ， 设 P(x0,2x2 0)， 则|PF|＝ x2 0＋ 2x2 0－ 1 8 2 ＝ 4x4 0＋ 1 2 x2 0＋ 1 64 ＝2x2 0＋ 1 8 ， 所以当 x2 0＝0 时，|PF|min＝ 1 8 . 高考 答案： 1 8 考点三 例 2 解析：设直线 l：y＝ 3 2 x＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)． (1)由题设得 F 3 4 ，0 ，故|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋ 3 2 ，由题设可得 x1＋x2＝ 5 2 . 由 y＝ 3 2 x＋t， y2＝3x 可得 9x2＋12(t－1)x＋4t2＝0，则 x1＋x2＝－ 12t－1 9 . 从而－ 12t－1 9 ＝ 5 2 ，得 t＝－ 7 8 . 所以 l 的方程为 y＝ 3 2 x－ 7 8 . (2)由AP→ ＝3 PB→可得 y1＝－3y2. 由 y＝ 3 2 x＋t， y2＝3x 可得 y2－2y＋2t＝0. 所以 y1＋y2＝2.从而－3y2＋y2＝2，故 y2＝－1，y1＝3. 代入 C 的方程得 x1＝3，x2＝ 1 3 .故|AB|＝ 4 13 3 . 变式练 3．解析：(1)抛物线 y2＝2px 的准线为 x＝－ p 2 ， 于是 4＋ p 2 ＝5，所以 p＝2. 高考 所以抛物线方程为 y2＝4x. (2)因为点 A 的坐标是(4,4)， 由题意得 B(0,4)，M(0,2)． 又因为 F(1,0)，所以 kFA＝ 4 3 . 因为 MN⊥FA，所以 kMN＝－ 3 4 . 又 FA 的方程为 y＝ 4 3 (x－1)，① MN 的方程为 y－2＝－ 3 4 x，② 联立①②，解得 x＝ 8 5 ，y＝ 4 5 ， 所以点 N 的坐标为 8 5 ， 4 5 .