2020-2021学年贵州省安顺市平坝第一高级中学高二9月月考数学试题（解析版）

第 1 页 共 16 页 2020-2021 学年贵州省安顺市平坝第一高级中学高二 9月月考 数学试题 一、单选题 1．集合    20 1M x x x R N x x x R     ， ， ， ，则 M N  （ ） A．[0,1] B．[0,1) C．(0,1] D．(0,1) 【答案】B 【解析】先利用一元二次不等式的解法化简集合 B，再利用交集运算求解. 【详解】 因为集合      20 1 1 1M x x x R N x x x R x x x R          ， ， ， ， ， 所以 M N   0 1x x x R  ， ， 故选：B 【点睛】 本题主要考查集合的基本运算以及一元二次不等式的解法，属于基础题. 2．已知变量 x，y 之间具有线性相关关系，其回归方程为 y ＝－3＋b x，若 10 1 i i x   =17， 10 1 4i i y   ，则b 的值为( ) A．2 B．1 C．－2 D．－1 【答案】A 【解析】试题分析：依题意知， 17 1.710x   ， 4 0.410y   ，而直线 3y bx     一 定经过点 ( , )x y ， 所以 3 1.7 0.4b      ，解得 2b   . 【考点】线性相关关系. 3．等差数列{ }na 中， 2 3 43 9a a a  ， ，则 1 6a a 的值为（ ） A．14 B．18 C．21 D．27 【答案】A 【解析】 等差数列 n{a }中， 2 3 4a 3 a a 9  ， ， 2 2 2 9 1a d a d d       第 2 页 共 16 页 1 2 2a a d    6 2 1 64 7, 14a a d a a     ，故选 A. 4．某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出 8 名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩 的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的平均分是 86，乙班学生成绩的中位数是 83， 则 x y 的值为（ ） A．9 B．10 C．11 D．13 【答案】D 【解析】试题分析：由题意可得 79 78 82 80 85 86 94 96 868 x         ,解得 8x  ; 81 80 832 y   ,解得 5y  ． 8 5 13x y     ．故 D 正确． 【考点】平均数,中位数． 5．把 52 化为二进制数为（ ） A．  2110100 B．  2101010 C．  2110010 D．  2100110 【答案】A 【解析】直接利用“除 k 取余法”求解. 【详解】 52 2 26...0  ， 26 2 13...0  ， 13 2 6...1  ， 6 2 3...0  ， 3 2 1...1  ， 1 2 0...1  ， 所以    10 252 110100 ， 故选：A 【点睛】 本题主要考查十进制与二进制的转化以及“除 k 取余法”的应用，属于基础题. 第 3 页 共 16 页 6．若变量 x y， 满足约束条件 1 0 2 8 0 0 x y x y x          ，则 3z x y  的最大值为（ ） A．8 B． 4 C．1 D．9 【答案】D 【解析】画出该不等式组表示的平面区域，平移直线 3y x  ，根据 z 表示的几何意义 得出最值. 【详解】 该不等式组表示的平面区域如下图所示 平移直线 3y x  ，当直线过点 (2,3)A 时， z 取得最大值，即 max 3 2 3 9z     故选：D 【点睛】 本题主要考查了根据线性规划求最值，属于中档题. 7．从编号为 0，1，2，3，...，79 的 80 件产品中，利用系统抽样的方法抽取容量为 5 的样本，若编号为 74 的产品在样本中，该组样本中产品最小的编号为（ ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】B 【解析】根据系统抽样的定义，求出样本间隔即可. 【详解】 系统抽样的样本间隔为： 80 165  ， 因为 74 16 4 10   ， 所以该组样本中产品最小的编号为 10 故选：B 【点睛】 第 4 页 共 16 页 本题主要考查系统抽样的应用，属于基础题. 8．从一群玩游戏的小孩子中随机抽取 20 人，一个分一个苹果，让他们返回继续游戏， 过了一会儿，再从中抽取30 人，发现其中有 5 个小孩曾分过苹果，估计参加游戏的小 孩人数为（ ） A．80 B．100 C．120 D．无法计算 【答案】C 【解析】根据从中抽取30 人，发现其中有 5 个小孩曾分过苹果，得到总体中分过苹果 的小孩的比例求解. 【详解】 设参加游戏的小孩人数为 x， 由题意得： 20 5 30x  ， 解得 120x  ， 所以参加游戏的小孩人数为 120， 故选：C 【点睛】 本题主要考查随机抽样和样本估计总体的实际应用，属于基础题. 9．如图，网格纸上小正方形的长为 1，粗线部分画出的是某多面体的三视图如图，则 该几何体的体积为（ ） A． 4 B．8 C．16 D． 20 【答案】D 【解析】根据三视图得到该几何体是长方体减取相邻四个顶点的三棱锥剩余部分，然后 再由柱体和锥体的体积公式求解.， 【详解】 如图所示： 第 5 页 共 16 页 该几何体是长方体 1 1 1 1ABCD A B C D 减法三棱锥 1D ACD 剩余部分， 其中 13, 2, 4AB AD AA   ， 所以该几何体的体积为： 1 1 1 1 3 2V AB AD AA AB AD AA        ， 1 13 2 4 3 2 4 203 2          ， 故选：D 【点睛】 本题主要考查三视图还原几何体以及几何体体积的求法，还考查了空间想象和运算求解 的能力，属于基础题. 10．数据 1 2 ... nx x x， ，， 的平均数是 _ x ，标准差为 s ，则数据 1 2 1 1 12 2 ... 22 2 2 nx x x  ， ，， 的平均数及方差为（ ） A． 21 1 22 2x s ， B． 21 122 2x s ， C． 21 122 4x s ， D． 21 12 22 4x s ， 【答案】C 【解析】直接利用平均数、标准差和方差的公式求解. 【详解】 因为 1 2 ... nx x x， ，， 的平均数是 _ x ，标准差为 s ， 所以  1 2 1 ... nx x x xn    ，       2 2 2 1 2 1 ... ns x x x x x xn      + ， 第 6 页 共 16 页 所以数据 1 2 1 1 12 2 ... 22 2 2 nx x x  ， ，， 的平均数为： 1 2 1 1 1 12 2 ... 22 2 2 nx x x xn           + ，  1 2 1 1 1... 2 22 2nx x x xn        ， 数据 1 2 1 1 12 2 ... 22 2 2 nx x x  ， ，， 的方差为： 2 2 2 2 1 2 1 1 1 1 1 1 12 2 2 2 ... 2 22 2 2 2 2 2ns x x x x x xn                                                                  + ，       2 2 2 2 1 2 1 1 1...4 4nx x x x x x sn        + 故选：C 【点睛】 本题主要考查样本的平均数与方差，标准差，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 11．我国古代数学算经十书之一的《九章算术》中有一“衰分”问题，今有北乡八千七百 五十人，西乡七千二百五十人，南乡八千三百五十人，凡三乡，发役四百八十七人，则 西乡遣人（ ） A．一百零五人 B．一百二十五人 C．一百三十五人 D．一百四十五人 【答案】D 【解析】先求出西乡所占三乡的比例，然后再乘发役人数即可. 【详解】 因为西乡占： 7250 145 8750 7250 8350 487   ， 所以西乡遣人 145 487 145487   ， 故选：D 【点睛】 本题主要考查分层抽样，属于基础题. 12． 0.5( ) 2 1xf x log x - 的零点个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】由题得 0.5 0.5xlog x  ，在同一坐标系下，作出函数 0,5| log |, 0.5xy x y  的 第 7 页 共 16 页 图象，即得解. 【详解】 令 0.5 0.5( ) 2 1 0, 0.5x xf x log x log x   - ， 在同一坐标系下，作出函数 0,5| log |, (0.5) xy x y  的图象，如图所示， 由于 0,5| log |, (0.5) xy x y  的图象有两个交点， 所以 0.5( ) 2 1xf x log x - 的零点个数为 2, 故选：B 【点睛】 本题主要考查零点个数的判定，考查指数对数函数图象的作法，意在考查学生对这些知 识的理解掌握水平和数形结合分析推理能力. 二、填空题 13．在样本的频率分布直方图中，某个小长方形的面积是其他小长方形面积之和的 1 4 . 已知样本容量是 80.则该组的频数为________． 【答案】16 【解析】由频率分布直方图的特点可知每个小长方形的面积就是其对应的频率，从而求 出该组的频率，进而可求出频数 【详解】 解：设该组对应的小长方形的面积为 x ，则由题意得 1 (1 )4x x  ，解得 1 5x  ， 所以该组的频率为 1 5 ， 第 8 页 共 16 页 所以该组的频数为 1 80 165   ， 故答案为：16 【点睛】 此题考查频率分布直方图的应用，考查频数与频率的关系，属于基础题 14．总体由编号为 01,02，...，19，20 的 20 个个体组成，利用下列随机数表选取 5 个个 体，选取方法是从随机数表第 1 行的第 5 列和第 6 列数字开始由左到右依次选取两个数 字，则选出来的第 5 个个体的编号为________． （为方便说明，下面摘取了附表 1 的第 1 至第 2 行） 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481 【答案】 01 【解析】利用随机数表，按照随机数的读取方式逐个读取满足的个体编号，直至读取到 第 5 个满足的个体编号. 【详解】 根据要求可知依次读取到的个体编号为： 08,02,14,07,01 ， 所以选出的第 5 个个体的编号为： 01， 故答案为： 01. 【点睛】 本题考查利用随机数表法读取编号，难度较易.利用随机数表法读取编号时，注意开始 位置、每一次读取的数据位数、读取数据的范围、读取数据是否重复. 15．一个算法的程序框图如图所示，该程序运行后输出的结果为 99 100 ，则空白处应填 入的条件是___________ . 【答案】 99i  【解析】由循环功能   1 1 1 1... 11 2 2 3 1 1s i i i           与 i 关系，结合输出结果， 第 9 页 共 16 页 确定跳出循环的 i 值即可. 【详解】 1, 0i s  ， 第一次循环： 1 1 10 11 2 2 2s      ， 2i  ， 第二次循环： 1 1 11 , 31 2 2 3 3s i      ， …, 第 i 次循环：   1 1 1 1... 1 , 11 2 2 3 1 1s i ii i i             ， 因为该程序运行后输出的结果为 99 100 ， 所以 1 991 1 100i   11 , 100100 i   ， 所以应填入： 99i  故答案为： 99i  【点睛】 本题主要考查程序框图中的循环结构，属于基础题. 16．某公司借助手机微信平台推广自己的产品，对今年前 5 个月的微信推广费用 x 与月 利润 y （单位：百万元）进行了初步统计，得到下列表格中的数据： 经计算，微信推广费用 x 与月利润 y 满足线性回归方程 6.5 17.5y x    .则 p 的值为 __________． 【答案】50 【解析】先求得样本中心 ,x y ，再根据样本中心在回归直线 6.5 17.5y x    上求解. 【详解】    1 12 4 5 6 8 5, 30 40 60 70 405 5 5 px y p             ， 因为样本中心 ,x y 在回归直线 6.5 17.5y x    上， 所以 40 6.5 5 17.55 p    ， 解得 50p  ， 故答案为：50 第 10 页 共 16 页 【点睛】 本题主要考查回归直线方程的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 三、解答题 17．设计一个程序框图求函数 2 1( 0) 0( 0) 6( 0) x x y x x x         的函数值. 【答案】答案见解析 【解析】利用两个判断框即可画出框图． 【详解】 解：如图， 【点睛】 本题主要考查程序框图的应用，属于基础题． 18．某良种培育基地正在培育一种水稻新品种 A .将其与原有的一个优良品种 B 进行对 照实验.两种水稻各种植了 25 亩，所得亩产数据（单位:千克）如下： 品种 A ：357，359，367，368，375，388，392，399，400，405，412，414，415，421， 423，427，430，430，434，443，445，445，451，454 品种 B ：363，371，374，383，385，386，391，392，394，394，395，397，397，400， 401，401，403，406，407，410，412，415，416，422,430 （1）画出两组数据的茎叶图； （2）用茎叶图处理现有数据，有什么优点？ （3）通过观察茎叶图，对品种 A 与 B 的亩产量及稳定性进行比较，写出统计结论. 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）品种 A 的亩产稳定性较差. 第 11 页 共 16 页 【解析】（1）把两组数的百位和十位作为茎，个位作为叶，茎叶图如图所示； （2）样本不大，画茎叶图较方便，此时茎叶图不仅清晰明了地展示数据的分布情况， 便于比较，没有任何信息损失，而且可以随时记录新的数据； （3）通过观察茎叶图可以看出：品种 A 的亩产平均数比品种 B 大 【详解】 解：（1）把两组数的百位和十位作为茎，个位作为叶，茎叶图如图所示： （2）由于每个品种的数据都只有 25 个，样本不大，画茎叶图很方便，此时茎叶图不仅 清晰明了地展示数据的分布情况，便于比较，没有任何信息损失，而且可以随时记录新 的数据； （3）通过观察茎叶图可以看出： 品种 A 的亩产平均数比品种 B 大；品种 A 的亩产方差比品种 B 大， 所以品种 A 的亩产稳定性较差 【点睛】 此题考查茎叶图的画法，考查茎叶图的特点，考查利用茎叶图处理数据的能力，属于基 础题 19．如图，在 ABC 中，点 D 在 BC 边上， 60ADC   ， 2 7, 4AB BD  . ． （Ⅰ）求 ABD△ 的面积． （Ⅱ）若 120BAC   ，求 AC 的长． 第 12 页 共 16 页 【答案】（Ⅰ） 2 3 ；(Ⅱ） 7 . 【解析】 1 由题意 120BDA   ，由余弦定理可以计算出 AD 的长，从而计算出面 积；  2 运用正弦定理解三角形. 【详解】 （Ⅰ）由题意， 120BDA   在 ABD△ 中，由余弦定理可得 2 2 2 2 120AB BD AD BD AD cos      , 即 228 16 4 2AD AD AD     或 -6AD  （舍）, ∴ ABD△ 的面积 1 1 3sin 4 2 2 32 2 2S DB DA ADB          . （Ⅱ）在 ABD△ 中，由正弦定理得 sin sin AD AB B BDA   ， 代入得 21sin 14B  ，由 B 为锐角，故 5 7cos 14B  , 所以   21sin sin 60 sin60 cos cos60 sin 7C B B B       , 在 ADC 中，由正弦定理得 sin sin AD AC C CDA   ， ∴ 2 21 3 7 2 AC ，解得 7AC  . 【点睛】 本题考查了正弦定理、余弦定理和面积公式解三角形的综合运用，较为基础，理解题意， 运用公式进行求解，不要出现计算错误． 20．如图在四棱锥 S-ABCD 中，底面四边形 ABCD 为正方形，SD=CD=2a，SD  平面 ABCD，E 为 SD 的中点. 第 13 页 共 16 页 （1）试判断 BS 与平面 AEC 的位置关系，并说明理由； （2）求二面角 E AC B  的余弦值. 【答案】（1）见解析；（2） 6 3  【解析】（1）连接 BD 交 AC 于O ，连接 OE ，则三角形的中位线定理可得OE ∥ SB ， 再由线面平行的判定定理可得结论； （2）由已知可证得 AC  平面 SBD ，从而可得 AC OE ， AC OB ，所以 BOE 为二面角 E AC B  的平面角，而 BOE 与 DOE 互补，所以在直角三角形 DOE 中 求出 DOE 的余弦值 可得到结果 【详解】 解：（1） BS ∥平面 AEC 理由如下：连接 BD 交 AC 于O ，连接OE ， 因为四边形 ABCD 为正方形， 所以 BD AC ，OB OD ， 因为 E 为 SD 的中点， 所以 OE ∥ SB ， 因为 OE 在平面 AEC 内， SB 在平面 AEC 外， 所以 BS ∥平面 AEC ， （2）因为 SD  平面 ABCD， AC 在平面 ABCD 内， 所以 AC SD ， 因为 BD AC ， SD BD D ， 所以 AC  平面 SBD ， 因为 OE 在平面 SBD 内， 所以 AC OE ， 所以 BOE 为二面角 E AC B  的平面角， 因为四边形 ABCD 为正方形，SD=CD=2a， 所以 1 22OD BD a  ， 因为 E 为 SD 的中点，所以 1 2ED SD a  ， 在直角三角形 DOE 中， 2 2 2 22 3OE OD DE a a a     ， 所以 2 6cos 33 OD aDOE OE a     ， 第 14 页 共 16 页 因为 BOE 与 DOE 互补， 所以 6cos 3BOE   ， 所以二面角 E AC B  的余弦值为 6 3  【点睛】 此题考查线面平行的判定，考查二面角的求法，考查计算能力，属于基础题 21．为了解学生对“两个一百年”奋斗目标、实现中华民族伟大复兴中国梦的“关注度” （单位：天），某中学团委在全校采用随机抽样的方法抽取了 80 名学生（其中男女人数 各占一半）进行问卷调查，并进行了统计，按男女分为两组，再将每组学生的月“关注 度”分为 6 组：  0,5 ，  5,10 ，  10,15 ，  15,20 ，  20,25 ，  25,30 ，得 到如图所示的频率分布直方图． （1）求 a 的值； （2）求抽取的 80 名学生中月“关注度”不少于 15 天的人数. 【答案】（1）0.05；（2）50. 【解析】（1）根据频率分布直方图小矩形的面积之和即频率之和为 1 求解. （2）根据频率分布直方图分别得到男生、女生的频率再各乘 40，再求和即可. 【详解】 （1）因为 0.01 5 2 0.02 5 0.03 5 0.08 5 5 1a           ， 解得 0.05a  ； （2）抽取的 40 名男生中月“关注度”不少于 15 天的人数： 第 15 页 共 16 页  0.08 0.05 0.02 5 40 30     ， 抽取的 40 名女生中月“关注度”不少于 15 天的人数：  0.06 0.03 0.01 5 40 20     ， 所以抽取的 80 名学生中月“关注度”不少于 15 天的人数：30 20 50  . 【点睛】 本题主要考查频率分布直方图的应用，还考查了运用统计知识解决实际问题的能力，属 于基础题. 22．某企业为了对新研发的一批产品进行合理定价，将产品按事先拟定的价格进行试销， 得到一组销售数据  , 1,2,...,6i ix y i  ，如表所示： 试销单价 x （元） 4 5 6 7 8 9 产品销量 y （件） q 84 83 80 75 68 已知 80y  （1）求 q的值； （2）已知变量 ,x y 具有线性相关性，求产品销量 y 关于试销单价 x 的线性回归方程 ˆˆ ˆy bx a  . （可供选择的数据 6 6 2 1 1 3050, 271i i i i i x y x      ） 参考数据：线性回归方程中 ˆ ˆ,b a 的最小二乘估计分别是   1 22 1 ˆ,ˆ ˆ n i i i n i i x y nxy b a y bx x n x          【答案】（1）90 ；（2）  4 106y x   . 【解析】【详解】 （1）因为 84 83 80 75 68 806 qy       ，所以 90q  ； （2）因为 4 5 6 7 8 9 6.56x       ，所以   6 1 6 222 1 6 3050ˆ 6 6.5 80 4271 6 6.56 i i i i i x y xy b x x             ， 所以  80 4 6.5 106ˆˆa y bx       ，所以线性回归方程为  4 106y x   . 第 16 页 共 16 页 【点睛】 本题考查根据平均数计算参数以及求解线性回归方程，难度较易.求解线性回归方程中 a 的值，可以根据回归直线方程过样本点中心 ,x y 去求解.