2019-2020学年湖北省利川市第五中学高二下学期期末考试数学试题 Word版

- 1 - 2019-2020 学年湖北省利川市第五中学高二下学期期末考 试数学试题 考生注意： 1.本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分。满分 150 分，考试时间为 120 分钟。 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上。第 I 卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡 上对应题目的答案标号涂黑；第 II 卷请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答 题区域内作答，超出答题卡区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．。 3.本试卷主要命题范围：高中数学所有内容 第Ⅰ卷 一．选择题 （本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分） 1.若集合 A＝{x|y 2 x  }，B＝{x|x2﹣x≤0}，则 A∩B＝（ B ） A. [0，1） B. [0，1] C. [0，2） D. [0，2] 2. i 是虚数单位，复数 2 1i iz    ，则 z 的共轭复数是 （ C ） A. 1 i  B. 1i  C. 1i  D. 1i  3.已知 ,  为两个平面，m 为直线，且 m  ，则“ m  ”是“  ”的 （ A ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4．《九章算术》中有一道“良马、驽马行程问题”．若齐国与长安相距 3000 里，良马从长安 出发往齐国去，驽马从齐国出发往长安去，同一天相向而行．良马第一天行 155 里，之后每 天比前一天多行 12 里，驽马第一天行 100 里，之后每天比前一天少行 2 里，则良马和驽马第 几日相遇（ A ） A．第 10 日 B．第 11 日 C．第 12 日 D．第 60 日 5.已知函数      3sin 2 cos 2 (0 )f x x x         是定义在 R 上的偶函数，则 8f     的值为（ A ） A. 2 B. 3 C. 2 D. 3 6.函数 ( ) ( )lnx xf x e e x  的图象大致为( D ) - 2 - A. B. C. D. 7.已知抛物线 C：y2＝2px（p＞0），倾斜角为 的直线交 C 于 A，B 两点，若线段 AB 中点的 纵坐标为 ，则 p 的值为（ C ） A． B．1 C．2 D．4 8.若 1 n x x     的展开式中只有第 7 项的二项式系数最大，则展开式中含 8x 项的系数是（ D ） A. 132 B. 132 C. 66 D. 66 9.已知   2xf x  ，若       1, ,2 2 a bp f ab q f r f a f b       ，其中 0a b  ， 则下列关系式中正确的是 ( A ) A. p q r  B. p r q  C. r p q  D. q p r  10.已知向量 (2,2)OC  ， ( 2 cos , 2 sin )CA a a  ，则向量 OA  的模的最小值是( C ) A．3 B．3 2 C． 2 D．2 11.过双曲线   2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b     的右焦点 F 作圆 2 2 2x y a  的切线 FM（切点为 M）， 交 y 轴于点 P.若 M 为线段 FP 的中点，则双曲线的离心率为( A ) A. 2 B. 3 C.2 D. 5 12.函数   1| lg | cos2f x x x      的零点的个数为（ B ） A．3 B．4 C．5 D．6 第Ⅱ卷 - 3 - 二．填空题（本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分） 13.若 tan  ，  tan   是方程 2 8 5 0x x   的两根，则 tan  ________． -2 14.已知函数 ( )f x 是偶函数，当 0x  时， ( ) ln 1f x x x  ，则曲线 ( )y f x 在 1x   处的 切线方程为________________ y x  15.若一个三位正整数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”， 现从 1,2,3,4,5,折 5 个数字中任取 3 个数字，组成没有重复数字的三位数，其中“伞数” 共有 个。20 16.如图，正方形 BCDE 的边长为 a ，已知 3AB BC ，将 ABE 沿边 BE 折起，折起后 A 点 在平面 BCDE 上的射影为 D 点，则翻折后的几何体中有如下描述： ①AB 与 DE 所成角的正切值是 2 ；② / / ;AB CE ③ B ACEV  体积是 31 6 a ；④平面 ABC  平面 ADC.其中正确的有 .（填写你认为正确的序号）①③④ 三．解答题（本大题共 6 小题，17 题 10 分，18-22 每题 12 分，共 70 分) 17.已知 nS 是数列 na 的前 n 项和， 1 3 1n nS S   ， 1 1a  . （1）求数列 na 的通项公式； （2）若 3 2logn nb a ， 1 1 n n n c b b   ，求数列 nc 的前 n 项和 nT . 解：（1）由 1 3 1n nS S   ，可得：当 2n  时， 13 1n nS S   ， 两式相减，得 1 3n na a  ，即 1 3n n a a   ， 当 1n  时， 1 2 13 1a a a   ，得 2 3a  ，即 2 13a a ，即 2 1 3a a  ， 所以，当 1n  时， 1 3n n a a   ，即 na 是首项为 1，公比为 3 的等比数列， 所以数列 na 的通项公式 13  n na . （2）由 2 1 3 2 3log log 3 2 1n n nb a n    ， 可得   1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1n n n c b b n n n n           ， 所以 1 1 1 1 1 112 3 3 5 2 1 2 1nT n n            1 112 2 1 2 1 n n n        . - 4 - 18.在 ABC 中，角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c ，若 1.AB AC BA BC       （Ⅰ）求证：A＝B； （Ⅱ）求边长 c 的值； （Ⅲ）若 6,AB AC   求△ABC 的面积． 【详解】（Ⅰ）∵ B C BA BCA A      ,∴ cos cosbc A ac B ， 即 cos cosb A a B ，由正弦定理得 sin cos sin cosB A A B ∴ in 0( )s A B  ．∵ A B     , ∴ 0A B  ，∴ A B . （Ⅱ）∵ 1AB AC   ∴ cos 1bc A  ， 由余弦定理得 2 2 2 12 b c abc bc    ，即 2 2 2 2b c a   ． ∵由（Ⅰ）得 A B ，∴ 2 2c  ，∴ 2c  （Ⅲ）∵ 6AB AC   ，∴ 2 2 2 6AB AC AB AC       即 2 2 2 6c b   ，∴ 2 2 4c b  ，∵ 2 2c  ， ∴ 2 2b  ，即 2b  . ∴△ABC 为正三角形. ∴ 23 3( 2) .4 2ABCS    19.某精密仪器生产有两道相互独立的先后工序，每道工序都要经过相互独立的工序检查，且 当第一道工序检查合格后才能进入第二道工序，两道工序都合格，产品才完全合格，.经长期 监测发现，该仪器第一道工序检查合格的概率为 8 9 ，第二道工序检查合格的概率为 9 10 ，已知 该厂三个生产小组分别每月负责生产一台这种仪器. （I）求本月恰有两台仪器完全合格的概率； （II）若生产一台仪器合格可盈利 5 万元，不合格则要亏损 1 万元，记该厂每月的赢利额为 ， 求 的分布列和每月的盈利期望. 解: (Ⅰ) 设恰有两台仪器完全合格的事件为 A ,每台仪器经两道工序检验完全合格的概率为 p 8 9 4=9 10 5P   所以 2 2 2 2 3 3 4 4 48( ) (1 ) ( ) (1 )5 5 125P A C p p C     (Ⅱ) 每月生产的仪器完全合格的台数可为 3,2,1,0四种 - 5 - 所以赢利额 的数额可以为15,9,3, 3 当 15  时, 3 3 3 4 64( 15) ( )5 125P C    当 9  时, 2 2 3 4 1 48( 9) ( )5 5 125P C    当 3  时, 1 2 3 4 1 12( 3) ( )5 5 125P C    当 3   时, 0 3 3 1 1( 3) ( )5 125P C     每月的盈利期望 64 48 12 1 5715 9 3 ( 3) 10.14125 125 125 125 5E           所以每月的盈利期望值为10.14万元……………12 分 20. 如 图 ， 四 棱 锥 中 P ABCD 中 ， 底 面 ABCD 是 直 角 梯 形 ， AB//CD ， 60 , 2 ,DAB AB AD CD    侧面 PAD  ABCD底面 ，且 PAD 为等腰直角三角形， 90APD   . （Ⅰ）求证： ;AD PB （Ⅱ）求平面 PAD 与平面 PBC 所成锐二面角的余弦值. 5、解：（Ⅰ）取 AD 的中点 G ，连结 PG GB BD、 、 ． PA PD ， PG AD  AB AD ，且 60DAB   ， ABD 是正三角形， ADBG  , 又 PG BG G , AD  平面 PGB ． AD PB  ． （Ⅱ） ∵侧面 PAD  底面 ABCD ， 又 PG AD ， PG  底面 ABCD ． PG BG  ．∴直线GA GB GP、 、 两两互相垂直， 故以 G 为原点,直线 GA GB GP、 、 所在直线为 x 轴、 y 轴和 z 轴建立 如图所示的空间直角坐标系 G xyz ． 设 PG a ，则可求得 (0,0, ), ( ,0,0),P a A a (0, 3 ,0)B a ， ( ,0,0)D a ， )0,2 3,2 3( aaC  ． 3 3( , ,0)2 2BC a a    ． (0, 3 , )PB a a   设 0 0 0( , , )n x y z 是平面 PBC 的法向量，则 0n BC   且 0n PB   ． - 6 - 0 0 0 0 3 3 0,2 2 3 0. ax ay ay az       0 0 0 0 3 ,3 3 . x y z y       取 0 3y  ，得 ( 1, 3,3)n   ． 又平面 PAD 的法向量 1 (0, 3 ,0)n GB a   ， 设平面 PAD 与平面 PBC 所成锐二面角为 , 则 1 1 3 39cos 131 3 9 3 n n a an n            , 所以平面 PAD 与平面 PBC 所成锐二面角的余弦值为 39 13 ． 21.已知椭圆   2 2 2 2 1 0x y a b a b     上一点与它的左、右两个焦点 1 2,F F 的距离之和为 2 2 ，且它的离心率与双曲线 2 2 2x y  的离心率互为倒数. （1）求椭圆的方程； （2）如图，点 A 为椭圆上一动点（非长轴端点）， 1AF 的延长线与椭圆交于 B 点，AO 的延长线与椭圆交于 C 点，求△ABC 面积的最大值， 并求此时直线 AB 的方程. 解：（1）设椭圆的半焦距为 .c 因为双曲线 2 2 10x y  的离心率为 2 ， 所以椭圆的离心率为 2 2 ，即 2 2 c a  . 由题意，得 2 2 2a  .解得 2.a  于是 1c  ， 2 2 2 2 1 1b a c     .故椭圆的方程为 2 2 12 x y  . （2）设直线 AB 的方程为 1x ty  ， 1 1( , )A x y ， 2 2( , ).B x y 由 2 2 1, 2 2 x ty x y     消去 x 并整理，得 2 2( 2) 2 1 0.t y ty    因为直线 AB 与椭圆交于 ,A B 两点，所以 1 2 1 22 2 2 1, . 2 2 ty y y y t t      2 2 2 1 2 1| | ( ) ( )AB x x y y    - 7 - 2 2 2 1 2 1[( 1) ( 1)] ( )ty ty y y      2 2 2 1( 1)( )t y y   2 2 2 1 1 2( 1)[( ) 4 ]t y y y y    2 2 2 2 2 2 2 1 2 2( 1)( 1)[( ) 4 ] . 2 2 2 t tt t t t          点 O 到直线 AB 的距离 2 1 1 d t   . 因为 O 是线段 AC 的中点，所以点 C 到直线 AB 的距离为 2 .d 2 2 2 22 1 2 2( 1) 1 2 2 1| | 22 2 21 ABC t tS AB d t tt         △ . 令 2 1t u  ，则 1u≥ . 2 2 2 2 2 2 2 = 211 12 ABC uS u u uu u      △ ≤ ， 当且仅当 1u u  ，即 1u  ，亦即 0t  时， ABC△ 面积的最大值为 2 .[ 此时直线 AB 的方程为 1x   . 22.已知函数    2= ln 2 0 .f x a x ax    （1）若曲线  =y f x 在点   1 1P f， 处的切线与直线 2y x  垂直，求函数  =y f x 的 单调区间； （2）若对于  0,x   都有    2 1f x a  成立，试求 a 的取值范围； （3）记      .g x f x x b b R    ，当 1a  时，函数  g x 在区间 1,e e   上有两个零点， 求实数 b 的取值范围. 解析：（Ⅰ）直线 2y x  的斜率为 1．函数 ( )f x 的定义域为 (0, ) ， 因为 2 2( ) af x x x     ，所以 2 2(1) 11 1 af       ，所以 1a  ． 所以 2( ) ln 2f x xx    ． 2 2( ) xf x x   ． 由 ( ) 0f x  解得 2x  ；由 ( ) 0f x  解得 0 2x  ． 所以 ( )f x 的单调增区间是 (2, ) ,单调减区间是 (0,2) ． - 8 - （Ⅱ） 2 2 2 2( ) a axf x x x x      ， 由 ( ) 0f x  解得 2x a  ；由 ( ) 0f x  解得 20 x a   ． 所以 ( )f x 在区间 2( , )a   上单调递增，在区间 2(0, )a 上单调递减． 所以当 2x a  时，函数 ( )f x 取得最小值， min 2( )y f a  ． 因为对于 (0, )x   都有 ( ) 2( 1)f x a  成立，所以 2( ) 2( 1)f aa   即可． 则 2 2ln 2 2( 1)2 a aa a     ．由 2lna aa  解得 20 a e   ． 所 以 a 的 取 值 范 围 是 2(0, )e ． （ Ⅲ ） 依 题 得 2( ) ln 2g x x x bx      ， 则 2 2 2( ) x xg x x    ． 由 ( ) 0g x  解得 1x  ；由 ( ) 0g x  解得 0 1x  ． 所以函数 ( )g x 在区间 (0, 1) 为减函数，在区间 (1, )  为增函数． 又因为函数 ( )g x 在区间 1[ , ]e e 上有两个零点，所以 1( ) 0, ( ) 0, (1) 0. g e g e g     ≥ ≥ 解得 21 1b ee   ≤ ． 所以 b 的取值范围是 2(1, 1]ee   ．