2019-2020学年辽宁省本溪市高二下学期验收数学试题（解析版）

第 1 页 共 21 页 2019-2020 学年辽宁省本溪市高二下学期验收数学试题 一、单选题 1．已知集合 2{ | 1}M x x  ， { | 1}N x ax  ，若 N M ，则实数 a 的取值集合为 （ ） A．{1} B．{ 1,1} C．{1,0} D．{1, 1,0} 【答案】D 【解析】先求出集合 M={x|x2=1}={﹣1，1}，当 a=0 时，N= ∅ ，成立；当 a≠0 时，N={ 1 a }， 由 N ⊆ M，得 1 1a   或 1 a =1．由此能求出实数 a 的取值集合． 【详解】 ∵集合 M={x|x2=1}={﹣1，1}，N={x|ax=1}，N ⊆ M， ∴当 a=0 时，N= ∅ ，成立； 当 a≠0 时，N={ 1 a }， ∵N ⊆ M，∴ 1 1a   或 1 a =1． 解得 a=﹣1 或 a=1， 综上，实数 a 的取值集合为{1，﹣1，0}． 故选 D． 【点睛】 本题考查实数的取值范围的求法，考查子集、不等式性质等基础知识，考查运算求解能 力，考查函数与方程思想，是基础题． 2．设命题 p ：所有矩形都是平行四边形，则 p 为（ ） A．所有矩形都不是平行四边形 B．有的平行四边形不是矩形 C．有的矩形不是平行四边形 D．不是矩形的四边形不是平行四边形 【答案】C 【解析】根据全称量词命题 p 的否定是存在量词命题，判断即可. 【详解】 解：命题 p ：所有矩形都是平行四边形， 则 p 为：有的矩形不是平行四边形. 第 2 页 共 21 页 故选：C. 【点睛】 本题考查了全称量词命题的否定命题应用问题，是基础题. 3．设 、  是两个不同的平面， m 、 n 是两条不同的直线，有下列命题： ①如果 m n ， m  ， / /n  ，那么  ； ②如果 m  ， / /n  ，那么 m n ； ③如果 / /  ， m  ，那么 / /m  ； ④如果平面 内有不共线的三点到平面  的距离相等，那么 / /  ； 其中正确的命题是（ ） A．①② B．②③ C．②④ D．②③④ 【答案】B 【解析】根据线面垂直与线面平行的性质可判断①;由直线与平面垂直的性质可判断②; 由直线与平面平行的性质可判断③;根据平面与平面平行或相交的性质,可判断④. 【详解】 对于①如果 m n , m  , / /n  ,根据线面垂直与线面平行性质可知  或 / /  或  ,所以①错误 对于②如果 m  , / /n  ,根据直线与平面垂直的性质可知 m n ,所以②正确; 对于③如果 / /  , m  ,根据直线与平面平行的判定可知 / /m  ,所以③正确; 对于④如果平面 内有不共线的三点到平面  的距离相等,当两个平面相交时,若三个 点分布在平面  的两侧,也可以满足条件,所以 / /  错误,所以④错误; 综上可知,正确的为②③ 故选:B 【点睛】 本题考查了直线与平面平行、直线与平面垂直的性质,平面与平面平行的性质,属于中档 题. 4．若直线 2 2 0ax y a    与3 ( 5) 5 0x a y    平行，则 a 的值为（ ） A．2 B．1 或 3 C．3 D．2 或 3 【答案】A 第 3 页 共 21 页 【解析】根据直线平行得到 ( 5) 2 3a a     ，排除重合情况，计算得到答案. 【详解】 因为直线 2 2 0ax y a    与3 ( 5) 5 0x a y    平行 所以 ( 5) 2 3a a     ，解得 2a  或 3a  当 3a  时，这两条直线重合，排除，故 2a  . 故选 A 【点睛】 本题考查了根据直线平行求参数，忽略掉重合的情况是容易犯的错误. 5．已知实数 0x  ， 0y  ，则“ 1xy  ”是“ 2 2 4x y  ”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】通过举反例得到“ 1xy  ”推不出“ 2 2 4x y  ”；再由 “ 2 2 4x y  ” “ 1xy  ”.能求出结果． 【详解】 解： 实数 0x  ， 0y  ，当 3x  ， 1 4y  时， 1 3 42 2 2 2 4x y    ， “ 1xy  ”推不出“ 2 2 4x y  ”； 反之，实数 0x  ， 0y  ，由基本不等式可得 2 2 2 2x y x y  ， 由不等式的基本性质得 2 2 2 2 4x y x y    ，整理得 2 4x y  ， 2x y   ， 由基本不等式得 2 12 x yxy      ，即“ 2 2 4x y  ” “ 1xy  ”． 实数 0x  ， 0y  ，则“ 1xy  ”是“ 2 2 4x y  ”的必要不充分条件． 故选：B． 【点睛】 本题考查充分条件、必要条件、充要条件的判断，考查不等式的性质等基础知识，考查 运算求解能力，是中等题． 6．两个公比均不为1的等比数列   ,n na b ，其前．n 项的乘积．．．．分别为 ,n nA B ，若 5 5 2a b  ， 第 4 页 共 21 页 则 9 9 A B  ( ) A．512 B．32 C．8 D．2 【答案】A 【解析】直接利用等比数列的性质化简 9 9 A B ,再代入 5 5 2a b  即得解. 【详解】 由题得 9 99 1 2 9 1 9 2 8 5 5 9 9 1 2 9 1 9 2 8 5 5 ( )( ) ( ) 2 512( )( ) ( ) A a a a a a a a a a B b b b b b b b b b              . 故答案为 A. 【点睛】 (1)本题主要考查等比数列的性质，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能 力.(2) 等比数列 na 中，如果 m n p q   ,则 m n p qa a a a  ,特殊地， 2m p q  时， 则 2 ·m p qa a a ， ma 是 p qa a、 的等比中项. 7．已知函数 1( ) ln sin1 xf x xx   ，则关于 a 的不等式 2( 2) ( 4) 0f a f a    的解集 是（ ） A． ( 3,2) B． ( 3 ， 2) C． (2, 5) D． ( 3, 5) 【答案】C 【解析】先判断函数为奇，从而将不等式转化为 2( 4) ( 2) (2 )f a f a f a      ，再 判断函数在 ( 1,1) 上单调递增，可得 2 2 1 2 1 1 4 1 4 2 a a a a             ，解不等式组可得答案. 【详解】 解：由题意可得， 1 01 x x   ，解可得， 1 1x   ， 又 1 1( ) ln sin( ) ln sin ( )1 1 x xf x x x f xx x            ， 因为 1ln 1 xy x   ， siny x 在 ( 1,1) 上单调递增， 所以 ( )f x 在 ( 1,1) 上单调递增， 由 2( 2) ( 4) 0f a f a    可得 2( 4) ( 2) (2 )f a f a f a      ， 第 5 页 共 21 页 所以 2 2 1 2 1 1 4 1 4 2 a a a a             ，解可得， 2 5a  故选：C. 【点睛】 本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关 键，综合考查函数性质的应用 8．唐朝著名的凤鸟花卉浮雕银杯（如图 1 所示），它的盛酒部分可以近似地看做是半球 与圆柱的组合体（如图 2），当这种酒杯内壁表面积固定时（假设内壁表面光滑，表面 积为 S 平方厘米，半球的半径为 R 厘米），要使酒杯容积不大于半球体积的两倍，则 R 的取值范围为（ ） A． 30, 10 S       B． 3 ,10 S      C． 3,5 10 S S        D． 3 ,10 2 S S        【答案】D 【解析】根据题意,酒杯内壁表面积为圆柱与半球的表面积,列出 S 的表达式,再求出体积 V ,解不等式即可. 【详解】 设圆柱的高度与半球的半径分别为 h , R , 则表面积 22 2S R Rh   ,故 2 2 SRh R   , 所以酒杯的容积 3 2 3 2 3 32 2 4( )3 3 2 3 2 3 S SV R R h R R R R R R            „ , 所以 25 2 3 S R„ , 又 2 02 S R  , 第 6 页 共 21 页 所以 2 25 2 3 SR R  „ ,解得 3 10 2 S SR „ , 故选:D. 【点睛】 本题考查了组合体的体积和表面积的计算,难度不大. 9．过坐标原点O 作圆   2 23 4 1x y    的两条切线，切点为 ,A B ，直线 AB 被圆 截得弦 AB 的长度为( ) A． 4 6 5 B． 2 6 5 C． 6 D． 3 6 5 【答案】A 【解析】求得圆的圆心坐标和半径，借助 1 1 2 2 2AOM ABS OA MA OM       ， 即可求解. 【详解】 如图所示，设圆   2 23 4 1x y    的圆心坐标为 (3,4)M ，半径为 1r  ， 则 2 23 4 5OM    , 25 1 24 2 6OA     ， 则 1 1 2 2 2AOM ABS OA MA OM       ，可得 2 4 6 5 OA MAAB OM    ， 故选 A. 【点睛】 本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中涉及到圆的切线方程应用，着 重考查了推理与运算能力，属于基础题. 第 7 页 共 21 页 10．已知 P 为椭圆 2 2 14 x y  上任意一点， 1F ， 2F 是椭圆的两个焦点，则 1 2| | | |PF PF 的最小值为（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【解析】设出 P 的坐标，利用距离公式转化求解 1 2| | | |PF PF 的表达式，利用三角函数的 最值求解 1 2| | | |PF PF 的最小值. 【详解】 解：由题意：椭圆 2 2 14 x y  ，设 (2cos ,sin )P   ， 1F ， 2F 是椭圆的两个焦点 ( 3 ， 0) . 2 2 2 2 1 2· (2cos 3) (sin ) (2cos 3) (sin )PF PF          2 2(3cos 4 4 3cos ) (3cos 4 4 3cos )         2 2 2 2 2 2(3cos 4) 48cos (3cos 4) 4 3cos 1          … ，当且仅当 cos 1   时，取等号. 即 1 2| | | |PF PF 的最小值为 1. 故选：D. 【点睛】 本题考查了椭圆的简单性质，三角函数的最值的求法，考查分析问题解决问题的能力. 属中档题， 11．已知点  0,2A ，抛物线 1 :C 2y ax  0a  的焦点为 F ，射线 FA 与抛物线C 相 交于点 M ，与其准线相交于点 N .若 : 1: 5FM MN  ，则 a 的值为（ ） A． 1 4 B． 1 2 C．1 D． 4 【答案】D 【解析】作出 M 在准线上的射影，根据 : 1: 5FM MN  ，确定 :KN KM 的值， 进而求出 a 的值. 【详解】 解：依题意，点 F 的坐标为 ,04 a     ，设点 M 在准线上的射影为 K ，如下图所示： 第 8 页 共 21 页 由抛物线的定义知 MF KM ，由 : 1: 5FM MN  ， 则 : 2:1KN KM  .  0 2 8 04 FN FAk k a a      ， 2FN KNk KM     ，  8 2a    ，解得 4a  . 故选：D. 【点睛】 本小题主要考查抛物线的定义，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题. 12．设双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0)y xC a ba b    ： 的一个焦点为 F ，过 F 作双曲线C 的一条渐 近线的垂线，垂足为 A ，且与另一条渐近线交于点 B ，若3 2OF OB OA    ，则双曲 线C 的离心率为 ( ) A． 2 B． 2 C． 2 3 3 D． 14 3 【答案】C 【解析】分析：由3 2OF OB OA    可得 2 2 2OF OA OB OF AF FB          ， 求 得双曲线 2 2 2 2: 1( 0, 0)y xC a ba b     的渐近线方程，联立求得 A B， 坐标，根据向量 坐标运算，整理即可求得双曲线的离心率； 详解：∵ 2 2 2 2 1( 0, 0)y x a ba b     的一条渐近线OA为 by xa   ，另一条渐近线 OB 为 by xa ， 第 9 页 共 21 页 ∵过其焦点 0F c（ ，）的直线 FA 与 by xa ， 垂直， ∴ FA 的方程为 ay x cb  ： （ ）， ∴由   ( ) by xa ay x cb     ＝ ＝ 得垂足 A 的横坐标 2ax c aby c      则 2a abA c c （ ， ）， 进而可得： 2 2 2 2 2  a c abcB b a b a （ ， ）   由由3 2OF OB OA    可得 2 2 2 2 ,OF OA OB OF AF FB FA FB               2 2 4 2 2 4 4 2 2 22 3 7 4 0 3 7 4 0a a cc c c a c a e ec b a （ ）             ， 2 4 2 3, .3 3e e   故选 C. 点睛：本题考查双曲线的标准方程及简单几何性质，考查双曲线的离心率公式，考查计 算能力，属于中档题. 二、填空题 13．已知一个双曲线的方程为： 2 2 13 2 x y m m    ，则 m 的取值范围是__. 【答案】 3m  或 2m   . 【解析】由双曲线方程所满足的条件可得 ( 3)m  与 ( 2)m  同号可得 m 的范围. 【详解】 解：由双曲线的方程可得 ( 3)( 2) 0m m   ，解得 3m  或 2m   ， 故答案为： 3m  或 2m   【点睛】 本题考查双曲线的标准方程，属于基础题. 14．角 是 ABC 的一个内角，且 1sin cos 5     ，则 tan  ___. 【答案】 3 4  . 【解析】利用完全平方公式及同角三角函数间基本关系化简，求出 第 10 页 共 21 页 242sin cos 025      ，确定出sin cos  大于 0，利用完全平方公式求出 sin cos  的值，联立求出sin 与 cos 的值，即可确定出 tan 的值. 【详解】 解：因为 1sin cos 5     ， 所以 2 2 2 1(sin cos ) sin cos 2sin cos 1 2sin cos 25               ， 整理得： 242sin cos 025      ， 所以 2 2 2 49(sin cos ) sin cos 2sin cos 1 2sin cos 25               ， 因为 为 ABC 的一个内角，且 242sin cos 025      所以sin 0  ， cos 0  ，即sin cos 0   ， 所以 7sin cos 5    ， 联立 1sin cos 5 7sin cos 5            ，解得： 3sin 5   ， 4cos 5    ， 则 3tan 4    . 故答案为： 3 4  【点睛】 此题考查利用同角三角函数关系求值、利用角的范围判断三角函数的正负，是基础题. 15．定义在 R 上的偶函数 ( )f x 对于任意的 xR 有 (1 ) (1 )f x f x   ，且当 [2x ， 3] 时， 2( ) 6 9f x x x    ，若函数 ( ) logay f x x  在 (0, ) 上只有六个零点，则 实数 a __. 【答案】 1 6 . 【解析】由 ( 1) (1 )f x f x   ，得到函数是以 2 为周期的周期函数，结合当 [2x ，3] 时， 2( ) 6 9f x x x    ，画出函数 ( )f x 的图象，然后利用数形结合法求解即可. 【详解】 由函数 ( )f x 是定义在 R 上的偶函数，且 (1 ) (1 )f x f x   成立， 可得 ( 2) ( ) ( )f x f x f x    ， 第 11 页 共 21 页 函数 ( )f x 是定义在 R 上的周期为 2 的偶函数， 当 [2x ，3] 时， 2( ) 6 9f x x x    . 函数 ( ) logay f x x  在 (0, ) 上的零点个数等于函数 ( )y f x 和函数 logay x 的图象在 (0, ) 上的交点个数，如图所示： 当 logay x 的图象过点 (6, 1)A  时，函数 ( ) logay f x x  在 (0, ) 上有六个零点， 1 log 6a  ， 1 6a  . 故答案为： 1 6 . 【点睛】 本题主要考查的函数奇偶性与单调性的综合应用，函数的周期性，函数的零点与方程的 根的关系，还考查了转化化归的思想和数形结合的数学思想，属于中档题. 三、双空题 16．如图，在正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，点O 为线段 BD 的中点，设点 P 在线段 1CC 上，直线OP 与平面 1A BD 所成的角为 ，则sin 的最小值_________，最大值 _______________. 第 12 页 共 21 页 【答案】 6 3 1 【解析】由题意，直线OP 与平面 1A BD 所成的角 的最小值为 1AOA 和 1 1C OA 中的 最小者，然后利用正方体的性质和直角三角形的边角关系，求出sin 的取值范围，再 确定其最值 【详解】 解：连接 1,AC AO ， 1 1AC , 因为 1 1, ,BD AC BD AA AC AA A    , 所以 BD  平面 1 1ACC A ， 所以平面 1A BD  平面 1 1ACC A ， 所以直线 OP 与平面 1A BD 所成的角 的最小值为 1AOA 和 1 1C OA 中的最小者， 不妨设 2AB  ， 在 1Rt AOA 中， 1 1 2 1 2 6sin 32 2 AAAOA AO      ， 1 1 1 1sin sin( 2 ) sin 2C OA AOA AOA      1 12sin cosAOA AOA    6 3 2 2 62 3 3 3 3      ， 所以sin 的取值范围为 6[ ,1]3 ， 所以sin 的最小值为 6 3 ，最大值为 1， 故答案为： 6 3 ；1 第 13 页 共 21 页 【点睛】 此题考查正方体的性质和直角三角形的边角关系，线面角的求法，考查推理能力，属于 中档题 四、解答题 17．已知正方体 1 1 1 1ABCD A B C D ， O 是底 ABCD 对角线的交点.求证： （1） 1 / /C O 面 1 1AB D ； （2） 1AC  面 1 1AB D ． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】（1）取 1 1AB D 的边 1 1B D 的中线 1AO ，由证四边形 1 1AOC O 是平行四边形， 得 1 1/ /OC AO ，由线面平行的判定定理可得结论；（2）由 1 1 1 1 1 1 1,D B AA D B AC  证 得 1 1D B  面 1AC ，可得面 1AC  面 1 1AB D 【详解】 (1)连结 ，设 连结 ，  是正方体 四边形 1 1ACC A 是平行四边形 ． ,∴A1C1∥AC 且 ． 第 14 页 共 21 页 又 分别是 的中点， ∴ 1 1C O / /AO 且 , 四边形 1 1AOC O 是平行四边形 ． 1 1C O / /AO , 1AO  面 ， 面 1 1AB D , ∴ 1C O ∥面 ． （2）在正方体中，AA1⊥平面 A1B1C1D1， 1 1D B  平面 A1B1C1D1， 1 1 1D B AA ． 在平面 A1B1C1D1 内， 1 1 1 1D B A C , 1 1 1 1AA A C A  ， 1 1 1A C A C 面 ， 1 1AA A C面 , 1 1 1D B A C 面 ． 1 1 1 1D B AB D 面 , 面 A1C⊥面 AB1D1 ． 点睛：处理直线、平面平行问题时应注意的事项(1)在推证线面平行时，一定要强调直线 不在平面内，否则，会出现错误．(2)把线面平行转化为线线平行时，必须说清经过已知 直线的平面与已知平面相交，则直线与交线平行．(3)两个平面平行，两个平面内的所有 直线并不一定相互平行，它们可能是平行直线、异面直线． 18．在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 c(sinC-sinA)=(sinA+sinB) (b - a). (1)求 B； (2)若 c=8，点 M，N 是线段 BC 的两个三等分点， 1 , 2 33 ANBM BC BM   ，求 AM 的 值． 【答案】（1） 3B  ；（2） 2 13AM  ． 【解析】（Ⅰ）由题意，根据正弦定理得 2 2 2c ca b a   ，再由余弦定理得 1cos 2B  ， 即可求解. （Ⅱ）由题意得 ,M N 是线段 BC 的两个三等分点，设 BM x ，则 2BN x ， 2 3AN x ， 第 15 页 共 21 页 在 ABN 中，由余弦定理得 2 212 64 4 2 8 2 cos 3x x x      ，解得 2x  ，则 2BM  ，再在 ABM 中,即可求解 AM 的长. 【详解】 （1）∵     sin sin sin sinc C A A B b a    ，则由正弦定理得: 2 2 2c ca b a   , ∴ 2 2 2a c b ca   ， ∴ 2 2 2 1cos 2 2 a c bB ca    ， 又 0 B   ， ∴ 3B  ． （2）由题意得 ,M N 是线段 BC 的两个三等分点，设 BM x ，则 2BN x ， 2 3AN x ， 又 3B  ， 8AB  ， 在 ABN 中，由余弦定理得 2 212 64 4 2 8 2 cos 3x x x      ， 解得 2x  （负值舍去）， 则 2BM  ， 又在 ABM 中, 2 2 18 2 2 8 2 52 2 132AM         ． 或解：在 ABN 中，由正弦定理得： 2 3 2 sinsin 3 x x BAN  ， ∴ 1sin 2BAN  又 2BN x ， 2 3AN x ， ∴ BN AN ， ∴ BAN 为锐角， ∴ 6BAN   ， ∴ 2ANB   ，又 8AB  ， 第 16 页 共 21 页 ∴ 2 4BN x  ， ∴ 2x  ，∴ 2MN  ， 4 3AN  ， ∴在 Rt ANM 中，  2 24 3 2 2 13AM    . 【点睛】 本题主要考查了正弦定理与余弦定理在解三角形中的应用，在解有关三角形的题目时， 要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的 信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式 子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考 虑两个定理都有可能用到． 19． nS 为数列{ na }的前 n 项和.已知 na ＞0， 2 2n na a = 4 3nS  . （Ⅰ）求{ na }的通项公式； （Ⅱ）设 1 1 n n n b a a   ,求数列{ nb }的前 n 项和. 【答案】（Ⅰ） 2 1n + （Ⅱ） 1 1 6 4 6n   【解析】（I）根据数列的递推关系，利用作差法即可求{an}的通项公式： （Ⅱ）求出 bn 1 1 n na a   ，利用裂项法即可求数列{bn}的前 n 项和． 【详解】 解：（I）由 an2+2an＝4Sn+3，可知 an+12+2an+1＝4Sn+1+3 两式相减得 an+12﹣an2+2（an+1﹣an）＝4an+1， 即 2（an+1+an）＝an+12﹣an2＝（an+1+an）（an+1﹣an）， ∵an＞0，∴an+1﹣an＝2， ∵a12+2a1＝4a1+3， ∴a1＝﹣1（舍）或 a1＝3， 则{an}是首项为 3，公差 d＝2 的等差数列， ∴{an}的通项公式 an＝3+2（n﹣1）＝2n+1： （Ⅱ）∵an＝2n+1， ∴bn   1 1 1 1 2 1 2 3 2n na a n n     （ 1 1 2 1 2 3n n   ）， ∴数列{bn}的前 n 项和 Tn 1 2  （ 1 1 1 1 1 1 3 5 5 7 2 1 2 3n n        ） 1 2  （ 1 1 3 2 3n   ） 第 17 页 共 21 页 1 1 6 4 6n    . 【点睛】 本题主要考查数列的通项公式以及数列求和的计算，利用裂项法是解决本题的关键． 20．已知直线  2 0y x m m   与抛物线 2 4y x 交于 B、A 两点， （1）若OA OB ，求 m 的值； （2）以 AB 为边作矩形 ABCD ，若矩形 ABCD 的外接圆圆心为 1 ,22      ，求矩形 ABCD 的面积. 【答案】（1）-8；（2）30. 【解析】（1） 2y x m  与 2 4y x 联立得 2 2 2 0y y m   ，设    1 1 2 2, , ,A x y B x y ， 根据韦达定理可得 1 2 1 22, 2y y y y m    ，结合 0OA OB   可列出关于 m 的方程， 从而可得结果；（2）设弦 AB 的中点为 M , 设圆心 1 ,22T      ，则 1 2 12M y yy   ， 1 2 2 M M y m mx    ，由TM AB 得 2 1 2 11 1 2 2 m     ，可得 4m   ，根据点到直 线距离公式可得 2 5CD  ，利用弦长公式可得| | 3 5AB  ，从而可得矩形 ABCD 的 面积. 【详解】 （1） 2y x m  与 2 4y x 联立得 2 2 2 0y y m   由 0  得 1 2m  ，设    1 1 2 2, , ,A x y B x y ，则 1 2 1 22, 2y y y y m    ∵OA OB ，∴ 0OA OB   ∴  2 1 2 1 2 1 2 1 20 16 y yx x y y y y    ， ∴ 1 2 16y y   ∴ 2 16m   8m   ，满足 题意. （2）设弦 AB 的中点为 M ,则 1 2 12M y yy   ， 1 2 2 M M y m mx    ，设圆心 1 ,22T      ∵TM AB ∴ 2 1 2 11 1 2 2 m     ∴ 4m   ， 第 18 页 共 21 页 则 5 ,12M      ，∴ 5MT  ，∴ 2 5CB  ∴  2 1 2 1 2 1 24 4 8 6y y y y y y m       ∴ 2 1 2 11 3 52AB y y       ∴面积为 30AB CD  . 【点睛】 本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系的相关问题，意在考查学生理解力、分析判断 能力以及综合利用所学知识解决问题能力和较强的运算求解能力，其常规思路是先把直 线方程与圆锥曲线方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相 关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单. 21．如图， BCD 与 MCD△ 都是边长为 2 的正三角形，平面 MCD  平面 BCD，AB  平面 BCD， 2 3AB  . （1）求直线 AM 与平面 BCD所成角的大小； （2）求三棱锥 A BMD 的体积； （3）求平面 ACM 与平面 BCD所成二面角的正弦值. 【答案】（1） 45；（2）1；（3） 2 5 5 . 【解析】（1）取CD 中点O ，连OB ，OM ，证明 MO  平面 BCD ，推出 / /MO AB ， 延长 AM 、BO 相交于 E ，则 AEB 就是 AM 与平面 BCD所成的角，再求解直线 AM 与平面 BCD所成角的大小为 45； （2）利用等体积法 A BDM M ABDV V  求解即可； (3)CE 是平面 ACM 与平面 BCD的交线.由 (1) 知，O 是 BE 的中点，则四边形 BCED 是菱形，作 BF EC 于 F ，连 AF ，则 AF EC ， AFB 就是二面角 A EC B  的平面角，再通过求解三角形求解二面角的正弦值. 【详解】 第 19 页 共 21 页 （1）取 CD 中点O ，连 OB ， OM ，则OB CD ，OM CD ， 又平面 MCD  平面 BCD，则 MO  平面 BCD， 所以 / /MO AB ，所以 A 、 B 、O 、 M 共面， 延长 AM 、 BO 相交于 E ，则 AEB 就是 AM 与平面 BCD所成的角， 3OB MO  ， / /MO AB ，则 1 2 EO MO EB AB   ， 3EO OB  ， 所以 2 3EB AB  ，即 45AEB   . 直线 AM 与平面 BCD所成角的大小为 45； （2） BCD 与 MCD△ 都是边长为 2 的正三角形， 所以 1 1 1 3· · 13 2 2 2A BDM M ABD O ABDV V V AB BD BD         ； ( 3)CE 是平面 ACM 与平面 BCD 的交线. 由 (1) 知，O 是 BE 的中点，则四边形 BCED 是菱形， 作 BF EC 于 F ，连 AF ，则 AF EC ， 所以 AFB 就是二面角 A EC B  的平面角，设其为 ， 因为 120BCE   ， 所以 60BCF  ， cos60 3BF BC   ， tan 2AB BF    ， 2 5sin 5   . 所以，所求二面角的正弦值是 2 5 5 . 【点睛】 本题考查直线与平面所成的角和二面角的平面角的求法，考查空间几何体的体积的求 第 20 页 共 21 页 法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 22．已知 A 、 B 分别是椭圆 2 2 2 2 x yC 1(a b 0)a b    ： 的左、右顶点， P 为椭圆 C 的下 顶点， F 为其右焦点.点 M 是椭圆 C 上异于 A 、 B 的任一动点，过点 A 作直线 l x 轴. 以线段 AF 为直径的圆交直线 AM 于点 A 、 N ，连接 FN 交直线 l 于点 H. 点 G 的坐标为  b,0 ，且 PF PG 2 6  ，椭圆 C 的离心率为 1 2 ．  1 求椭圆 C 的方程；  2 试问在 x 轴上是否存在一个定点 T ，使得直线 MH 必过该定点 T ？若存在，求出点 T 的坐标，若不存在，说明理由． 【答案】（1） 2 2x y 14 3   ；（2）见解析 【解析】 1 根据题意可得 2 2 6 c 1 a 2 a b    ，解得即可； 2 假设在 x 轴上存在一个定 点  T t,0 ，设动点  0 0M x ,y ，根据直线与直线的垂直的斜率的关系以及直线的斜率 公式即可求出. 【详解】  1 由题意得 PF a, PG 2b  ， 2 2 6 c 1 a 2 a b    ， a 2,b 3   ，所求椭圆的方程为 2 2x y 14 3   ．  2 假设在 x 轴上存在一个定点  T t,0 ，使得直线 MH 必过定点  T t,0 ， 设动点  0 0M x ,y ，由于 M 点异于 A ， B ，故 0y 0 ， 由点 M 在椭圆上，故有 2 2 0 0x y 14 3   ，  2 02 0 3 4 x y .4    ① 又由  1 知  A 2,0 ，  F 1,0 ， 直线 AM 的斜率 0 AM 0 yk x 2   ， 又点 N 是以线段 AF 为直径的圆与直线 AM 的交点， AM FN  第 21 页 共 21 页 0 AM FN FN AM 0 x 21k k 1 k k y          ． 直线 FN 的方程  0 0 x 2y x 1y    ，  0 0 x 2 2 1y 2 y x         ，即  0 0 3 x 2H 2, y      ， M ， H 两点连线的斜率       0 20 0 00 MH 0 0 0 3 x 2y y 3 x 2yk x 2 y x 2      ，② 将 ① 式代入 ② 式，并整理得  0 MH 0 3 x 2k 4y   ， 又 P ， T 两点连线的斜率 0 PT 0 yk x t   ． 若直线 MH 必过定点  T t,0 ，则必有 MH PTk k 恒成立， 即  0 0 0 0 3 x 2 y 4y x t     ， 整理得   2 0 0 04y 3 x 2 x t    ， ③ 将 ① 式代入 ③ 式， 得      2 0 0 0 3 3 x 4 3 x 2 x t4       ， 解得 t 2 ，故直线 MH 过定点 2,0 ． 【点睛】 本题主要考查椭圆的方程，主要考查直线与椭圆的位置关系，意在考查学生对这些知识 的理解掌握水平和分析推理计算能力.