1
肥东县高级中学 2020-2021 学年高二上学期期中考试
数 学（文）试题
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1.已知直线 2 6 0x a y 与直线 2 3 2 0a x ay a 平行，则 a 的值为（ ）
A. 0 或 3 或 1 B. 0 或 3 C. 3 或 1
D. 0 或 1
2. A 、 B 分别是椭圆
2
2 13
x y 的左顶点和上顶点， C 是该椭圆上的动点，则点 C 到直
线 A B 的距离的最大值为（ ）
A. 6 3 B. 6 3 C. 6 3
2
D. 6 3
2
3.某中学高一年级从甲、乙两个班各选出 7 名学生参加国防知识竞赛，他们取得的成绩（满
分 100 分）的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是 85，乙班学生成绩的中位数是 83，则
x y 的值为（ ）
A. 8 B. 168 C. 9
D. 169
4.甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠 6 小时，假定它们在一昼夜的时间段中随机地到达，
则这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率是（ ）
A. 9
16 B. 1
2 C. 7
16
2
D. 3
8
5. 21 1y x 当曲线 3 3y k x 与直线 有两个不同交点时，则 k 的取值范围为
（ ）
A. 3 3 3 3,4 4
B. 3- 3 1
4 2
， C. 3- 3 1
4 2
， D. 1 3 3,2 4
6.执行如图所示的程序框图，若输入 的值为 6，则输出的值为
A. 105 B. 16 C. 15
D. 1
7. 设 椭 圆
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
的 左 、 右 焦 点 分 别 为 1 2F F、 ， 上 顶 点 为 B . 若
2 1 2BF F F =2，则该椭圆的方程为（ ）
A.
2 2
14 3
x y B.
2
2 13
x y C.
2
2 12
x y D.
2
2 14
x y
8.如图所示，一个圆乒乓球筒，高为 20 厘米，底面半径为 2 厘米，球桶的上底和下底分别
粘有一个乒乓球，乒乓球与球筒底面及侧面均相切（球筒和乒乓球厚度均忽略不计），一个
平面与两个乒乓球均相切，且此平面截球筒边缘所得的图形为一个椭圆，则该椭圆的离心率
为（ ）
3
A. B. C. D.
9.设点 ,i i iP x y 在直线 :i i i il a x b y c 上，若 1,2i i ii a b c i ，且 1 2 2PP 恒成
立，则 1 2c c 的值
A. 2 B. 4 C. 6
D. 8
10.下列选项中，说法正确的是（ ）
A. 命题“ ， ”的否定是“ ， ”
B. 命题“ 为真”是命题“ 为真”的充分不必要条件
C. 命题“若 ，则 ”是假命题
D. 命题“在中 中，若 ，则 ”的逆否命题为真命题
11.已知直线l 为圆 2 2 4x y 在点 2, 2 处的切线，点 P 为直线l 上一动点，点Q 为圆
2 21 1x y 上一动点，则 PQ 的最小值为（ ）
A. 2 B. 2 12
C.
1 2 D. 2 3 1
12.设 P 是椭圆
2 2
19 4
x y 上一动点，F1,F2 分别是左、右两个焦点则 1 2cos F PF 的最小值
是（ ）
A.
1
2 B.
1
9 C.
1
9
D.
5
9
二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
4
13. 如 果 直 线 1 : 1 5 0l ax b y 和 直 线 2 : 1 0l a x y b 都 平 行 于 直 线
3 : 2 3 0l x y ，则 1 2,l l 之间的距离为_______
14.为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所高校 , ,A B C 的相关人员中，抽取若干人
组成研究小组，有关数据见表（单位：人）
若 从 高 校 ,B C 抽 取 的 人 中 选 2 人 作 专 题 发 言 ， 则 这 2 人 都 来 自 高 校 C 的 概 率
P __________．
15. 直 线 3 2 0x y 与 圆 2 2 4x y 相 交 于 ,A B 两 点 ， 则 弦 AB 的 长 度 等 于
___________.
16.设 F1 ， F2 分别是椭圆 E：x2+ =1（0＜b＜1）的左、右焦点，过点 F1 的直线交椭圆 E 于
A、B 两点，若|AF1|=3|F1B|，AF2⊥x 轴，则椭圆 E 的方程为
三、解答题(共 6 小题 ,共 70 分)
17. （12 分）已知圆 2 2: 2 0C x y x my 经过点 3, 1 .
（1）若直线 : 2 0l x y t 与圆 C 相切，求 t 的值；
（2）若圆 2 2 2: 6 10 ( 0)M x y r r 与圆 C 无公共点，求 r 的取值范围.
18. （10 分）已知命题 p ： 2 4 5 0x x ，命题 q ： 2 22 1 0x x m （ 0m ）．
（1）若 p 是 q 的充分条件，求实数 m 的取值范围；
（2）若 5m ， p q 为真命题， p q 为假命题，求实数 x 的取值范围．
19. （12 分）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖。抽奖规则如
下：1、抽奖方案有以下两种：方案 a ，从装有 1 个红球、2 个白球（仅颜色不同）的甲袋
中随机摸出 1 个球，若是红球，则获得奖金 15 元，否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放
回甲袋中；方案b ，从装有 2 个红、1 个白球（仅颜色不同）的乙袋中随机摸出 1 个球，若
是红球，则获得奖金 10 元，否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回乙袋中。
抽奖条件是：顾客购买商品的金额满 100 元，可根据方案 a 抽奖一；满足 150 元，可根据方
案b 抽奖（例如某顾客购买商品的金额为 310 元，则该顾客采用的抽奖方式可以有以下三种，
根据方案 a 抽奖三次或方案b 抽奖两次或方案 ,a b 各抽奖一次）。已知顾客 A 在该商场购买
商品的金额为 250 元。
（1）若顾客 A 只选择根据方案 a 进行抽奖，求其所获奖金为 15 元的概率；
5
（2）当若顾客 A 采用每种抽奖方式的可能性都相等，求其最有可能获得的奖金数（0 元除
外）。
20. （12 分）已知直线 l 经过点 6,4P ，斜率为 k
（Ⅰ）若l 的纵截距是横截距的两倍，求直线l 的方程；
（Ⅱ）若 1k ，一条光线从点 6,0M 出发，遇到直线l 反射，反射光线遇到 y 轴再次反
射回点 M ，求光线所经过的路程。
21. （12 分）某校高二 2 班学生每周用于数学学习的时间 x（单位： h ）与数学成绩 y （单
位：分）之间有如表数据：
x 24 15 23 19 16 11 20 16 17 13
y 92 79 97 89 64 47 83 68 71 59
（Ⅰ）求线性回归方程；
（Ⅱ）该班某同学每周用于数学学习的时间为 18 小时，试预测该生数学成绩．
参考数据： 17.4x ， 74.9y ，
10
2
1
3182i
i
x
，
10
2
1
58375i
i
y
，
10
1
13578i i
i
x y
回归直线方程参考公式： 1
2 2
1
ˆ
n
i ii
n
ii
x y nxy
b
x nx
， ˆˆa y bx
22. （12 分）已知椭圆 C： （a＞0，b＞0）的离心率为 ，点 A（0，﹣2）
与椭圆右焦点 F 的连线的斜率为 ．
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）O 为坐标原点，过点 A 的直线 l 与椭圆 C 相交于 P，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，
求直线 l 的方程．
6
参考答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
D D C C B C A B C C B C
1.D
【解析】∵直线 2 6 0x a y 与直线 2 3 2 0a x ay a 平行
∴ 21 3 2 0a a a ，即 2 2 3 0a a a
∴ 0a ， 1a ，或 3a
经验证当 3a 时，两直线重合.
故选 D
2.D
【解析】由椭圆方程可得 3,0 , 0,1A B ，可得 AB 方程为 3 1 03 x y ，即
3 3 0x y ， 设 3cos ,C sin ， 则 点 C 到 直 线 A B 的 距 离 为
3cos 3 3
1 3
sin
1 6 36 32 4 2sin
，故选 D.
【方法点晴】本题主要考查椭圆的方程与性质及利用三角函数求最值，属于难题. 求与三角
函数有关的最值常用方法有以下几种：①化成 2sin siny a x b x c 的形式利用配方法求
最值；②形如 sin
sin
a x by c x d
的可化为 sinx y 的形式利用三角函数有界性求最值；③
sin cosy a x b x 型，可化为 2 2 siny a b x 求最值 .本题是利用方法③的思路解
答的.
3.C
【解析】∵甲班学生成绩的平均分是 85，
∴79+78+80+80+x+85+92+95=85×7，
即 x=6.
∵乙班学生成绩的中位数是 83，甲班学生成绩的中位数是 80+x=83，得 x=3；
∴若 y
⩽
1，则中位数为 81，不成立。
7
若 y>1，则中位数为 80+y=83，
解得 y=3.
∴x+y=6+3=9，本题选择 C 选项.
4.C
【解析】设甲到达的时刻为 x，乙到达的时刻为 y，则所有基本事件构成的平面区域为
={ , | 0 24 0 24}x y x y ， ，设“这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待”
为 事 件 A ， 则 事 件 A 包 含 的 基 本 事 件 构 成 的 平 面 区 域 为
={ , | 0 24 0 24, 6}A x y x y x y ， ，如图中阴影部分所示。
由几何概型概率公式得 18 18=1 24 24
SP A S
阴影 7=16
，即这两艘船中至少有一艘在停靠
泊位时必须等待的概率为 7
16
，选 C。
5.B
【 解 析 】 由 图 知 ， k 的 取 值 范 围 为 ,AB ACk k , 由 AB 与 圆 相 切 得
2
2
3 1 3 3 3 3 3 3 1 11 8 12 3 0 4 4 3 1 21 AB AC
k k k k k k
k
k 的取值范围为 3- 3 1
4 2
， ,选 B.
8
6.C
【解析】根据程序框图确定框图所要执行的运算，由输入的 依次进行运算求 ，根据判断
框中的条件判断运算是否执行，得到结果，故选 C．
7.A
【解析】由已知可得 2 2 21{ 32
c b a ca
所求方程为
2 2
14 3
x y ，故选 A.
8.B
【解析】不妨设椭圆方程为 =1，（a＞b＞0），
由题意得 ，
解得 a=8，b=2，c= =2 ，
∴该椭圆的离心率为 e= = = ．故选：B．
9.C
【解析】由题意得当 1 1 11i a b c 时， ，所以直线 1l 过定点 1,1M ，
当 2 2 22 2( )i a b c 时， ，所以直线 2l 过定点 2,2N 。
∵ 1 2 2PP 恒成立，
∴ 1 2l l 。
又 2 21 2 1 2 2MN ，
∴ 1 2,MN l MN l ,
9
∵ 2 1 12 1MNk
∴ 1 2,l l 的斜率为 1 。
∴直线 1l 的方程为 1 1y x ，即 2x y ；
直线 2l 的方程为 2 2y x ，即 4x y 。
∴ 1 2 2 4 6c c 。选 C。
10.C
【解析】对应 A，命题“ ， ”的否定是“ ， ”错误；对于 B，当命
题“ 为真”， 可能一真一假， 不一定是真命题，当 是真命题时， 都
是真命题，此时 为真，故命题“ 为真”是命题“ 为真”的必要不充分条件，
错误；对于 C，若 ，当 时， 与 的大小关系不确定，假命题；对于 D，
“在中 中，若 ，则 或 ，假命题，命题的逆否命题也是
假命题，故答案为 C．
11.B
【解析】由题意可得：直线l 为 y 2 2x ，即 x y 2 2 0
圆心 1,0 到直线l 的距离为 d
1 0 2 2 22 22
，
∴ PQ 的最小值为 2 22 1 12 2
故选：B
12.C
【解析】由椭圆的对称性可知当点 P 为短轴顶点时 1 2F PF 最大，此时 1 2cos F PF 取得最
小值，此时 1 2 1 23 2 2 5PF PF a F F c 22 2
1 2
2 1cos 2 9
a a cF PF a a
13. 2 5
【解析】∵ 1 3/ /l l ，∴ 2 -(1 ) 0a b ，同理 2 1 1 0a ，解得 1 , 02a b ，因此
1 : 2 10 0l x y ， 2 : 2 0l x y ， 2 5d ．
10
14. 3
10
【解析】根据分层抽样的方法，可得 2
36 18 54
x y ，解得 1, 3x y ，
所以若从高校 ,B C 抽取的人中选 2 人作专题发言，共有10种情况，
则这二人都来自高校C 共有 3种情况，所以概率为 3
10P C ．
15. 2 3
【解析】 2 2 4x y 圆 的圆心为 0 0， .半径 2r ，
圆心到直线 3 2 0x y 的距离 2 12d
弦长 2 4 1 2 3AB
故答案为 2 3
16.x2+ =1
【解析】由题意，F1（﹣c，0），F2（c，0），AF2⊥x 轴，∴|AF2|=b2 ，
∴A 点坐标为（c，b2），
设 B（x，y），则
∵|AF1|=3|F1B|，
∴（﹣c﹣c，﹣b2）=3（x+c，y）
∴B（﹣ c，﹣ b2），
代入椭圆方程可得 ，
∵1=b2+c2 ，
∴b2= ， c2= ，
∴x2+ =1．
所以答案是：x2+ =1．
11
17.(1) 1t 或 9t . (2) 0,13 5 13 5,r
【解析】将点 3, 1 的坐标代入 2 2 2 0x y x my ，
可得 4m ，
所以圆的方程为 2 2 2 4 0x y x y ，即 2 21 2 5x y ，
故圆心为 1, 2C ，半径 5r .
（1）因为直线l 与圆C 相切，所以圆心C 到直线l 的距离等于圆的半径，
即
22
2 1 2
5
2 1
t
，
整理得 4 5t ，
解得 1t 或 9t .
（2）圆 M 的圆心为 6,10M ，则 13MC ,
由题意可得圆 M 与圆C 内含或外离，
所以13 5r 或13 5 r ，
解得 13 5r 或 13 5r .
所以 r 的取值范围为 0,13 5 13 5, .
18.（1） 4,m ；（2） 4, 1 5,6x ．
【解析】（1）对于 1,5p A ： ，对于 q : 1 ,1B m m ，
由已知， A B ，∴ 1-m 1,{1 5,m
∴ 4,m .
（2）若 p 真： 1 5x ，若 q 真： 4 6x ，
由已知， p 、q 一真一假.
①若 p 真 q 假，则 1 5
{ 4 6
x
x x
或 ，无解；
②若 p 假 q 真，则 1 5{
4 6
x x
x
或 ，∴ x 的取值范围为 4, 1 5,6 .
12
19.(1) 4
9
；(2)15 元.
（1）记甲袋中红球是 r ，白球分别为 1 2,w w
由题意得顾客 A 可以从甲袋中先后摸出 2 个球，其所有等可能出现的结果为
1 2 1 1 1 1 2 2 2 1 2 2, , , , , , , , , , , , , , , , ,r r r w r w w r w w w w w r w w w w 共 9 种，
其中结果 1 2 1 2, , , , , , ,r w r w w r w r 可获奖金 15 元，所以顾客 A 所获奖金为 15 元的概
率为 4
9 .
（2）由题意的顾客 A 可以根据方案 a 抽奖两次或根据方案 ,a b 各抽奖一次。由（1）知顾客
A 根据方案 a 抽奖两次所获奖金及其概率如表 1：
记乙袋中红球分别是 1 2,R R ，白球W
则顾客 A 根据方案 ,a b 各抽奖一次的所有等可能出现的结果为
1 2 1 1 1 2 1 2 1 2 2 2, , , , , , , , , , , , , , , , ,r R r R r W w R w R w W w R w R w W 共 9 种
其中结果 1 2, , ,r R r R 可获奖金 25 元。结果 ,r W 可获奖金 15 元，
1 1 1 2 1 2 1 2 2, , , , , , , , ,w R w R w W w R w R 可获奖金 10 元，其余可获奖金 0 元，所以顾
客 A 根据方案 ,a b 各抽奖一次所获奖金及其概率如表 2：
由表 1，表 2 可知顾客 A 最有可能获得的奖金数为 15 元.
20.（1） : 2 3 0l x y 或 : 2 16 0l x y ；（2） 4 17 .
【解析】（Ⅰ）由题意得 0k 。
直线l 的方程为 4 6 6 4y k x y k x ，即 ，
令 0x ，得 6 4y k
13
令 0y ，得 4 6x k
∵l 的纵截距是横截距的两倍
46 4 2 6k k
解得 2
3k 或 2k
∴直线 2 6 43l y x 的方程为 或 2 6 4y x ，
即 2 3 0x y 或 2 16 0x y
（Ⅱ）当 1k 时，直线 10 0l x y 的方程为 ，
设点 M 关于l 的对称点为 1 ,M a b ，
则
16{ 6 10 02
b
a
a y
，
解得 10{ 4
a
b
，
1 10,4M点 的坐标为 ，
1 10,4M 关于 y 轴的对称点为 2 10,4M
光线所经过的路程为 2 2
2| | 6+10 +(0-4) 4 17M M
21.（1） （2）
【解析】
（Ⅰ） ， ，
因此可求得回归直线方程 .
（Ⅱ）当 时， ，
故该同学预计可得 分左右．
14
22. 【解析】（1）设 F（c，0）．
∵直线 AF 的斜率为 ，
∴ = ，解得 c= ．
又离心率为 e= = ，
由 b2=a2﹣c2，解得：a=2，b=1，
∴椭圆 E 的方程为 +y2=1．
（2）设 P（x1，y1），Q（x2，y2），由题意可设直线 l 的方程为：y=kx﹣2，与椭圆方程联
立，
整理得：（1+4k2）x2﹣16kx+12=0，当△=16（4k2﹣3）＞0 时，即 k2＞ 时，
x1+x2= ，x1•x2= ，
∴|PQ|= ，
∵点 O 到直线 l 的距离 d= ，
∴S△OPQ= •d•|PQ|= ，
设 =t＞0，则 4k2=t2+3，
∴S△OPQ= = ≤1，
当且仅当 t=2，即 =2，解得 k=± 时取等号，且满足△＞0，
∴△OPQ 的面积最大时，直线 l 的方程为：y=± x﹣2
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