1
肥东县高级中学 2020-2021 学年高二上学期期中考试
数 学(理)试题
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只
有一项是符合题目要求的.
1.直线 1 : 2l y x 与直线 2 : 0l ax by c ( 0abc )相互垂直,当 , ,a b c 成等差数列时,
直线 1 2,l l 与 y 轴围成的三角形的面积 S ( )
A. 9
20 B. 9
10
C. 9
5 D. 2
3
2.若圆 2 2 2 2 1 0x y x y 的面积被直线 1 0ax by ( 0a , 0b )平分,则 ab
的最大值是( )
A. 1
16 B. 1
4 C. 4
D. 16
3.若执行下面的程序框图,则输出的 值是( )
A. 2 B.
3
1 C.
2
3 D. 2
4.连掷一枚均匀的骰子两次,所得向上的点数分别为 ,m n ,记 t m n ,则下列说法正确
的是( )
2
A. 事件“ 12t ”的概率为 1
21 B. 事件“ t 是奇数”与“ m n ”
互为对立事件
C. 事件“ 2t ”与“ 3t ”互为互斥事件 D. 事件“ 8 32t mn 且 ”的概率为 1
4
5.随着人民生活水平的提高,对城市空气质量的关注度也逐步增大,图 2 是某城市 1 月至 8
月的空气质量检测情况,图中一、二、三、四级是空气质量等级, 一级空气质量最好,一
级和二级都是质量合格天气,下面四种说法正确的是( )
①1 月至 8 月空气合格天数超过 20 天的月份有 5 个
②第二季度与第一季度相比,空气达标天数的比重下降了
③8 月是空气质量最好的一个月
④6 月份的空气质量最差
A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④
D. ②③④
6.设定点 1 0, 3F 、 2 0,3F ,动点 P 满足 1 2
9 0PF PF a aa
,则点 P 的轨迹是
( )
A. 椭圆 B. 线段 C. 不存在 D. 椭圆或线段
7.设命题 : 0p x , 2log 2 3x x ,则 p 为( )
A. 0x , 2log 2 3x x B. 0x , 2log 2 3x x
C. 0x , 2log 2 3x x D. 0x , 2log 2 3x x
8.某同学同时掷两颗骰子,得到点数分别为 ,a b ,则椭圆
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
的离心率
3
2e 的概率是( )
A. 1
18 B. 5
36 C.
1
6 D. 1
3
3
9.已知两圆 2 22 2
1 2: 4 169, : 4 9C x y C x y ,动圆在圆 1C 内部且和圆 1C 相内
切,和圆 2C 相外切,则动圆圆心 M 的轨迹方程为( )
A.
2 2
164 48
x y B.
2 2
148 64
x y C.
2 2
164 48
x y
D.
2 2
148 64
x y
10.设 P 为椭圆
2 2
19 4
x y 上的一点, 1 2,F F 是该椭圆的两个焦点,若 1 2: 2:1PF PF ,
则 1 2PF F 的面积为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
11.如图,设椭圆
2 2
2 2: 1x yE a b
( 0a b )的右顶点为 A ,右焦点为 F , B 为椭圆 E
在第二象限上的点,直线 BO 交椭圆 E 于点C ,若直线 BF 平分线段 AC 于 M ,则椭圆 E
的离心率是( )
A. 1
2 B. 1
3
C. 2
3 D. 1
4
12.下列结论错误的是( )
A.命题“若 p ,则 q ”与命题“若 q ,则 p ”互为逆否命题
B.命题 :" 0,1 ,1 xp x e e ( e 是自然对数的底数),命题 2:" , 1 0"q x R x x ,
则 p q 为真
C.“ 2 2am bm ”是“ a b ”成立的必要不充分条件
D.若 p q 为假命题,则 p q、 均为假命题
二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
4
13.若圆 2 2: 2 4( 0)C x a y a 被直线 : 3 0l x y 截得的弦长为 2 3 ,则
a __________.
14.袋中有 20 个大小相同的球,其中标号为 0 的有10个,标号为 1,2,3,4n n 的有 n 个.现
从袋中任取一球, 表示所取球的标号.若 2, 1a E ,则 D 的值为_____.
15.椭圆
2 2
2 2 1x y
a b
( a 0b )的左、右焦点分别是 1 2F F, ,过 2F 作倾斜角为120 的直
线与椭圆的一个交点为 M ,若 1MF 垂直于 2MF ,则椭圆的离心率为 .
16.下列命题中,假命题的序号有__________.
(1)“ 1a ”是“函数 2 1f x x x a x R 为偶函数”的充要条件;
(2)“直线l 垂直平面 a 内无数条直线”是“直线l 垂直平面 a ”的充分条件;
(3)若 0xy ,则 0x y ;
(4)若 2
0 0 0: , 2 2 0p x R x x ,则 2: , 2 2 0p x R x x .
三、解答题(共 6 小题 ,共 70 分)
17.已知直线 : 1 2 3 6 0m a x a y a , : 2 3 0n x y .
(1)当 0a 时,直线l 过 m 与 n 的交点,且它在两坐标轴上的截距相反,求直线l 的方程;
(2)若坐标原点O 到直线 m 的距离为 5 ,判断 m 与 n 的位置关系.
18. (10 分)某种商品价格与该商品日需求量之间的几组对照数据如下表:
(1)求关于的线性回归方程;
(2)利用(1)中的回归方程,当价格 35x 元 /kg 时,日需求量 y 的预测值为多少?
参考公式:线性归回方程: ˆy bx a ,其中
5
1
5 2
1
i ii
ii
x x y y
b
x x
, a y bx
19.(12 分)已知 f x x , 1g x x .
(1)若 x 是从区间 3,4 上任取的一个实数, 2y ,求满足 | 1f x g y 的概率.
(2)若 x 、 y 都是从区间 0,4 上任取的一个实数,求满足 2 2 1f x g y 的概率.
5
20. (12 分)设命题 2 1: 01
cp c
,命题 q :关于 x 不等式 22 1x x c 的解集为 R .
(1)若命题 q 为真命题,求实数 c 的取值范围;
(2)若命题 p 或 q 是真命题, p 且 q 是假命题,求实数 c 的取值范围.
21.(12 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知 3,0 , 3,0A B ,动点 M 满足 1MA MB ,
记动点 M 的轨迹为 C .
(1)求C 的方程;
(2)若直线 : 4l y kx 与C 交于 ,P Q 两点,且 6PQ ,求 k 的值.
22. (12 分)已知圆 2 2: 4O x y 恰好经过椭圆
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
的两个焦点和
两个顶点.
(1)求椭圆C 的方程;
(2)经过原点的直线l (不与坐标轴重合)交椭圆C 于 ,A B 两点, AM x 轴,垂足为 M ,
连接 BM 并延长 BM 交椭圆C 于 N ,证明:以线段 BN 为直径的圆经过点 A .
6
参考答案
1. A 2.B 3.C 4.D 5.A 6.D 7.C 8.C 9.C 10.C 11.B 12.C
13. 2-1 14.11 15. 3 1 16.(2)(3)
17.(1)3 7 0x y 或 12 0x y ;(2) / /m n 或 m n
【解析】(1)联立 3 6 0{ 2 3 0.
x y
x y
,
解得 21,{ 9,
x
y
即 m 与 n 的交点为(021,-9).
当直线l 过原点时,直线l 的方程为 3 7 0x y ;
当直线l 不过原点时,设l 的方程为 1x y
b b
,将(-21,-9)代入得 12b ,
所 以 直 线 l 的 方 程 为 12 0x y , 故 满 足 条 件 的 直 线 l 方 程 为 3 7 0x y 或
12 0x y .
(2)设原点O 到直线 m 的距离为 d ,
则
2 2
6 5
1 2 3
ad
a a
,解得: 1
4a 或 7
3a ,
当 1
4a 时,直线 m 的方程为 2 5 0x y ,此时 / /m n ;
当 7
3a 时,直线 m 的方程为 2 5 0x y ,此时 m n .
18.(1)所求线性回归方程为 0.32 14.ˆ 4y x
(2)价格 35x 元/ kg 时,日需求量 y 的预测值为3.2kg
【解析】(1)依据题设运用平均数公式分别算出 1 10 15 20 25 30 205x ,
1 11 10 8 6 5 85y ,然后再算出
5 2 2 2 2 2 2
1
10 5 0 5 10 250i
i
x x
, 及
5
1
i i
i
x x y y
10 3 5 2 0 0 5 2 10 3 80 .进而求出
7
5
1
5 2
1
80 0.32250
i ii
ii
x x y y
b
x x
. 代入回归方程求出
8 0.32 20 14.4a y bx . 最终求出线性回归方程为 0.32 14.ˆ 4y x .(2)依
据(1)的结论直接将 35x 代入回归方程 0.32 14.ˆ 4y x 求得,
0.32 35 14. 3ˆ 4 .2y ,即当价格 35x 元/ kg 时,日需求量 y 的预测值为3.2kg.
解: (1)由所给数据计算得
1 10 15 20 25 30 205x ,
1 11 10 8 6 5 85y ,
5 2 2 2 2 2 2
1
10 5 0 5 10 250i
i
x x
,
5
1
i i
i
x x y y
10 3 5 2 0 0 5 2 10 3 80 .
5
1
5 2
1
80 0.32250
i ii
ii
x x y y
b
x x
.
8 0.32 20 14.4a y bx .
所求线性回归方程为 0.32 14.ˆ 4y x .
(2)由(1)知当 35x 时, 0.32 35 14. 3ˆ 4 .2y
故当价格 35x 元/ kg 时,日需求量 y 的预测值为3.2kg.
19.(1) 3
7P (2)
32
【解析】(1)由 1f x g y 知 1 1x y y ,
所以 2x ,
因为 3 4x ,即所有基本事件构成的线段长度为 7.
设“满足 | 1f x g y ”为事件 A,则事件 A 包含的基本事件构成的线段长度为 3,
由几何概型概率公式得
3
7P A .
8
所以满足 1f x g y 的概率为 3
7P .
(2)由 2 2 1f x g y 知 22| | 1 1x y ,
得 22 1 1x y ,
因为 0 4x , 0 4y ,故所有基本事件构成的平面区域的面积为为 16.
设“满足 2 2 1f x g y ”为事件 B,则事件 B 包含的基本事件构成的区域的面积为
21 12 2
,
由几何概型概率公式得 2
16 32P B
。
所以满足 2 2 1f x g y 的概率为
32P .
20.(1)当 q 为真时, 5
8c ;(2) c 的取值范围是 1 5, 1,2 8
。
【解析】(1)当 q 为真时,
∵不等式 22 1x x c 的解集为 R ,
∴当 x R 时, 2 24 1 4 1 0x c x c 恒成立.
∴ 2 24 1 4 4 1 0c c ,∴ 8 5 0c
∴当 q 为真时, 5
8c
(2)当 p 为真时,
∵ 2 1 01
c
c
,∴当 p 为真时, 1 12 c ;
当 q 为真时, 5
8c ,
由题设,命题 p 或 q 是真命题, p 且 q 是假命题,
p 真 q 假可得, 1 5
2 8c
p 假 q 真可得 1
2c 或 1c
综上可得 5
8c 或 1c
则 c 的取值范围是 1 5, 1,2 8
.
9
21.(1) 2 2 10x y (2) 15k
【解析】(1)设点 M 的坐标为 ,x y ,
则 3 , , 3 ,MA x y MB x y ,
所以 2 29 1MA MB x y ,即 2 2 10x y ,
所以C 的方程为 2 2 10x y ,.
(2)由(1)知 C 为圆心是 0,0 ,半径是 10 的圆,
设 0,0 到直线l 的距离为 d ,则
2
4
1
d
k
,
因为 22 10 6PQ d ,
所以 1d ,
由点到直线的距离公式得
2
4 1
1k
,
解得 15k .
22. 【解析】(1)由题意可知, 2b c , 2 2 2 2a b c ,
所以椭圆C 的方程为
2 2
18 4
x y .
(2)证明:设直线l 的斜率为 0k k , 0 0 0, 0A x y x ,在直线l 的方程为 y kx ,
0 0 0, , ,0B x y M x .
直线 BM 的斜率为 0 0
0 02 2 2
y kx k
x x
,所以直线 BM 的方程为 02
ky x x ,
联立
2 2
0
18 4{
2
x y
ky x x
得 2 2 2 2 2
0 02 2 16 0k x k x x k x ,
记 ,B N 横坐标分別为 , , ,B B N Nx y x y .由韦达定理知:
2
0
0 2
2
2B N N
k xx x x x k
,
10
所以
2
0
02
2
2N
k xx xk
,于是
2
0
2 2N
k xy k
,
所以直线 AN 的斜率为
2
0
020
2
00
2
12
2
2
N
N
k x kxy y k
k xx x k
k
,
因为 1 1k k
.所以 AN BN ,
所以以线段 BN 为直径的圆一定经过点 A .