高考
第四节 基本不等式
【知识重温】
一、必记 3 个知识点
1．基本不等式 ab≤
a＋b
2
(1)基本不等式成立的条件：①________.
(2)等号成立的条件：当且仅当②________时取等号．
(3)两个平均数：
a＋b
2
称为正数 a，b 的③________， ab称为正数 a，b 的④________.
2．几个重要不等式
(1)a2＋b2≥⑤________(a，b∈R)．
(2)ab≤⑥________(a，b∈R)．
(3)
a＋b
2 2≤⑦________(a，b∈R)．
(4)
b
a
＋
a
b
≥⑧________(a·b＞0)．
(5)
2
1
a
＋
1
b
≤ ab≤
a＋b
2
≤
a2＋b2
2
(a＞0，b＞0)．
高考
3．利用基本不等式求最值问题
已知 x＞0，y＞0，则
(1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当⑨________时，x＋y 有最小值是⑩________(简记：
“积定和最小”)．
(2)如果和 x＋y 是定值 s，那么当且仅当⑪________时，xy 有最大值是⑫________(简记：
“和定积最大”)．
二、必明 2 个易误点
1．求最值时要注意三点：一是各项为正；二是寻求定值；三是考虑等号成立的条件．
2．多次使用基本不等式时，易忽视取等号的条件的一致性．
【小题热身】
一、判断正误
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)函数 y＝x＋
1
x
的最小值是 2.( )
(2)函数 f(x)＝cos x＋
4
cos x
，x∈
0，
π
2 的最小值等于 4.( )
(3)“x>0 且 y>0”是“
x
y
＋
y
x
≥2”的充要条件．( )
(4)若 a>0，则 a3＋
1
a2
的最小值为 2 a.( )
(5)不等式 a2＋b2≥2ab 与
a＋b
2
≥ ab有相同的成立条件．( )
(6)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a、b、c∈R)．( )
二、教材改编
高考
2．已知 x>1，则 x＋
1
x－1
的最小值为( )
A．2 B．3 C．4 D．6
3．若 a，b>0，且 ab＝a＋b＋3，则 ab 的取值 X 围为________．
三、易错易混
4．已知 00，x＋2y＝5，则
x＋12y＋1
xy
的最小值为________．
考点一 利用基本不等式求最值[分层深化型]
考向一：配凑法求最值
高考
[例 1] (1)已知 x>
5
4
，则 f(x)＝4x－2＋
1
4x－5
的最小值为________．
(2)若函数 f(x)＝x＋
1
x－2
(x>2)在 x＝a 处取最小值，则 a 等于( )
A．1＋ 2 B．1＋ 3
C．3 D．4
考向二：常值代换法求最值
[例 2] [2021·某某某某高三检测]已知 x>0，y>0，z>0，且
9
y＋z
＋
1
x
＝1，则 x＋y＋z 的
最小值为( )
A．8 B．9 C．12 D．16
考向三：消元法求最值
[例 3] [2020·某某卷，12]已知 5x2y2＋y4＝1(x，y∈R)，则 x2＋y2 的最小值是________．
悟·技法
(1)配凑法的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变
形；变形的目的是配凑出和或积为定值．
(2)常值代换法：根据已知条件或其变形确定定值(常数)，再把其变形为 1，再把“1”的表达
式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式．
(3)消元法：根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解.
[变式练]——(着眼于举一反三)
1．[2021·某某某某一中联考]已知 a>0，b>0，a＋b＝2，则 y＝
1
a
＋
4
b
的最小值是( )
高考
A.
7
2
B.
9
2
C．5 D．4
2．[2020·某某质量测评联盟联考]若 x>2，则函数 y＝4x＋
3
x－2
的最小值为________．
3．若 a，b，c 都是正数，且 a＋b＋c＝2，则
4
a＋1
＋
1
b＋c
的最小值是________．
考点二 利用基本不等式证明不等式
[互动讲练型]
[例 4] 已知 a，b，c>0，求证：
a2
b
＋
b2
c
＋
c2
a
≥a＋b＋c.
悟·技法
利用基本不等式证明不等式时，要先观察题中要证明的不等式的结构特征，若不能直接
使用基本不等式证明，则考虑对代数式进行拆项、变形、配凑等，使之转化为能使用基本不
等式的形式；若题目中还有已知条件，则先观察已知条件和所证不等式之间的联系，当已知
条件中含有“1”时，要注意“1”的代换，另外，解题时要时刻注意等号能否取到.
[变式练]——(着眼于举一反三)
4．已知 a>b，ab＝1，求证：a2＋b2≥2 2(a－b)．
高考
考点三 利用基本不等式探求参数 X 围
[互动讲练型]
[例 5] (1)已知函数 f(x)＝4x＋
a
x
(x>0，a>0)在 x＝3 时取得最小值，则 a＝________；
(2)[2021·某某某某期中]设正数 x，y 满足 x＋y＝1，若不等式
1
x
＋
a
y
≥4 对任意的 x，y 成
立，则正实数 a 的取值 X 围是( )
A．[4，＋∞) B．(1，＋∞)
C．[1，＋∞) D．(4，＋∞)
悟·技法
利用基本不等式求解含参数的不等式的策略
(1)观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或取值 X 围．
(2)在处理含参数的不等式恒成立问题时，往往将已知不等式看作关于参数的不等式，体
现了主元与次元的转化.
[变式练]——(着眼于举一反三)
5．[2021·某某四地六校联考]已知函数 f(x)＝x＋
a
x
＋2 的值域为(－∞，0]∪[4，＋∞)，则
a 的值是( )
高考
A.
1
2
B.
3
2
C．1 D．2
6．已知函数 y＝x－4＋
9
x＋1
(x>－1)，当 x＝a 时，y 取得最小值 b，则 a＋b 等于( )
A．－3 B．2 C．3 D．8
第四节 基本不等式
【知识重温】
①a＞0，b＞0 ②a＝b③算术平均数 ④几何平均数 ⑤2ab⑥
a＋b
2 2⑦
a2＋b2
2
⑧2
⑨x＝y⑩2 p⑪x＝y⑫s2
4
【小题热身】
1．答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)× (6)√
2．解析：∵x>1，∴x－1>0
∴x＋
1
x－1
＝(x－1)＋
1
x－1
＋1≥2 x－1·
1
x－1
＋1＝3
当且仅当 x－1＝
1
x－1
，即 x＝2 时，取“＝”．
高考
∴x＋
1
x－1
的最小值为 3.故选 B.
答案：B
3．解析：∵a，b>0，∴a＋b≥2 ab
∴ab＝a＋b＋3≥2 ab＋3
∴ab－2 ab－3≥0
∴( ab＋1)( ab－3)≥0
又∵ ab＋1>0，∴ ab－3≥0
∴ab≥9
当且仅当 a＝b 时，即 a＝b＝3 时，ab 取最小值 9.
答案：[9，+ ]
4．解析：由 y＝x＋
16
x
≥2 x·
16
x
＝8，当且仅当 x＝4 时取等号．又∵00
∴f(x)＝4x－2＋
1
4x－5
＝(4x－5)＋
1
4x－5
＋3
≥2 4x－5·
1
4x－5
＋3
＝2＋3＝5
当且仅当 4x－5＝
1
4x－5
，即 x＝
3
2
时取等号，所以 f(x)的最小值为 5.
(2)∵x>2，∴x－2>0
∴f(x)＝x＋
1
x－2
＝(x－2)＋
1
x－2
＋2
≥2 x－2·
1
x－2
＋2
高考
＝2＋2＝4，
当且仅当 x－2＝
1
x－2
，即 x＝3 时取等号，所以 a＝3.故选 C.
答案：(1)5 (2)C
例 2 解析：∵y>0，z>0，∴y＋z>0，又
9
y＋z
＋
1
x
＝1，x>0，
∴x＋y＋z＝[x＋(y＋z)]
1
x
＋
9
y＋z ＝10＋
9x
y＋z
＋
y＋z
x
≥10＋2
9x
y＋z
·
y＋z
x
＝16，当且
仅当
9x
y＋z
＝
y＋z
x
，即 y＋z＝3x 时等号成立，∴x＋y＋z 的最小值为 16.故选 D.
答案：D
例 3 解析：解法一 由 5x2y2 ＋y4 ＝1 得 x2 ＝
1
5y2
－
y2
5
，则 x2 ＋y2 ＝
1
5y2
＋
4y2
5
≥
2
1
5y2
·
4y2
5
＝
4
5
，当且仅当
1
5y2
＝
4y2
5
，即 y2＝
1
2
时取等号，则 x2＋y2 的最小值是
4
5
.
解法二 4＝(5x2＋y2)·4y2≤
5x2＋y2＋4y2
2 2＝
25
4
(x2＋y2)2，则 x2＋y2≥
4
5
，当且仅当 5x2
＋y2＝4y2＝2，即 x2＝
3
10
，y2＝
1
2
时取等号，则 x2＋y2 的最小值是
4
5
.
答案：
4
5
变式练
1．解析：∵a>0，b>0，a＋b＝2
∴y＝
1
a
＋
4
b
＝(
1
a
＋
4
b
)·
1
2
(a＋b)
高考
＝
5
2
＋
1
2
(
b
a
＋
4a
b
)
≥
5
2
＋
1
2
×2
b
a
×
4a
b
＝
9
2
当且仅当
b
a
＝
4a
b
，即 a＝
2
3
，b＝
4
3
时取等号．故选 B.
答案：B
2．解析：∵x>2，∴x－2>0
∴y＝4x＋
3
x－2
＝4(x－2)＋
3
x－2
＋8
≥2 4x－2·
3
x－2
＋8
＝4 3＋8
当且仅当 4(x－2)＝
3
x－2
，即 x＝2＋
3
2
时取等号．
答案：8＋4 3
3．解析：∵a＋b＋c＝2，a>0，b>0，c>0
∴b＋c＝2－a>0，∴00，c>0
∴
a2
b
＋b≥2a，
b2
c
＋c≥2b，
c2
a
＋a≥2c
∴
a2
b
＋
b2
c
＋
c2
a
＋a＋b＋c≥2a＋2b＋2c
故
a2
b
＋
b2
c
＋
c2
a
≥a＋b＋c
当且仅当 a＝b＝c 时，等号成立．
变式练
4．证明：∵a>b，∴a－b>0，又 ab＝1
∴
a2＋b2
a－b
＝
a2＋b2＋2ab－2ab
a－b
＝
a－b2＋2ab
a－b
＝a－b＋
2
a－b
≥2 a－b·
2
a－b
＝2 2
即 a2＋b2≥2 2(a－b)
当且仅当 a－b＝
2
a－b
，即 a－b＝ 2时取等号．
高考
考点三
例 5 解析：(1)∵x>0，a>0，
∴f(x)＝4x＋
a
x
≥2 4x·
a
x
＝4 a，
当且仅当 4x＝
a
x
，即 4x2＝a 时，f(x)取得最小值．
又∵f(x)在 x＝3 时取得最小值，∴a＝4×32＝36.
(2)∵x＋y＝1, 且 x>0，y>0，a>0，∴
1
x
＋
a
y
＝
1
x
＋
a
y (x＋y)＝a＋1＋
y
x
＋
ax
y
≥a＋1＋2 a，
∴a＋2 a＋1≥4，即 a＋2 a－3≥0，解得 a≥1，故选 C.
答案：(1)36 (2)C
变式练
5．解析：由题意可得 a>0，①当 x>0 时，f(x)＝x＋
a
x
＋2≥2 a＋2，当且仅当 x＝ a时
取等号；②当 x－1，所以 x＋1>0，
9
x＋1
>0，所
以由基本不等式，得 y＝x＋1＋
9
x＋1
－5≥2 x＋1·
9
x＋1
－5＝1，当且仅当 x＋1＝
9
x＋1
，
即(x＋1)2＝9，即 x＋1＝3，x＝2 时取等号，所以 a＝2，b＝1，a＋b＝3.故选 C.
答案：C
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