甘肃省嘉峪关市2020-2021学年高一下学期期末考试数学试卷（Word版含答案）

嘉峪关市 2020-2021 学年第二学期期末考试 高一数学试题 一、 选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的。+ 1. 设集合  ( 2)( 4) 0x xA x    ，  2,3,4,5B  ，则 A B  （ ） A.  2 B.  2,3 C.  3,4 D.  2,3,4 2. 2 2π πcos sin12 12   （ ） A. 1 2 B. 3 3 C. 2 2 D. 3 2 3．若变量 x，y 满足约束条件 3 3 2 6 y x x y y x         ，则 z x y  的最小值是（ ） A．3 B．-3 C．4 D． 4 4．已知 (2,3)AB  ， (3, )AC t ， BC  =1，则 AB BC  =（ ） A．-3 B．-2 C．2 D．3 5. 下列区间中，函数   5sin 5f x x      单调递增的区间是（ ） A. 0, 2      B. ,2 π π     C. 3, 2      D. 3 ,22       6. 函数 ( ) sin cos 22 x xf x   的最小正周期和最大值分别是（ ） A. 2π 和 2 B. 2π 和 2 C. 4π 和 2 D. 4π 和 2 7.八点二十分这个时刻同学们一定不陌生，因为那是我们学校第一节课上课的时刻。请你联 想或观察黑板上方的钟表，对下面的问题做出选择：八点二十分，时针和分针夹角的弧度数 为（ ） 11. ;18A  2B. ;3  13C. ;18  7D. .9  8.已知向量 (3,1) a ， (1,0) b ， k    c a b .若   a c ，则 k  （ ） A． 10 3  B． 5 3  C．10 3 D． 5 3 9. 在 ABC 中，若 5 2, 10, 30 ,a c A    则 B  （ ） A． 15°或 105° B. 45°或 105° C.15° D. 105° 10. 下列函数中最小值为 6 的是（ ） A. 9y x x   B. sin sin 9y x x   C. 92 2 x xy   D. 9lg lgy x x   11.给出下列四个关于实数 , , ,a b c d 的不等关系的推理： ① ,a b c d a c b d      ， ② ,a b c d a c b d      ， ③ ,a b c d a d b c      ， ④ , a ba b c d d c     。 其中推理正确的序号为（ ） A .①② B.①③ C. ①②③ D. ①②③④ 12.若 π0, 2      ， costan 2 2 sin    ，则 tan  （ ） A. 15 3 B. 5 3 C. 5 5 D. 15 15 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13.已知 3, 2,a b a    与b 的夹角为 6  ，则 a b   ． 14. 已知 函数 2( ) 3 4,f x x x   则使得函数值大于0 的 x 的取值范围是 ． 15.十七世纪德国著名天文学家开普勒曾经说过：“几何学里有两件 宝，一个是勾股定理，一个是黄金分割，如果把勾股定理比作黄金矿 的话，黄金分割就可以比作钻石矿”。如果把顶角为 36°的等腰三角形 称为“黄金三角形”，那么我们常见的五角星则是由五个黄金三角形 和一个正五边形组成，如图所示。在一个黄金三角形 ABC 中， 5 1 2 BC AC  （黄金分割比）， 根据这些信息，可以得出 cos144 °= ． 16. 已 知 O 为 坐 标 原 点 ， 点  1 cos ,sinP   ，  2 cos , sinP   ，     3 cos ,sinP      ， ( )1,0A ，则下列式子中一定正确的序号为 ． 1 1 2OP OP  ； 2. 1 2AP AP  ； 3. 3 1 2OA OP OP OP      。 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.（本小题满分 10 分）完成下列两个运算： （1）计算 sin600°+cos750°的值。 （2）化简 .NQ QP MN MP      18.（本小题满分 12 分）有这样一道利用基本不等式求最值的题： 已知 0, 0,a b  且 1,a b  求 1 2y a b   的最小值。 小明和小华两位同学都“巧妙地用了 1a b  ”，但结果并不相同。 小明的解法：由于 1,a b  所以 1 2 1 2 1 21 1 1 1,y a b a ba b a b a b               而 1 1 2 22 2, 2 2 2.a a b ba a b b         那么 2 2 2 1 1 2 2.y      则最小值为 1 2 2. 小华的解法：由于 1,a b  所以 1 2 1 2 2( )( ) 3 ,b ay a ba b a b a b         而 2 23 3 2 3 2 2.b a b a a b a b        则最小值为3 2 2. （1）你认为哪位同学的解法正确，哪位同学的解法有错误？ （2）请说明你判断的理由。 19.（本小题满分 12 分）已知关于 x 的一元二次不等式 2 2 2 tan 0x x    的解集中有且 只有一个元素，求下列两个式子的值： （1） sin cos sin cos       （2） 2 sin cos 1 cos    20.（本小题满分 12 分）已知 ABC 的三个内角 , ,A B C 所对的边分别为 , ,a b c ，且 6, 2 , .3b a c B    （1）求 ABC 外接圆的周长； （2）求 ABC 的面积。 21.（本小题满分 12 分）设 (sinx cosx, 2 cosx),a   2 ( ) 2f x a   。 （1）写出函数 ( )f x 图像的一条对称轴方程和一个对称中心坐标。 （2）求使得 ( ) 0f x  成立的自变量 x 的集合。 22.（本小题满分 12 分）嘉峪关市第一中学高一数学组在一次探究性学习活动中，将参加活 动的同学分成 6 个小组，每一组按照下列序号完成一个三角函数式的求值，然后由组长分别 汇报本组的答案。汇报后发现各组的运算结果是同一个常数，于是老师引导大家进一步探究 发现一般的规律…… 2 21.sin 45 cos 75 sin 45 cos75     ； 2 22.sin 30 cos 60 sin30 cos60     ； 2 23.sin 60 cos 90 sin 60 cos90     ； 2 24.sin 15 cos 45 sin15 cos45     ； 2 25.sin ( 15) cos 15 sin( 15) cos15       ； 2 26.sin ( 45) cos ( 15) sin( 45) cos( 15)         。 （1） 请你从上面 6 个式子中选择一个，求出这个常数； （2） 根据（1）的运算结果，将同学们的探究发现推广为一个三角恒等式，并证明你的结 论。 答案 一、 选择题 二、 填空题. 13： 13 14： ( , 1) (4, )   15： 5 1 4  16：① ③ 三、 解答题 17：解：（1）sin600°+cos750°=0 （5 分） （2） 0.NQ QP MN MP        （5 分） 注：评分仅供参考，具体过程的评分请老师们酌情把握。 18：解：（1）小华的解法正确（3 分）；小明的解法错误（3 分） （2）在小明的解法中， 1 2a a   ，等号成立时 1a  ； 2 2 2b b   ，等号成立时 2b  ， 那么取得最小值1 2 2 时， 1 2a b   ，这与已知条件 1a b  是相矛盾的。 在小华的解法中， 2 2 2b a a b   ，等号成立的条件为 2 22b a ，即 2b a ，再 由已知条件 1a b  ，即可解得满足条件的 ,a b 的值，都是合理的。 注：评分仅供参考，具体过程的评分请老师们酌情把握。 19：解，由已知，关于 x 的一元二次不等式 2 2 2 tan 0x x    的解集中有且只有一个元 素，可得 8 4tan 0,    则 tan 2.  （4 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B D B C A C C A A C B D （1） sin cos tan 1 3.sin cos tan 1           （4 分） （2） 2 2 2 2 sin cos sin cos tan 1.1 cos sin 2cos tan 2 3              （4 分） 注：评分仅供参考，具体过程的评分请老师们酌情把握。 20 ： 解 （ 1 ） 由 正 弦 定 理 得 2 ,sin b RB  其 中 2R 为 ABC 外 接 圆 的 直 径 ， 所 以 62 4 3.sin sin 3 bR B    因此 ABC 外接圆的周长为 4 3 . （6 分） （2）根据余弦定理 2 2 2 2 cosb a c ac B   ， 将条件 6, 2 , .3b a c B    代入，可解得 2 3, 4 3.c a  于是 ABC 的面积 1 sin 6 3.2s ac B  （6 分） 注：评分仅供参考，具体过程的评分请老师们酌情把握。 21：解 2 2( ) (sin cos ) 2cos 2 sin 2 cos2 2 sin(2 ).4f x x x x x x x         （4 分） （1）学生只要写出一条对称轴方程即可，比如 .8x  （2 分） 学生只要写出一个对称中心坐标即可，比如 ( ,0).8  （2 分） （2）若 ( ) 0f x  成立，则 2 2 2 ,4k x k      因此自变量 x 的集合为 3 ( )8 8x k x k k Z          （4 分） 注：评分仅供参考，具体过程的评分请老师们酌情把握。 22：解（1）任选一个式子，容易求出这个常数为 3 4 。（3 分） （2）观察发现的三角恒等式为： 2 2 3sin cos ( 30 ) sin cos( 30 ) .4          （4 分） 证明过程从略（5 分）。可参考课本《必修 4》P138 页 B 组第 3 题评卷 注：评分仅供参考，具体过程的评分请老师们酌情把握。