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海口四中 2020-2021 学年度高二第一学期
第一次月考数学试卷
考试时间：120 分钟；满分：150 分
注意事项：
1．答题前请在答题卷上填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第 I 卷（选择题）
一、单选题
1．已知全集 0,1,2,3,4U ，集合 1,2,3A ， 2,4B ，则 ( )U A Bð 为( )
A．{1,2,4} B．{2,3,4} C．{0,2,4} D．{0,2,3,4}
2．1 3
2
i
i
（ ）
A． 3 1
2 2 i B． 3 1
2 2i C． 3 1
2 2i D． 3 1
2 2i
3．若 1 a b
rr ， a b 且 2 3a b 与 4ka b 也互相垂直，则 k 的值为（ ）
A． 6 B．6 C．3 D． 3
4．已知 l，m，n 为不同的直线， ， ， 为不同的平面，则下列判断错误的是（ ）
A．若 m ， n ， // ．则 //m n
B．若 m ， n ， //m n ，则 //
C．若 l ， m ， n I ， //l ，则 //m n
D．若 ， ，则 //
5．设 xR ，则“ 3 27x ”是“ 1
3
log 1x ”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．在直三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， 1 1 1 1 12 2AA A B B C ，且 AB BC ，点
M
是 1 1AC 的中点，
则异面直线 MB 与 1AA 所成角的余弦值为 ( )
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A． 1
3 B． 2 2
3
C． 3 2
4
D． 1
2
7．已知函数 | |xf x e（ ） ， 1
3
log 2a f
， 22 log 3b f c f ， ,则( )
A． c a b B． c b a C． a b c D． a c b
8． ABC 是边长为 1 的等边三角形，CD 为边 AB 的高，点 P 在射线 CD 上，则 AP CP 的
最小值为（ ）
A． 1
8
B． 1
16
C． 3
16
D．0
二、多选题
9．下列函数中，既是偶函数又是区间 (0, ) 上增函数的有（ ）
A． | |2 xy B． 2
3y x C． 2 1y x D． 3y x
10．下图是函数 ( ) sin( )f x A x （其中 0A ， 0 ， ）的部分图象，下
列结论正确的是（ ）
A．函数
12y f x
的图象关于顶点对称
B．函数 f x 的图象关于点 ,012
对称
C．函数 f x 在区间 ,3 4
上单调递增
D．方程 ( ) 1f x 在区间 23,12 12
上的所有实根之和为 8
3
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11．已知 的面积为 3，在 所在的平面内有两点 P，Q，满足 2 0PA PC ，
2QA QB ，记 的面积为 S，则下列说法正确的是（ ）
A． / /PB CQ
B． 1 2
3 3BP BA BC
C． 0PA PC D． 4S
12．如图，正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的棱长为 1，线段 1 1B D 上有两个动点 E ，F ，且 2
2EF .
则下列结论正确的是（ ）
A．三棱锥 A BEF 的体积为定值
B．当 E 向 1D 运动时，二面角 A EF B 逐渐变小
C． EF 在平面 1 1ABB A 内的射影长为 1
2
D．当 E 与 1D 重合时，异面直线 AE 与 BF 所成的角为 π
4
第 II 卷（非选择题）
请点击修改第 II 卷的文字说明
三、填空题
13．命题“∀x∈R，x>sinx”的否定是________________.
14．已知 x y R、 ，且 1 94 1,x y x y
的最小值为__________
15．已知函数
1
2
log , 1,
( )
2 1, 1,x
x x
f x
x
若关于 x 的方程 ( )f x a 有且只有两个不相等的实数根,
则实数 a 的取值范围是_________.
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16．已知点 A ，B ，C ，D 均在球O 的球面上， 1AB BC ， 2AC ，若三棱锥 D ABC
体积的最大值是 1
3
，则球O 的表面积为__________
四、解答题
17．已知向量 3sin ,cosa x x ， cos ,cosb x x ，函数 2 1f x a b .
（1）求 f x 的最小正周期；
（2）当 π π,6 2x
时，若 1f x ，求 x 的值.
18．已知 ( , )2
且 6sin cos2 2 2
.
（1）求 cos 的值；
（2）若 1sin( ) 5
， ( , )2
，求 cos 的值.
19．已知函数 lg 2 lg 2f x x x .
（1）求 f x 的定义域； （2）判断 f x 的奇偶性并予以证明；
（3）求不等式 1f x 的解集.
20．在① 3 sin cosa c A a C ，② 2 sin 2 sin 2 sina b A b a B c C 这两个条件中
任选一个，补充在下列问题中，并解答．
已知 的角 A ， B ，C 对边分别为 , ,a b c ， 3c ，而且______．
（1）求 C ；
（2）求 周长的最大值．
21．如图，在四棱柱 1 1 1 1ABCD A B C D 中，底面 ABCD 是平行四边形， 1AA 平面 ABCD ，
3AD BD ， 3 2AB ， E 是 1CD 的中点．
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（1）证明： 1 //AD 平面 BDE ；
（2）若 1 4AA ，求三棱锥 1D BDE 的体积．
22．如图所示，在等腰梯形 ABCD 中， AD ∥ BC ， 60ADC ，直角梯形 ADFE 所在的
平面垂直于平面 ABCD ，且 90EAD ， 2 2 2AE AD DF CD .
（1）证明：平面 ECD 平面 ACE ；
（2）点 M 在线段 EF 上，试确定点 M 的位置，使平面 MCD 与平面 EAB 所成的二面角的余
弦值为 3
4
.
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答案
1．C
【解析】
【分析】
先根据全集 U 求出集合 A 的补集 U Að ，再求 U Að 与集合 B 的并集 ( )U A Bð ．
【详解】
由题得， 0,4 ,U A ð ( ) 0,4 2,4 0,2,4 .U A B ð 故选 C.
【点睛】
本题考查集合的运算，属于基础题．
2．A
【解析】
【分析】
根据复数的除法运算法则，即可求解.
【详解】
根据复数的除法运算法则，可得复数 1 3 (1 3 ) 3 1
2 2 ( ) 2 2
i i i ii i i
.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查了复数的运算法则，其中解答中熟记复数的除法运算法则是解答的关键，着重
考查运算与求解能力.
3．B
【解析】
【分析】
首先根据向量垂直得到其数量积等于零，之后结合题中条件，得到结果.
【详解】
由题意可得 0a b ，且 2 22 3 4 2 3 8 12 0a b ka b ka k a b b ，
所以 2 0 12 0k ，解得 6k ，
故选：B.
【点睛】
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该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量垂直的条件，向量数量积运算公式，
属于简单题目.
4．D
【解析】
【分析】
举出反例可判断 D 选项.
【详解】
若 m ， n ， // ．则 //m n ，正确；
若 m ， n ， //m n ，则 // ，正确；
若 l ， m ， n I ， //l ，则 //m n ，正确；
若 ， ，则 / / 或 与 相交，故 D 错误．
故选:D.
【点睛】
本题考查了直线与平面位置关系的判断，属于基础题.
5．B
【解析】
【分析】
解不等式分别求出 x 的范围，根据解集的包含关系和充要条件的判定方法得到结果.
【详解】
3 27x 3x ，则 3A x x
1
3
log 1x 0 3x ，则 0 3B x x
B A A 是 B 的必要不充分条件
本题正确选项： B
【点睛】
本题考查充分条件、必要条件的判定，关键是能够确定解集之间的包含关系，属于基础题.
6．B
【解析】
【分析】
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以 B 为原点， BA 为 x 轴， BC 为 y 轴， 1BB 为 z 轴，建立空间直角坐标系，求得
1 1, 1,2 2MB
， 1 0, 0 2AA ， ，利用空间向量夹角余弦公式能求出异面直线 MB 与
1AA 所成角的余弦值．
【详解】
在直三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， 1 1 1 1 12 2AA A B B C ，且 AB BC ，点 M 是 1 1AC ，
以 B 为原点， BA 为 x 轴， BC 为 y 轴， 1BB 为 z 轴，建立空间直角坐标系，
设 1 1 1 1 12 2 2AA A B B C ，
则 1 1,1,2 2M
， (0,0 0B ，）， (1,0 0A ，）， 1(1,0 2A ，），
1 1, 1,2 2MB
， 1 (0,0 2AA
，） ，
设异面直线 MB 与 1AA 所成角为 ，
则
1
1
4 2 2cos 318 24
MB AA
MB AA
,
异面直线 MB 与 1AA 所成角的余弦值为 2 2
3
，故选 B．
【点睛】
本题主要考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题．求异面直线所成的角主要方法有
两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向
向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线
等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解.
7．D
【解析】
【分析】
由题可得函数 f（x）是偶函数，且在（0，+∞）上单调递增，又 1 3
3
log 2 log 2a f f
且
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3 220 l g 3o log 2 分析即可得答案.
【详解】
∵函数 f（x）=e|x|，∴函数 f（x）是偶函数，且在（0，+∞）上单调递增，
∴ 1 3 3
3
log 2 loglo 2 2ga f f f
又 3 22 1 lo0 lo 3g g 2 ，
∴ a c b .
故选：D
【点睛】
本题主要考查了指数函数，对数函数的单调性，利用函数单调性比较函数值的大小，考查了
转化与化归的思想.
8．C
【解析】
【分析】
建立平面直角坐标系， 0,P t ， 3
2t ，则 2 23 3 3( )2 4 16
uuur uur
AP CP t t t ，进而可
求最小值.
【详解】
以 D 点为坐标原点，DC 所在直线为 y 轴，DA 所在直线为 x 轴建立直角坐标系，
1( ,0)2A ， 1( ,0)2B ， 3(0, )2C ，设 0,P t ，其中 3
2t
1( , )2AP t ， 3(0, )2CP t ， 2 23 3 3( )2 4 16
uuur uur
AP CP t t t ，当 3
4t 时取最
小值为 3
16
，所以 AP CP 的最小值为 3
16
．
故选：C
【点睛】
本题考查了平面向量的数量积运算，用坐标法求最值问题，考查了运算求解能力，属于一般
题目.
9．BC
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【分析】
根据偶函数的定义，f（﹣x）＝f（x）进行判断，再根据解析式判断单调性；
【详解】
A、令 | |( ) 2 xy f x ，则 f（﹣x）＝ | |2 x ＝ | |2 x ＝f（x），为偶函数，但在（0，+∞）上， 2 xy
是减函数，故错误；
B、令 2
3( )y f x x ，f（﹣x）＝ 2 2
3 3( )x x ，是偶函数，且在区间 (0, ) 上是增函数，故
B 正确；
C、令 2( ) 1y f x x ，f（﹣x）＝（﹣x）2+1＝x2+1＝f（x），且在区间 (0, ) 上是增函数，
故 C 正确；
D、令 3( )y f x x ，f（﹣x）＝ 3( )x ＝﹣x3＝﹣f（x），是奇函数，故 D 错误；
故选：BC．
10．ABD
【分析】
根据函数图象求出 ( )f x 的解析式，根据正弦型函数的性质判断选项正误.
【详解】
由已知， 2A ， 2 5
4 3 12 4
T ，因此T ，
∴ 2 2 ，
所以 ( ) 2sin(2 )f x x ，过点 2 , 23
，
因此 4 3 23 2 k ， k Z ，又 0 | | ，
所以
6
π ，∴ ( ) 2sin 2 6f x x
，
对 A， 2sin 212y f x x
图象关于原点对称，故 A 正确；
对 B，当
12x 时， 012f
，故 B 正确；
对 C，由 2 2 22 6 2k x k ，有
3 6k x k ， k Z 故 C 不正确；
- 11 -
对 D，当 23
12 12x 时，2 [0,4 ]6x ，所以 1y 与函数 y f x 有 4 个交点令横
坐标为 1x ， 2x ， 3x ， 4x ， 1 2 3 1
7 82 26 6 3x x x x ，故 D 正确.
故选：ABD.
11．BD
【分析】
利用向量的共线定义可判断 A；利用向量加法的三角形法则以及向量减法的几何意义即可判断
B；利用向量数量积的定义可判断 C；利用三角形的面积公式即可判断 D.
【详解】
由 2 0PA PC ， 2QA QB ，
可知点 P 为 AC 的三等分点，点 Q 为 AB 延长线的点，
且 B 为 AQ 的中点，如图所示：
对于 A，点 P 为 AC 的三等分点，点 B 为 AQ 的中点，
所以 PB 与CQ 不平行，故 A 错误；
对于 B， 2 2 1 2
3 3 3 3BP BA AP BA AC BA BC BA BA BC
,
故 B 正确；
对于 C， cos 0PA PC PA PC PA PC
，故 C 错误；
对于 D，设 ABC 的高为 h ， 1 32ABCS AB h ，即 6AB h ，
则 APQ 的面积 1 2 1 2 22 6 42 3 2 3 3APQS AQ h AB h ，故 D 正确；
故选：BD
12．AC
【分析】
对选项分别作图，研究计算可得.
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【详解】
选项 A:连接 BD ,由正方体性质知 1 1BDD B 是矩形，
1
1 1 2 212 2 2 4BEFS EF BB
连接 AO 交 BD 于点O
由正方体性质知 AO 平面 1 1BDD B ,
所以， AO 是点 A 到平面 1 1BDD B 的距离，即 2
2AO
1 1 2 2 1
3 3 4 2 12A BEF BEFV S AO
A BEFV 是定值.
选项 B:
连接 1 1AC 与 1 1B D 交于点 M ，连接 1 1,AD AB ，
由正方体性质知 1 1AD AB , M 是 1 1B D 中点，
AM EF ,又 1BB EF , 1 1/ /BB AA
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A EF B 的大小即为 AM 与 1AA 所成的角，
在直角三角形 1AA M 中， 1
2tan 2MAA 为定值.
选项 C:
如图，作 1 1 1 1, , ,FH A B EG A B ET EG
在直角三角形 EFT 中， 2 2 1cos45 2 2 2FT EF 1
2HG FT
选项 D:
当 E 与 1D 重合时， F 与 M 重合，连接 AC 与 BD 交于点 R ，连接 1D R , 1 / /D R BM
异面直线 AE 与 BF 所成的角,即为异面直线 1AD 与 1D R 所成的角,
在三角形 1AD R 中， 2 2
1 1 1 1
32, 2AD D R MB BB M B , 2
2AR
由余弦定理得 1
3cos 6AD R
故选：AC
13．∃x0∈R，x0≤sinx0
【分析】
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含一个量词命题的否定，先改量词，再否结论即可
【详解】
解：因为命题 p 为“∀x∈R，x>sinx”，
所以命题 p 为∃x0∈R，x0≤sinx0，
故答案为：∃x0∈R，x0≤sinx0
【点睛】
此题考查了命题的否定，改量词，否结论，属于基础题.
14．25
【分析】
由 1 9 1 94x yx y x y
，利用基本不等式的性质即可得结果.
【详解】
,x y R ,且 4 1x y ，
则 1 9 1 94x yx y x y
36 3613 13 2 25y x y x
x y x y
，
当 6y x 时，等号成立，故答案为 25 .
15． ( 1,0)
【分析】
由题画出函数 f x 的图像,转化方程 ( )f x a 有且只有两个不相等的实数根为 y f x 与
y a 有两个交点,进而通过图像求解即可
【详解】
解：由題意,知当 1x 时, 1
2
log 0x ,当 1x 时, 2 1 1x ,即可得 ( )f x 的最大值为 1,
作出函数
1
2
log , 1
( )
2 1, 1x
x x
f x
x
的图像,如图所示,
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由关于 x 的方程 ( )f x a 有且只有两个不相等的实数根,知 ( )y f x 与 y a 的图像有两个不
同的交点,通过观察可得,实数 a 的取值范围是 ( 1,0)
故答案为： ( 1,0)
16． 81
16
【分析】
设 ABC 的外接圆的半径为 r ，可得 ABC 为直角三角形，可求出 2
2r = ，由已知得 D 到
平面 ABC 的最大距离 h ，设球O 的半径为 R ，则 2 2 2( )R r h R ，由此能求出 R ，从而
能求出球 O 的表面积.
【详解】
设 ABC 的外接圆的半径为 r ，
∵ 1AB BC ， 2AC ，则 2 2 2AB BC AC ，
ABC 为直角三角形，且 2
2r =
1 11 12 2ABCS ，
∵三棱锥 D ABC 体积的最大值是 1
3
， A ， B ，C ， D 均在球 O 的球面上，
∴ D 到平面 ABC 的最大距离
133 3 21
2
ABC
Vh S
，
设球O 的半径为 R ，则 2 2 2( )R r h R ，
- 16 -
即
2
2 22 (2 )2R R
，解得 9
8R ，
∴球O 的表面积为
29 814 8 16S
.
故答案为： 81
16
.
17．（1） ；（2）
3
【分析】
（1）首先根据向量数量积的坐标表示函数 ( )f x ，然后对函数进行降幂,化简为
π2sin 2 6f x x ,求出周期;
（2）由已知条件，先求 2 6x 的范围，然后求在范围内满足条件的 值．
【详解】
解：（1） 3sin ,cosa x x ， cos ,cosb x x ，
23sin cos cosa b x x x
2 1f x a b 22 3sin cos 2cos 1x x x π3sin 2 cos2 2sin 2 6x x x .
即 π2sin 2 6f x x
∴ f x 的最小正周期是 π .
（2）由 1f x ，得 π 1sin 2 6 2x
，
∵ π π,6 2x
，∴ π π 7π2 ,6 2 6x
，∴ π 5π2 6 6x ，∴ π
3x .
18．（1） 3
2
；（2） 6 2 1
10
.
【分析】
（1）将已知条件两边平方，求得sin 的值，进而求得 cos 的值.
- 17 -
（2）先求得 cos 的值，然后利用 cos cos[ ( )] ，结合两角差的余弦公式，
求得 cos 的值.
【详解】
（1）因为 6sin cos2 2 2
，两边同时平方，得 2 2 3sin 2sin cos cos2 2 2 2 2
，
31 sin 2
， 1sin 2
.
又
2
，所以 3cos 2
.
（2）因为
2
，
2
，
所以
2
，故
2 2
.
又 1sin( ) 5
，得 2 6cos( ) 5
，
所以 cos cos[ ( )] cos cos( ) sin sin( )
3 2 6 1 1 6 2 1( )2 5 2 5 10
.
【点睛】
本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查三角恒等变换，属于中档题.
19．（1） 2,2 ．（2）见解析;(3) 18 ,211
．
【详解】
试题分析：(1)根据对数函数的定义,列出关于自变量 x 的不等式组,求出 f x 的定义域;
(2)由函数奇偶性的定义,判定 f x 在定义域上的奇偶性;
(3)化简 f x ,根据对数函数的单调性以及定义域,求出不等式 f x >1 的解集.
试题解析：（1）要使函数 f x 有意义．则 2 0{2 0
x
x
，
解得 2 2x .故所求函数 f x 的定义域为 2,2 ．
- 18 -
（2）由（1）知 f x 的定义域为 2,2 ，设 2,2x ，则 2,2x ．
且 lg 2 lg 2f x x x f x ， 故 f x 为奇函数．
（3）因为 f x 在定义域 2,2 内是增函数， 因为 1f x ，所以 2 102
x
x
，解得 18
11x ．
所以不等式 1f x 的解集是 18 ,211
．
20．（1）
3C ；（2）3 3
【分析】
(1)选①,先利用正弦定理化简可得sin 3sin sin sin cosA C A A C ,进而得到
3sin cos 1C C ,结合C 的范围即可求得
3C ;选②,先利用正弦定理可得
2(2 ) (2 ) 2a b a b a b c ,再利用余弦定理可得 1cos 2C ,结合 C 的范围即可求得
3C ;
(2)由余弦定理可得 2 2 3a b ab ,再利用基本不等式可得 2 3a b ,进而求得 ABC 周长
的最大值.
【详解】
(1)选①:
因为 3 sin cosa c A a C ,
所以 sin 3sin sin sin cosA C A A C ,
因为sin 0A ,所以 3sin cos 1C C ,即 1sin 6 2C ,
因为 0 C ,所以 5
6 6 6C ,所以
6 6C ,即
3C ;
选②:
因为 2 sin 2 sin 2 sina b A b a B c C ,
所以 22 2 2a b a b a b c ,即 2 2 2a b c ab ,
所以
2 2 2
cos 1
2 2
a b cC ab
,
因为 0 C ,所以
3C ;
- 19 -
(2)由(1)可知: 3C ,
在 ABC 中,由余弦定理得 2 2 2 cos 3a b ab C ,即 2 2 3a b ab ,
所以 2
2 33 3 4
a ba b ab
,
所以 2 3a b ,当且仅当 a b 时等号成立,
所以 3 3a b c ,即 ABC 周长的最大值为3 3 .
21．（1）证明见解析；（2） 3
【分析】
（1）首先连接 AC 交 BD 于O ，连接 EO ，根据三角形中位线性质得到 1 //AD EO ，再利用
线面平行的判断即可证明.
（2）首先根据题意得到点 E 到平面 BCD的距离等于点 1D 到平面 BCD的距离的一半，再利
用 1 1 D BDE D BCD E BCDV V V 即可得到答案.
【详解】
（1）连接 AC 交 BD 于O ，连接 EO ，如图所示：
因为O ， E 分别为 AC ， 1CD 的中点，所以 1 //AD EO .
又因为 EO 平面 BDE ， 1AD 平面 BDE ，所以 1 //AD 平面 BDE .
（2）因为 1AA 平面 ABCD ， 1 1//AA DD ，所以 1DD 平面 ABCD .
又因为 E 是 1CD 的中点，
所以点 E 到平面 BCD的距离等于点 1D 到平面 BCD的距离的一半.
即 E 到平面 BCD的距离 1
1 22
d DD .
- 20 -
因为 3BC BD ， 3 2CD ，
所以 2 2 2BD BC CD ，即 BCD 为直角三角形， 1 93 32 2△ BCDS .
所以
1 1 1
1 1
3 3△ △ D BDE D BCD E BCD BCD BCDV V V S DD S d
1 9 1 94 2 33 2 3 2
.
22．（1）证明见解析；（2）点 M 为线段 EF 中点
【分析】
（1）推导出 EA 平面 ABCD ， EA CD ，CD AC ，从而CD 平面 ACE ，由此能证
明平面 ECD 平面 ACE ；
（2）以C 为坐标原点，以CA ，CD 所在直线分别为 x 轴、 y 轴建立空间直角坐标系，利用
向量法能求出点 M 为线段 EF 中点时，平面 MCD 与平面 EAB 所成的二面角的余弦值．
【详解】
解：（1）因为平面 ABCD 平面 ADFE ，
平面 ABCD 平面 ADFE AD ，
EA AD ， EA 平面 ADFE ，所以 EA 平面 ABCD ，
又CD 平面 ABCD ，所以 EA CD ，
在△ ADC 中， 1CD ， 2AD ， 60ADC ，
由余弦定理得， 1 4 2 1 2cos60 3AC ，
所以 2 2 2AC CD AD ，所以CD AC .
又CD EA ， AE AC A ，所以CD 平面 ACE ，
又CD 平面 ECD，所以平面 ECD 平面 ACE ；
（2）以C 为坐标原点，以CA ，CD 所在直线分别为 x 轴、 y 轴建立如图所示的空间直角坐
标系， (0,0,0)C ， ( 3,0,0)A ， 3 1, ,02 2B
， (0,1,0)D ， ( 3,0,2)E ， (0,1,1)F ，
3 1, ,02 2AB
， (0,0,2)AE ， (0,1,0)CD ， ( 3, 1,1)FE ， (0,1,1)CF ，
设 ( 3 , , )(0 1)FM FE
，则 ( 3 ,1 ,1 )CM CF FM .
设平面 ABE 的一个法向量为 1 1 1, ,m x y z ，
- 21 -
则 0
0
m AB
m AE
，即 1 1
1
3 1 02 2
2 0
x y
z
，取 1 1x ，得 (1, 3,0)m .
设平面 MCD 的一个法向量为 2 2 2, ,n x y z ，
由 0
0
n CD
n CM
，得 2
1 2 2
0
3 (1 ) (1 ) 0
y
x y z
，
令 2 1x ，得 (1 0 3 )n ，， ，
因为平面 MCD 与平面 EAB 所成的二面角的余弦值为 3
4
，
所以
2
1 3cos , 42 4 2 1
m nm n
m n
，
整理得 28 2 1 0 ，
解得 1
2
或 1
4
（舍去），
所以点 M 为线段 EF 中点时，平面 MCD 与平面 EAB 所成的二面角的余弦值为 3
4
.
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