2020-2021学年安徽省池州市第一中学高二第一学期9月月考数学（理）试题 Word版

- 1 - A B CDA1 D1 C1B1P 池州一中 2020-2021 学年第一学期高二年级九月考 数 学 试 卷 （理科） (考试时间：120 分钟 满分：150 分) 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。每小题只有一个正确答案，请把正 确答案涂在答题卡上） 1．在下列命题中，不是公理的是（ ） A．平行于同一条直线的两条直线互相平行 B．空间中，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两角相等或互补 C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 2．已知 a、b 是两条平行直线，且 a∥平面β，则 b 与β的位置关系是（ ） A．平行 B．相交 C．b 在平面β内 D．平行或 b 在平面β内 3．把 3个半径为 R 的铁球熔成一个底面半径为 R 的圆柱，则圆柱的侧面积为 A． 22 R B． 24 R C． 26 R D． 28 R 4．在空间四边形 ABCD中， AB AD ， BC CD ，则 AC 与 BD 所成的角为（ ） A．90o B． 60o ； C． 45o D． 30o 5．设 ,m n 是两条不同的直线， ,  是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A．若 m n ， //n  ，则 m  B．若 //m  ，   则 m  C．若 , ,m n n     则 m  D．若 m n ， n  ，   ，则 m  6．已知圆锥的全面积是底面积的 3倍，则该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角是（ ） A． 0120 B． 0150 C． 0180 D． 0240 7．在 ABC 中， 6AB  ， 8BC  ， 10AC  ， ABC 所在平面外一点 P 到 A 、 B 、C 的 距离都为13 ，则 P 到平面 ABC 的距离为（ ） A．12 B．11 C．10 D．8 8．将边长为 a 的正方形 ABCD沿对角线 AC 折起，使得 BD a ，则三棱锥 D ABC 的体 积为（ ） A． 31 6 a B． 31 12 a C． 33 12 a D． 32 12 a 9．如图，在棱长为 1 的正方体中 ABCD－A1B1C1D1，点 P 在线段 AD1 上运动，则下列命题错 误的是( ) - 2 - A．异面直线 C1P 和 CB1 所成的角为定值 B．直线 CD 和平面 BPC1 平行 C．三棱锥 D－BPC1 的体积为定值 D．直线 CP 和平面 ABC1D1 所成的角为定值 10．如图，在平面四边形 ABCD中，AB BC ，AD CD ， 120BAD   ， 2AB AD  ． 若点 E 为边 CD 上的动点，则 EA BE uur uur 的最大值为 A． 25 4  B． 6 C． 21 4  D． 9 2  11．在 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 C c B b A a cos4cos3cos2  ， 则 （ ） A． 3 35 B． 4 35 C． 1 7 D． 6 35 12．设 A ， B ，C ， D 是同一个半径为 2 的球的球面上四点， 2,  DAABCDA 平面 ， 60BAC ，则三棱锥 D ABC 体积的最大值为 . A． 3 2 B． 3 3 2 C． 5 3 2 D． 7 3 2 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13．一个水平放置的平面图形，其斜二测直观图是一个等腰梯形， 其底角为 45°，腰和上底均为 1．如图，则平面图形的实际面 积为______________． 14．在 ABC 中， ,4,6  BCAB 边 AC 上的中线长为 10 ，则 BABC  . 15．直三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， 090BCA  ， D 、 F 分别是 1 1A B 、 1 1AC 中点，若 1BC CA CC  ，则异面直线 BD 与 AF 所成的角的余弦值为 . 16．已知三棱锥 ABCP 的四个顶点在球 O 的球面上， 3 PCPBPA ， ABC 是正 三角形， NM , 分别是 PA，AB 的中点， 90CMN ，则球 O 的表面积为 . 三、解答题 17．（本题满分 10 分） 如图，直三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， D ， E 分别是 AB ， 1BB 的中点． （Ⅰ）证明： 1BC ∥平面 1ACD ； - 3 - （Ⅱ）设 1 2AA AC CB   ， 32AB ，求三棱锥 1C A DE 的体积． 18．（本题满分 12 分） 在锐角 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 3,3 22  abccba 且 . （Ⅰ）求角 A. （Ⅱ）求 bc 3 的取值范围. 19．（本题满分 12 分） 从一张半径为 3 米的圆形铁皮中裁剪出一块扇形铁皮（如图 1 阴影部分），并卷成一个深 度为 h 米的圆锥筒（如图 2），若所裁剪的扇形铁皮的圆心角为 2 3 rad . （1）求圆锥筒的容积； （2）在（1）中的圆锥内有一个底面圆半径为 x 米的内接圆柱（如图 3），求内接圆柱侧面积 最大时 x 的值. 20．（本题满分 12 分）如图，四棱锥 P ABCD 中， AP PCD 平面 ， AD BC∥ ， 1 , ,2AB BC AD E F  分别为线段 ,AD PC 的中点. （Ⅰ）求证： AP BEF∥平面 ； （Ⅱ）求证： BE PAC 平面 . A1 C1A CBD E B1 - 4 - 21．（本题满分 12 分） 如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是矩形．已知 42  ADABPA ， 52PD ， 60PAB  ∠ ． （1）证明： AD  平面 PAB ； （2）求直线 PC 与平面 ABCD所成的角的正弦值； 22．（本题满分 12 分） 在底面是菱形的四棱锥 P-ABCD 中，∠ABC＝60°，PA＝AC＝a，PB＝PD＝ 2a，点 E 在 PD 上，且 PE：ED＝2：1 （1）点 F 在棱 PC 上且 BF∥平面 AEC，求线段 CF 的长度； （2）在（1）的条件下，求点 F 到平面 ACE 的距离. AB C DP - 5 - 池州一中 2020-2021 学年第一学期高二年级九月考 数 学 试 卷 （理科）答 案 一、选择题： 1．B . 2.D． 3.D． 4．A． 5.C． 6.Ｃ． 7．Ａ． 8.Ｄ． 9.D． 10.C． 11.B．12.B． 二．填空题 13. 22 . 14. 6 . 15. 10 30 . 16. 9 三、解答题 17. 【解析】： （Ⅰ）连接 点，于交 OCAAC 11 连接 OD . 因为四边形 11AACC 为矩形，所以O 为 的中点，1AC 又因为 D 是 AB 的中点. 所以 1 ODBC ∥ ，又因为 1 1 1A A 平面 OD 平面BC CD, CD 所以 1BC ∥平面 1ACD ……………………………………………… 分5 （ Ⅱ ） 因 为 1 ,AA ABC CD ABC 平面 平面 ， 所 以 1AA CD ， 又 因 为 BDADBCAC  , 所以 AB CD ，又因为 DEAABAAAABAA 111 ,, 平面 所以 1CD DE 平面A ……………………………………… 分7 又因为 1,2 33 1  CDS DEA ， 所以三棱锥 1C A DE 的体积 2 3 3 1 1   CDSV DEA …………………………… 分10 18.【解析】：（Ⅰ）因为 3,3 22  abccba ， 所以 2 3 2 3 2cos 22222  bc cb bc acbA ，所以 6 A ………………………… 分6 （Ⅱ ）因为 ,3a 6 A ，所以 32sinsinsin  C c B b A a ， 所以 BbCc sin32,sin32  所以 BBBCbc sin326sin6sin32sin63              3sin32cos3sin3 BBB ………………………… 分9 A1 C1 A C B D E B1 - 6 - 因为 ABC 为锐角三角形，所以      2,3 B ……………………… 分10 所以 bc 3 的取值范围为  33， ………………………………… 分12 19.【解析】：（Ⅰ）设圆锥的底面半径为 r ，母线长为l 所以  33 232 1 2 rl ，因为 3l ，所以 1r ，圆锥筒的容积为 3 22  ………… 分6 （Ⅱ ）设圆柱的高为 ,d 因为圆锥的高 22h ， 1r ， h dh r x  所以  xd  122 ，圆柱的侧面积  xxxdS  1242 侧面积 当 时， 2 1x 圆柱的侧面积 侧面积S 取最大值，最大值为 2 ……………… 分12 20.【解析】（Ⅰ）设 AC BE O ，连结 OF，EC， 由于 E 为 AD 的中点， 1 , / /2AB BC AD AD BC  ， 所以 / / ,AE BC AE AB BC  , 因此四边形 ABCE 为菱形，所以 O 为 AC 的中点， 又 F 为 PC 的中点， 因此在 PAC 中，可得 / /AP OF ．………… 分4 又OF  平面 BEF ， AP  平面 BEF ，所以 AP ∥平面 BEF ．……………… 分6 （Ⅱ）由题意知， / / ,ED BC ED BC ，所以四边形 BCDE 为平行四边形， 因此 / /BE CD ．又 AP  平面 PCD，所以 AP CD ，因此 AP BE ．………… 分8 因为四边形 ABCE 为菱形，所以 BE AC ．………………………………………… 分10 又 AP AC A ，AP，AC  平面 PAC，所以 BE  平面 PAC ．…………………… 分12 21.【解析】 （1）因为底面 ABCD 是矩形，所以 AD AB ， 又因为 5224  PDADPA ，， ， 所以 222 PDADPA  ，即 AD PA 又 AP AB A ， PABABPA 平面, ， 所以 AD  平面 PAB ． …………………… 分6 （2）设 AB 的中点为 O 点，连接 OCPO, ，因为 ,ABPA  60PAB  ∠ 所以 PAB 为正三角形， PO AB …………………………………………………… 分8 又 AD  平面 PAB ， PABPO 平面 ，所以 PO AD 又 AD AB A ， ABCDABAD 平面, ，所以 ABCDPO 平面 所以 PCO 为直线 PC 与平面 ABCD所成的角…………………………………… 分10 又 52,22,32  PCOCPO ，所以 5 15sin PCO A B C D P - 7 - 即线 PC 与平面 ABCD所成的角的正弦值为 5 15 .……………………………… 分12 22.【解析】 （1）设 PE 的中点为 M 点，连接 MB ,在连接 MFOEOACBD ,点，连接于交 因为四边形 ABCD为菱形，所以 ODOB  ，又 MEMP  所以 BM ∥ OE ，又 AECOEAECBM 平面平面  , 所以 BM ∥ AEC平面 ，又 BF ∥ AEC平面 ， BMFBFBMBBFBM 平面 ,, 所以 BMF平面 ∥ AEC平面 ，又 BMFMF 平面 所以 MF ∥ AEC平面 ，又 CEAECPCDPCDMF  平面平面平面 , 所以 MF ∥CE ， F 为 PC 的中点， aPCCF 2 2 2 1  …………………… 分6 （2）因为 BF ∥ AEC平面 ，所以 FB, 两点到平面 AEC 的距离相等 设 F 点到平面 AEC 的距离为 h …………………………………………… 分7 因为 aPDPBaADABPA 2,  所以 ADPAABPA  , ，又 ABCDADPAAADPA 平面 ,, 所以 ABCDPA 平面 ……………………………………………………………… 分8 又 aCEaAEaAC 3 22,3 5,  ，所以 2 3 1 aS ACE  ……………………… 分10 所以 ABCPABCEACEB VVV   3 1 即 ABCACE SPASh   9 1 3 1 即 2 2 4 3 933 1 aaah  即 ah 4 3 ……………………………………………… 分12 - 8 -