高考
第九节 函数模型及其应用
【知识重温】
一、必记 2 个知识点
1．三种函数模型的性质
函数
性质
y＝ax(a＞1) y＝logax(a＞1) y＝xn(n＞0)
在(0，＋∞)上
的增减性
①________ ②________ ③________
增长速度 ④________ ⑤________ 相对平稳
图象的变化
随 x 增大逐渐
表现为与
⑥________平行
随 x 增大逐渐
表现为与
⑦________平行
随 n 值变化
而不同
2.函数 y＝ax(a＞1)，y＝logax(a＞1)和 y＝xn(n＞0)的增长速度比较
(1)指数函数 y＝ax 和幂函数 y＝xn(n＞0)在区间(0，＋∞)上，无论 n 比 a 大多少，尽管在
x 的一定 X 围内 ax 会小于 xn，但由于 y＝ax 的增长速度⑧________y＝xn 的增长速度，因此总
存在一个 x0，当 x＞x0 时有⑨________.
(2)对于对数函数 y＝logax(a＞1)和幂函数 y＝xn(n＞0)在区间(0，＋∞)，尽管在 x 的一定
X 围内可能会有 logax＞xn，但由于 y＝logax 的增长速度慢于 y＝xn 的增长速度，因此在(0，
＋∞)上总存在一个实数 x0，使 x＞x0 时，⑩________.
(3)y＝ax(a＞1)，y＝logax(a＞1)与 y＝xn(n＞0)尽管都是增函数，但由于它们⑪________
不同，而且不在同一个“档次上”，因此在(0，＋∞)上随 x 的增大，总会存在一个 x0，当 x＞
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x0 时，有⑫________________.
二、必明 2 个易误点
1．易忽视实际问题对自变量的影响，单纯考虑解析式下的函数定义域．
2．在解决函数模型后，要注意回归实际，验证这个数学结果对实际问题的合理性．
【小题热身】
一、判断正误
1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)函数 y＝2x 的函数值比 y＝x2 的函数值大．( )
(2)“指数爆炸”是指数型函数 y＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)增长速度越来越快的形象比
喻．( )
(3)幂函数增长比直线增长更快．( )
二、教材改编
2．在 2 h 内将某种药物注射进患者的血液中．在注射期间，血液中的药物含量呈线性增
加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减．能反映血液中药物含量 Q 随时间 t 变化的
图象是( )
3．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品 x 万件时
的生产成本为 C(x)＝
1
2
x2＋2x＋20(万元)．一万件售价为 20 万元，为获取更大利润，该企业
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一个月应生产该商品数量为________万件．
三、易错易混
4．下列函数中，增长速度越来越慢的是( )
A．y＝6x B．y＝log6x C．y＝x6 D．y＝6x
5．有一组实验数据如表所示：
x 1 2 3 4 5
y 1.5 5.9 13.4 24.1 37
则下列所给函数模型不适合的有( )
A．y＝logax(a>1) B．y＝ax＋b(a>1)
C．y＝ax2＋b(a>0) D．y＝logax＋b(a>1)
四、走进高考
6．[2020·全国卷Ⅲ]Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者
根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数 I(t)(t 的单位：天)的 Logistic 模型：I(t)
＝
K
1＋e－0.23t－53
，其中 K 为最大确诊病例数．当 I(t*)＝0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，
则 t*约为(ln 19≈3)( )
A．60 B．63 C．66 D．69
考点一 一次函数或二次函数模型
高考
[自主练透型]
[2021·某某孝义检测]为了迎接世博会，某旅游区提倡低碳生活，在景区提供自行车出租，
该景区有 50 辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日 115 元．根据经验，若
每辆自行车的日租金不超过 6 元，则自行车可以全部租出；若超出 6 元，则每超过 1 元，租
不出的自行车就增加 3 辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金 x(元)只取整数，并且要求租
自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用 y(元)表示出租自行车的日净收入(即一日
中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分)．
(1)求函数 y＝f(x)的解析式及其定义域；
(2)试问当每辆自行车的日租金定为多少元时，才能使一日的净收入最多？
悟·技法
一次函数、二次函数模型问题的常见类型及解题策略
(1)直接考查一次函数、二次函数模型．
解决此类问题应注意三点：
①二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切注意函数的定义域，
否则极易出错；
②确定一次函数模型时，一般是借助两个点来确定，常用待定系数法；
③解决函数应用问题时，最后要还原到实际问题．
(2)以分段函数的形式考查．
解决此类问题应注意以下三点：
①实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，
如出租车票价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解；
②构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理、不重不漏；
③分段函数的最值是各段的最大(或最小)者的最大者(最小者)．
[提醒] (1)构建函数模型时不要忘记考虑函数的定义域．
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(2)对构造的较复杂的函数模型，要适时地用换元法转化为熟悉的函数问题求解.
考点二 函数 y＝x＋
a
x
模型的应用
[互动讲练型]
[例 1] “水资源与永恒发展”是 2015 年联合国世界水资源日主题，近年来，某企业每
年需要向自来水厂所缴纳水费约 4 万元，为了缓解供水压力，决定安装一个可使用 4 年的自
动污水净化设备，安装这种净水设备的成本费(单位：万元)与管线、主体装置的占地面积(单
位：平方米)成正比，比例系数约为 0.2.为了保证正常用水，安装后采用净水装置净水和自来
水厂供水互补的用水模式．假设在此模式下，安装后该企业每年向自来水厂缴纳的水费 C(单
位：万元)与安装的这种净水设备的占地面积 x(单位：平方米)之间的函数关系是 C(x)＝
k
50x＋250
(x≥0，k 为常数)．记 y 为该企业安装这种净水设备的费用与该企业 4 年共将消耗的
水费之和．
(1)试解释 C(0)的实际意义，并建立 y 关于 x 的函数关系式并化简；
(2)当 x 为多少平方米时，y 取得最小值，最小值是多少万元？
悟·技法
应用函数 y＝x＋
a
x
模型的关键点
(1)明确对勾函数是正比例函数 f(x)＝ax 与反比例函数 f(x)＝
b
x
叠加而成的．
(2)解决实际问题时一般可以直接建立 f(x)＝ax＋
b
x
的模型，有时可以将所列函数关系式转化为
f(x)＝ax＋
b
x
的形式．
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(3)利用模型 f(x)＝ax＋
b
x
求解最值时，要注意自变量的取值 X 围，及取得最值时等号成立的条
件.
[变式练]——(着眼于举一反三)
1．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某
幢建筑物要建造可使用 20 年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元．该建筑物每年
的能源消耗费用 C(单位：万元)与隔热层厚度 x(单位：cm)满足关系 C(x)＝
k
3x＋5
(0≤x≤10)，
若不建隔热层，每年能源消耗费用为 8 万元，设 f(x)为隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费
用之和．
(1)求 k 的值及 f(x)的表达式；
(2)隔热层修建多厚时，总费用 f(x)达到最小，并求最小值．
考点三 指数、对数函数模型[互动讲练型]
[例 2] [2020·某某卷]基本再生数 R0 与世代间隔 T 是新冠肺炎的流行病学基本参数．基
本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新
冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)＝ert 描述累计感染病例数 I(t)随时间 t(单位：天)
的变化规律，指数增长率 r 与 R0，T 近似满足 R0＝1＋rT.有学者基于已有数据估计出 R0＝3.28，
T＝6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加 1 倍需要的时间约为(ln 2≈
0.69)( )
A．1.2 天 B．1.8 天
C．2.5 天 D．3.5 天
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悟·技法
应用指数函数模型应注意的问题
(1)指数函数模型的应用类型．常与增长率相结合进行考查，在实际问题中有人口增长、银行
利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来解决．
(2)应用指数函数模型时的关键．关键是对模型的判断，先设定模型，再将已知有关数据代入
验证，确定参数，从而确定函数模型．
(3)y＝a(1＋x)n 通常利用指数运算与对数函数的性质求解.
[变式练]——(着眼于举一反三)
2．[2017·卷]根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限 M 约为 3361，而可观测宇宙中
普通物质的原子总数 N 约为 1080.则下列各数中与
M
N
最接近的是(参考数据：
lg 3≈0.48)( )
A．1033 B．1053
C．1073 D．1093
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第九节 函数模型及其应用
【知识重温】
①增函数 ②增函数 ③增函数 ④越来越快 ⑤越来越慢 ⑥y 轴 ⑦x 轴 ⑧快于
⑨ax＞xn⑩logax＜xn⑪增长速度 ⑫ax＞xn＞logax
【小题热身】
1．答案：(1)× (2)× (3)×
2．解析：由题意，当 02 时，图象为指数型曲线，所以 C 错，B 对，故选 B.
答案：B
3．解析：利润 L(x)＝20x－C(x)＝－
1
2
(x－18)2＋142，当 x＝18 时，L(x)有最大值．
答案：18
4．解析：D 中一次函数的增长速度不变，A、C 中函数的增长速度越来越快，只有 B 中
对数函数的增长速度越来越慢，符合题意．
答案：B
5．解析：由所给数据可知，y 随 x 的增大而增大，且增长速度越来越快，而 A，D 中的
函数增长速度越来越慢，B 中的函数增长速度保持不变．故选 C.
答案：C
6．解析：I(t*)＝
K
1＋
*0.23( 53)te
＝0.95K，整理可得
*0.23( 53)te ＝19，两边取自然对数得 0.23(t*
－53)＝ln 19≈3，解得 t*≈66，故选 C.
答案：C
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课堂考点突破
考点一
解析：(1)当 x≤6 时，y＝50x－115，令 50x－115>0，解得 x＞2.3，∵x 为整数，∴3≤x
≤6.
当 x>6 时，y＝[50－3(x－6)]x－115＝－3x2＋68x－115.
令－3x2＋68x－115>0，有 3x2－68x＋115
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