甘肃省嘉峪关市2020-2021学年高二下学期期末考试数学（文）试卷（Word版含答案）

嘉峪关市 2020-2021 学年第二学期期末考试 高二文科数学试题 一、选择题(每小题 5 分，共 60 分) 1．已知集合 2{ | 6 0}A x x x    ， { | 3 3}B x x    ，则 A B  （ ） A． 3, 2  B． 2,3 C．   3, 2 3   D．   2,3 3  2. 若变量 ,x y 满足约束条件 1 0 2 8 0 0 x y x y x          ，则 3z x y  的最小值为（ ） A. 1 B. 3 C. 4 D. 9 3．已知直线 2 1 0a x ay    与直线 2 3 5 0x y   平行，则 a 的值为（ ） A．－6 B．6 C.－4 5 D.4 5 4．若 , , ,a b c R a b  ，则下列不等式成立的是（ ） A． ba 11  B． 22 ba  C． |||| cbca  D． 11 22  c b c a 5．已知向量 a  ，b  的夹角为 60°， 1a  ， 2b  ，则 2a b   （ ） A．1 B． 2 3 C． 7 D．2 6．对于直线 a ,b ,l ,以及平面 ，下列说法中正确的是（ ） A．如果 a ∥b , a ∥ ，则b ∥ B．如果 a ⊥l , b ⊥l ，则 a ∥b C．如果 a ∥ , b ⊥ a ，则 b ⊥ D． 如果 a ⊥ ,b ⊥ ，则 a ∥b 7．同时掷 3 枚硬币，那么互为对立事件的是（ ） A.至少有 1 枚正面和至多有 1 枚正面 B.最多 1 枚正面和恰有 2 枚正面 C.至多 1 枚正面和至少有 2 枚正面 D.至少有 2 枚正面和恰有 1 枚正面 8．向面积为 S 的△ABC 内任投一点 P，则△PBC 的面积小于 2 S 的概率是（ ） A． 4 1 B． 4 3 C． 2 1 D． 3 1 9. “欢乐颂”是尊称为“乐圣”“交响乐之王”的神圣罗马帝国音乐家贝多芬一生创作的 重要作品之一．如图，以时间为横轴、音高为纵轴建立平面直角坐标系，那么写在五线 谱中的音符就变成了坐标系中的点，如果这些点在函数  4sin 0, 2y x           的图象上，且图象过点 ,224      ，相邻最大值与最 小值之间的水平距离为 2  ，则是函数的单调递增区间的是（ ） A. ,3 4       B. 7 5,24 24      C. 5 3,24 8       D. 5 3,8 4       10 ． 定 义 在 R 上 的 函 数  f x 是 奇 函 数 ， 且  f x 在  ,0 上 是 减 函 数 ，      2 0, 2f g x f x   ，则不等式   0xg x  的解集是（ ） A．   , 2 2,   B．   4, 2 0,   C．   , 4 2,    D．   , 4 0,   11．四面体 ABCD的四个顶点都在球O 的表面上， BCDAB 平面 ， BCD△ 是边长为 3 的等边 三角形，若 2AB ，则球O 的表面积为( ) A. 16 B．  3 32 C． 12 D． 32 12．设        1 11 2 x,xln x,xxf ，若方程   2 1 kxxf 恰有四个不相等的实数根，则实数 k 的 取值范围是（ ） A.  2,e B.  e，2 C.       e 1 2 1， D.      e， 2 1 二、填空题(每小题 5 分，共 20 分) 13．若 3 1)2sin()sin(  xx  ，则 x2sin 14．若函数 2 (2 1) 1   y x a x 在 ,2 上是减函数，则实数 a 的取值范围是 15．若函数  y f x 的定义域是 0,3 ，则函数    1 2 f xg x x   的定义域是 16．已知 2 2 1 )( x xxf   ，那么 )4 1()4()3 1()3()2 1()2()1( fffffff  ＝ 三、解答题（17 题 10 分，其它每题 12 分，共 70 分） 17．已知圆 C： 2 2 8 12 0x y y+ - + = ，直线 : 2 0l ax y a+ + = ， （1）当 a 为何值时，直线 l 与圆 C 相切. （2）当直线 l 与圆 C 相交于 A、B 两点，且 AB 2 2= 时，求直线 l 的方程. 18．随机抽取了 40 辆汽车在经过路段上某点时的车速（km/h），现将其分成六段： 60,65 ，  65,70 ， 70,75 ， 75,80 ， 80,85 ， 85,90 ，后得到如图所示的频率分布直方 图. （1）现有某汽车途经该点，则其速度低于 80km/h 的概率约是多少？ （2）根据直方图可知，抽取的 40 辆汽车经过该点的平均速度约是多少？ （3）在抽取的 40 辆且速度在 60,70 （km/h）内的汽车中任取 2 辆，求这 2 辆车车速都 在 65,70 （km/h）内的概率. 19．已知函数 2( ) cos( ) 2cos 13 2 xf x x     ． （1）求  f x 的最大值并求取得最大值时 x 的集合； （2）记 ABC 的内角 A、B、C 的对边长分别为 a，b，c，若 3)( Bf ， 1b ， 3c ， 求 a 的值． 20．如图，三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， 1A A  面 ABC ， =90ACB  ， M 是 AB 的中点， 1 2AC CB CC   ． （1）求证：平面 1ACM  平面 1 1ABB A ． （2）求点 M 到平面 1 1ACB 的距离． 21．已知等差数列 na 满足 2 5 8a a  ， 6 3 3a a  （1）求数列 na 的前 n 项和 nS ； （2）若 21 3 2n n n b S    求数列 nb 的前 n 项和 nT 22. 椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b     的长轴长为 4，直线 y x 被椭圆C 截得的线段长 M B A C 1A 1C 1B 4 10 5 . （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）过椭圆 C 的右顶点作互相垂直的两条直线 1 2,l l 分别交椭圆C 于 ,M N 两点（点 ,M N 不同于椭圆 C 的右顶点），证明：直线 MN 过定点 6( ,0)5 . 答案 一 、选择题 C A B D D D C B B C A C 二、填空题 13、 8 9 14、 3, 2      15、 1,2 16、 7 2 三、解答题 17．设圆心到直线的距离为 d，圆心（0，4）半径 r=2 （1）直线 : 2 0l ax y a+ + = 与圆相切 2 4 2 32, 41 ad a a +\ = = = - + 解得 （2） AB 2 2= ， 2 2( ) 2,2 ABd r\ = - = 由 2 4 2 2, 7 1 1 ad a a a += = = - = - + 解得 或 故所求直线为 7 14 0 2 0x y x y- + = - + =或 18.试题解析：（Ⅰ）速度低于 80km/h 的概率约为：  5 0.010 0.020 0.040 0.060 0.65     . （Ⅱ）这 40 辆小型车辆的平均车速为： 2 62.5 4 67.5 8 72.5 12 77.5 10 82.5 4 87.5 7740             （km/h）， （Ⅲ）车速在 60,65 内的有 2 辆，记为 ,A B 车速在 65,70 内的有 4 辆，记为 , , ,a b c d ， 从中抽 2 辆，抽法为 , , , , , , , , , , , , , ,AB Aa Ab Ac Ad Ba Bb Bc Bd ab ac ad bc bd cd 共 15 种， 其中车速都在 65,70 内的有 6 种，故所求概率 6 2 15 5P   . 19.解析： （1） )3sin(3)(  xxf （2）最大值为 3 ，此时 zkkx  ,223  . 故取得最大值时 x 的集合为    zkkxx ,26|  （3）因为 3)( Bf 所以 1)3sin(  B 由  B0 得 6 B 又因为 Baccab cos2222  所以 0232  aa 所以 21  aa 或 20．证：（Ⅰ）由 A1A⊥平面 ABC，CM  平面 ABC，则 A1A⊥CM． 由 AC＝CB，M 是 AB 的中点，则 AB⊥CM． 又 A1A∩AB＝A，则 CM⊥平面 ABB1A1， 又 CM  平面 A1CM，所以平面 A1CM⊥平面 ABB1A1． （Ⅱ）设点 M 到平面 A1CB1 的距离为 h， 由题意可知 A1C＝CB1＝A1B1＝2MC＝2 2，S△A1CB1＝2 3，S△A1MB1＝2 2． 由（Ⅰ）可知 CM⊥平面 ABB1A1，得，VC－A1MB1＝ 1 3 MC·S△A1MB1 ＝VM－A1CB1＝ 1 3 h·S△A1CB1， 所以，点 M 到平面 A1CB1 的距离 h＝ MC·S△A1MB1 S△A1CB1 ＝2 3 3 ． 21．已知等差数列{an}满足 a2＋a5＝8，a6－a3＝3. (1)求数列{an}的前 n 项和 Sn； (2)若 bn＝1 Sn ＋3·2n－2，求数列{bn}的前 n 项和 Tn. 解：(1)由 a6－a3＝3 得数列{an}的公差 d＝a6－a3 3 ＝1，由 a2＋a5＝8，得 2a1＋5d＝8，解 得 a1＝3 2 ， 所以 Sn＝na1＋n（n－1） 2 d＝n（n＋2） 2 . (2)由(1)可得1 Sn ＝ 2 n（n＋2） ＝1 n － 1 n＋2 ， 所以 bn＝1 Sn ＋3·2n－2＝1 n － 1 n＋2 ＋3·2n－2. 所以 Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝ 1－1 3 ＋ 1 2 －1 4 ＋…＋ 1 n － 1 n＋2 ＋3 2 (1＋2＋…＋2n－1)＝ M B A C 1A 1C 1B 1＋1 2 ＋1 3 ＋…＋1 n －(1 3 ＋1 4 ＋…＋1 n ＋ 1 n＋1 ＋ 1 n＋2 )＋3 2 ×2n－1 2－1 ＝3 2 － 1 n＋1 － 1 n＋2 ＋3 2 ×(2n－1) ＝3·2n－1－ 1 n＋1 － 1 n＋2 . 22．（1）根据题意，设直线 y x 与题意交于 ,P Q 两点.不妨设 P 点在第一象限，又 PQ 长 为 4 10 5 ， ∴ 2 5 2 5,5 5P       ，∴ 2 2 4 4 5 5 1a b   ，可得 2 2 2 25 4a b a b  ， 又 2 4a  ， ∴ 2, 1a b  ，故题意 C 的标准方程为 2 2 14 x y  ， （2）显然直线 1 2,l l 的斜率存在且不为 0，设 1 2 1: 2, : 2l x my l x ym      ， 由 2 2 2 14 x my x y     得 2 24 4 0m y my   ，∴ 2 2 2 2 8 4,4 4 m mM m m         ， 同理可得 2 2 2 2 8 4,4 1 4 1 m mN m m        当 1m   时，  2 5 4 1MN mk m   ，所以直线 MN 的方程为   2 2 22 4 5 2 8 4 44 1 m m my xm mm          整理得      2 2 2 5 6 5 6 54 1 4 1 4 1 m m my x x m m m            ，所以直线 当 1m   时，直线 MN 的方程为 6 5x  ，直线也过点 6 ,05      所以直线 MN 过定点 6 ,05      .