2020-2021学年河北省唐山市高二上学期9月质量检测数学试题（解析版）

第 1 页 共 16 页 2020-2021 学年河北省唐山市高二上学期 9 月质量检测数学试 题 一、单选题 1．已知向量  4, 2a   ，  ,3b m ，若 //a b r r ，则 m  （ ） A． 6 B． 6 C． 3 2 D． 3 2  【答案】A 【解析】利用向量平行的坐标表示即可求出 m 的值. 【详解】 向量  4, 2a   ，  ,3b m ，若 //a b r r ， 则  4 3 2 0m    ， 解得： 6m   ， 故选：A 【点睛】 本题主要考查了向量平行的坐标表示，属于基础题. 2．在 ABC 中，已知 2BC  ， 1AC  ， 45B   ，则 A  （ ） A． 45 B． 60 C．90 D．135 【答案】C 【解析】利用正弦定理即可求解. 【详解】 在 ABC 中， 2BC  ， 1AC  ， 45B   ， 由正弦定理得： sin sin AC BC B A  ，即 1 2 sin 45 sin A  ，解得：sin 1A  ， 所以 A  90 ， 故选：C 【点睛】 本题主要考查了利用正弦定理解三角形，属于基础题. 3．同时抛掷两颗均匀的骰子，得到的点数和为 6 的概率为（ ） 第 2 页 共 16 页 A． 1 12 B． 1 9 C． 1 6 D． 5 36 【答案】D 【解析】掷两颗质地均匀的骰子，有 6 6 36  种结果，每种结果等可能出现，求出向 上的点数之和为 6的情况包含的结果，利用概率公式即可求解. 【详解】 抛掷两颗均匀的骰子， 有 6 6 36  种结果，每种结果等可能出现，出现向上的点数之 和为 6的情况有  1,5 、  2,4 、 3,3 、 4,2 、 5,1 有 5 种， 所以得到的点数和为 6的概率为 5 36P  ， 故选：D 【点睛】 本题主要考查了利用古典概率模型求概率，属于基础题. 4．已知等差数列 na 的前 n 项和为 nS ，若 1000 1021 1a a  ，则 2020S  （ ） A．2020 B．1021 C．1010 D．1002 【答案】C 【解析】利用等差数列的性质以及等差数列的前 n 项和公式即可求解. 【详解】 由 1000 1021 1a a  ，则 1 2020 1a a  ， 所以  1 2020 2020 2020 10102 a aS   . 故选：C 【点睛】 本题考查了等差数列的性质、等差数列的前 n 项和公式，需熟记公式，属于基础题. 5．设 x ， y 满足约束条件 4 3 2 2 x y x y x y         ，则 3z x y  的最大值为（ ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【解析】画出不等式表示的平面区域， 3z x y  表示斜率为3 的平行直线系，平移直 线可得当直线经过 4x y  和 2x y  的交点时，取到最大值． 【详解】 第 3 页 共 16 页 画出不等式表示的平面区域如图所示 3z x y  等价于 3y x z  ，表示斜率为 3 的平行直线系， 3z x y  的最大值，即 直线纵截距的最小值，联立方程 4 2 x y x y      ，解得 3 1 x y    ，则 3z x y  过 3,1 时取 到最大值8 故选：C 【点睛】 本题考查线性规划的应用，考查二元一次不等式组表示的平面区域，考查学生数形结合 能力，属于基础题． 6．下图是一个边长为 2 的正方形区域，为了测算图中阴影区域的面积，向正方形区域 内随机投入质点 600 次，其中恰有 225 次落在该区域内，据此估计阴影区域的面积为 （ ） A．1.2 B．1.5 C．1.6 D．1.8 【答案】B 【解析】根据几何概型概率的估计可知落在阴影部分的概率即为面积之比，列出式子即 可计算. 【详解】 设阴影部分的面积为 S ， 由几何概型的概率公式可知 225 2 2 600 S  ， 1.5S  . 故选：B. 第 4 页 共 16 页 【点睛】 本题考查几何概型的计算，属于基础题. 7．已知 0x  ， 0y  ， 2 2M x x y   ，  4 5N x y  ，则 M 和 N 大小关系为（ ） A． M N B． M N C． M N= D．以上都有可能 【答案】A 【解析】根据 0x  ， 0y  ，直接利用作差法比较. 【详解】 因为 0x  ， 0y  ， 所以  2 4 2 5 x yx x yM N     ，       2 22 2 24 8 05 2 5 2 x y yx xy y x y x y        . 故选：A 【点睛】 本题主要考查比较大小以及作差法的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 8．以下三个命题： ①对立事件也是互斥事件； ②一个班级有 50 人，男生与女生的比例为 3：2，利用分层抽样的方法，每个男生被抽 到的概率为 3 5 ，每个女生被抽到的概率为 2 5 ； ③若事件 A ， B ，C 两两互斥，则       1P A P B P C   . 其中正确命题的个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】由对立事件的定义可判断①；由分层抽样的定义可判断②；由互斥事件的概率 理解可判断③. 【详解】 对于①，由对立事件的定义可知对立事件一定是互斥事件，故①正确； 对应②，可知该班有男生 30 人，女生 20 人，由于不知道需要抽取多少人，所以无法得 出概率，故②错误； 第 5 页 共 16 页 对应③，事件 A ， B ，C 不一定包含所有事件，故       1P A P B P C   ，故③错 误. 故选：B. 【点睛】 本题考查考查对事件互斥、对立的理解，考查对分层抽样的理解，属于基础题. 9．已知 0a  ， 0b  ，且 4 2 4ab a b   ，则 2a b 的最小值为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【解析】由基本不等式得   224 2 2 2 2 22 a bab a b a b          ，即可由此求出 2a b 的最小值. 【详解】 由基本不等式可得   224 2 2 2 2 22 a bab a b a b          ， 令 2t a b  ， 0t  ， 则 2 4 2 t t  ，即 2 2 8 0t t   ，解得 4t   （舍去）或 2t  ， 当且仅当 2a b ，即 1 , 12a b  时， 2a b 取的最小值为 2. 故选：A. 【点睛】 本题考查利用基本不等式求最值，属于基础题. 10．下图是某校随机抽取 100 名学生数学月考成绩的频率分布直方图，据此估计该校本 次月考数学成绩的总体情况（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），下列说法 正确的是（ ） A．平均数为 74 B．众数为 60 或 70 C．中位数为 75 D．该校数学月考成绩 80 以上的学生约占 25% 第 6 页 共 16 页 【答案】D 【解析】根据平均数等于小矩形的面积乘以各小矩形底边中点横坐标之和可判断 A；取 小矩形面积最大的底边中点横坐标作为众数可判断 B；从左边开始将小矩形的面积之和 等于 0.5的横坐标作为中位数可判断 C；将成绩 80 以上的小矩形面积相加可判断 D. 【详解】 对于 A， 0.005 10 55 0.04 10 65 0.03 10 75x          0.02 10 85 0.005 10 95 73      ，故 A 不正确； 对于 B，由频率分布直方图可知众数为 65，故 B 不正确； 对于 C，设中位数为 x ，则  0.005 10 0.04 10 0.03 70 0.5x       ， 解得 2713x  ，故 C 不正确； 对于 D，数学月考成绩 80 以上的学生约占 0.02 10 0.005 10 0.25    ，即为 25% ，故 D 正确； 故选：D 【点睛】 本题考查了频率分布直方图求平均数、众数、中位数，考查了基本运算求解能力，属于 基础题. 11．如图，在 ABC 中， D 为 BC 中点， E 在线段 AD 上，且 2AE ED ，则 BE  （ ） A． 1 2 3 3AC AB   B． 1 2 3 3AC AB  C． 2 1 3 3AC AB  D． 2 1 3 3AC AB  【答案】B 【解析】求得 AD  关于 AB  、 AC  的表达式，利用平面向量的减法法则可得出 BE  关于 AB  、 AC  的表达式. 【详解】 DQ 为 BC 的中点，则 第 7 页 共 16 页    1 1 1 2 2 2AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC                  ， 2AE ED ， 2 3AE AD   ，  2 1 1 2 3 3 3 3BE AE AB AD AB AB AC AB AC AB                   . 故选：B. 【点睛】 本题考查平面向量的基底分解，考查了平面向量减法法则的应用，考查计算能力，属于 中等题. 12．某海域 A 处的甲船获悉，在其正东方向相距50 3 n mile 的 B 处有一艘渔船遇险后 抛锚等待营救.甲船立即前往救援，同时把信息通知在 A 南偏东 30°，且与 A 处相距 25 3 n mile 的C 处的乙船.那么乙船前往营救遇险渔船时的目标方向线（由观测点看 目标的视线）的方向是北偏东多少度？（ ） A．30° B．45° C．90° D．60° 【答案】D 【解析】根据余弦定理求出 BC ，根据正弦定理求出 ACB ，从而可得答案 【详解】 解：如图所示， 30MAC NCA    ，则 60CAB  ， 由题意可知， 25 3, 50 3AC AB  ， 由余弦定理得 2 2 2(25 3) (50 3) 2 25 3 50 3 cos60BC       ， 解得 75BC  ， 由正弦定理得 75 50 3 sin 60 sin ACB   ， 解得 90ACB  ， 所以 60NCB   ， 故选：D 第 8 页 共 16 页 【点睛】 此题考查正弦定理和余弦定理的应用，考查方位角问题，属于基础题 二、填空题 13．已知数列 na 为等比数列， 3 5 1a a  ，则 2 4 3 5 4 62a a a a a a   ______________. 【答案】1 【解析】由等比数列的性质可得：  22 2 4 3 5 4 6 3 3 5 5 3 5 22 2a a a a a a a a a a a a      ， 即可求解. 【详解】 因为等比数列 na 满足 3 5 1a a  ， 由等比数列的性质可得：  2 4 3 5 4 6 3 3 5 5 3 22 2 52 2 1a a a a a a a a a a a a      ， 故答案为：1 【点睛】 本题主要考查了等比数列的性质，属于中档题. 14．已知 0x  ，则 2 1x xy x   的最小值为______________. 【答案】3 【解析】化简函数为 2 1 1 1x xy xx x      ，再利用基本不等式即可求出. 【详解】  0x  ， 2 1 1 11 2 1 3x xy x xx x x           ， 当且仅当 1x x  ，即 1x  时等号成立， 故 2 1x xy x   的最小值为 3. 第 9 页 共 16 页 故答案为：3. 【点睛】 本题考查基本不等式的应用，属于基础题. 15．已知向量  3, 6a   ，则与 a  垂直的单位向量的坐标为______________. 【答案】 2 5 5,5 5       或 2 5 5,5 5       【解析】可设坐标为  ,x y ，根据条件建立方程     2 2 3, 6 , 3 6 0 1 x y x y x y          解出即可. 【详解】 设与 a  垂直的单位向量的坐标为 ,x y ， 由题可得     2 2 3, 6 , 3 6 0 1 x y x y x y          ， 解得 2 5 5 5 5 x y     或 2 5 5 5 5 x y       ， 所以与 a  垂直的单位向量的坐标为 2 5 5,5 5       或 2 5 5,5 5       . 故答案为： 2 5 5,5 5       或 2 5 5,5 5       . 【点睛】 本题考查向量垂直的坐标表示，考查向量坐标的计算，属于基础题. 三、双空题 16．学校餐厅每天供应 1050 名学生用餐，每周一有 A，B 两种套餐可供选择.调查表明， 凡是本周一选 A 套餐的，下周一会有 20%改选 B 套餐；而选 B 套餐的，下周一会有 30% 改选 A 套餐.用 na ， nb 分别表示第 n 个周一选 A 套餐的人数和选 B 套餐的人数.第一个 周一选 A 套餐的人数为 1a 人. （1）如果每个周一选 A 套餐人数总相等，则 1a  _____________. （2）若 1 350a  ，则从第______________个周一开始，选 A 套餐人数首次超过选 B 套 餐的人数. 第 10 页 共 16 页 【答案】630 3 【解析】（1）由题可列出递推关系 1 4 3 5 10 + 1050 n n n n n a a b a b       ，利用 1n na a  ，代入 1n  即 可求出； （2）根据递推关系可得出 630na  是首项为 1 630 280a    ，公比为 1 2 的等比数 列，进而求出 na ，再列出不等式即可求出. 【详解】 （1）由题意可得 1 4 3 5 10 + 1050 n n n n n a a b a b       ， 如果每个周一选 A 套餐人数总相等，则 1n na a  ， 则 1 1 1 1 1 4 3 5 10 + 1050 a a b a b      ，解得 1 630a  . （2）由 1 4 3 5 10 + 1050 n n n n n a a b a b       可得  1 4 3 10505 10n n na a a    ， 整理得 1 1 3152n na a   ，则  1 1630 6302n na a    ，  630na  是首项为 1 630 280a    ，公比为 1 2 的等比数列， 11630 280 2 n na          ，即 11630 280 2 n na       ， 令 n na b ，即 1050n na a  ，即 525na  ， 由 11630 280 5252 n      可得 11 3 1 2 8 2 n      ， 1 1n   ，即 2n  ， 故从第 3 个周一开始，选 A 套餐人数首次超过选 B 套餐的人数. 故答案为：630；3. 【点睛】 本题考查数列的应用，属于中档题. 四、解答题 第 11 页 共 16 页 17．为了研究某种菜籽在特定环境下，随时间变化发芽情况，得如下实验数据： 天数t （天） 4 5 6 7 8 发芽个数 y （千个） 2 2.5 4 5.5 6 （1）求 y 关于t 的回归直线方程； （2）利用（1）中的回归直线方程，预测当 10t  时，菜籽发芽个数. 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：      1 2 1 ˆ n i i i n i i t t y y b t t         ， ˆˆa y bt  【答案】（1） ˆ 1.1 2.6y t  ；（2）8.4 千个. 【解析】（1）利用已知数据先求出 t 和 y 的平均数，代入到b  中，得到b  后，再代入到 a  中，而线性回归方程为 y b x a      ，代入所有数据即可得到； （2）将 8t  代入回归直线中即可得到所求. 【详解】 （1）由表中数据计算得 6t  ， ˆ 4y  ，    5 1 11i i i t t y y     ，   5 2 1 10i i t t    ，      1 2 1 ˆ 1.1 n i i i n i i t t y y b t t          ， ˆˆ 2.6a y bt    . 所以，回归方程为 ˆ 1.1 2.6y t  . （2）将 10t  代入（1）的回归方程中得 ˆ 11 2.6 8.4y    . 故预测 10t  时，菜籽发芽个数约为 8.4 千个. 【点睛】 该题主要考查线性回归方程等基础知识，意在考查考生的分析问题解决问题的能力、运 算求解能力，属于简单题目. 18．当 0a  时，解关于 x 的不等式  2 1 3 3 0ax a x    . 【答案】答案见解析. 第 12 页 共 16 页 【解析】将所求不等式变形为  1 3 0ax x   ，对实数 a 的取值进行分类讨论，结 合二次不等式的求解方法可得出原不等式的解集. 【详解】 由  2 1 3 3 0ax a x    ，可得  1 3 0ax x   . ①当 0a  时，原不等式即 3 0x   ，解得 3x  ； ②当 0a  时，  1 3 0ax x   . 方程  1 3 0ax x   的两根为 1 1 0x a    ， 2 3x  . 当 1 3a   时，原不等式即  21 3 03 x   ，即 23 0x   ，解得 xR ； 当 1 03   a 时， 1 3a   ，解原不等式得 1x a   或 3x  ； 当 1 3a   时， 1 3a   ，解原不等式得 3x  或 1x a   . 综上，当 0a  时，原不等式的解集为 3x x  ； 当 1 3a   时，原不等式的解集为 R ； 当 1 03   a 时，原不等式的解集为 3x x  或 1x a    ； 当 1 3a   时，原不等式的解集为 1x x a     或 3x  . 【点睛】 本题考查含参二次不等式的求解，考查分类讨论思想的应用，属于中等题. 19．街道办在小区东、西两区域分别设置 10 个摊位，供群众销售商品.某日街道办统计 摊主的当日利润（单位：元），绘制如下茎叶图. （1）根据茎叶图，计算东区 10 位摊主当日利润的平均数，方差； （2）从当日利润 90 元以上的摊主中，选出 2 位进行经验推介，求选出的 2 位摊主恰好 东、西区域各 1 位的概率. 【答案】（1）平均数是 80，方差是 79.4；（2） 3 5 . 【解析】（1）根据公式求样本的平均数与方差； 第 13 页 共 16 页 （2）东区 2 摊主分设为 A，B，西区 3 摊主分设为 c，d，e. 求出从这 5 位摊主中随机 抽取 2 个包含的基本事件的个数，以及选出的 2 位摊主恰好东、西区域各 1 位包含的基 本事件的个数，利用概率公式即可求解. 【详解】 （1）东区 10 位摊主利润的平均数是 80，方差是            2 2 2 2 2 21 68 80 69 80 75 80 73 80 78 80 80 8010                     2 2 2 289 80 81 80 92 80 95 80 79.4        （2）由题意可知，东区 2 摊主分设为 A，B，西区 3 摊主分设为 c，d，e. 再从这 5 位摊主中随机抽取 2 个，共包含：  ,A B ， ,A c ， ,A d ， ,A e ， ,B c ， ,B d ， ,B e ， ,c d ， ,c e ， ,d e ， 10 种等可能的结果； 其中东西两个区域各 1 位摊主事件包含 ,A c ， ,A d ， ,A e ， ,B c ， ,B d ，  ,B e ，共计 6 种等可能的结果； 由古典概型计算公式可得，选出东、西两个区域各 1 位摊主的概率 6 3 10 5P   . 【点睛】 本题主要考查了由茎叶图求平均值和方差，以及利用古典概率公式求概率，属于中档题. 20．已知 ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c， ABC 的面积 S 满足 2 3 3 S AB AC   . （1）求 A； （2）若 cos cosac b A a B  ，求 ABC 的周长的最大值. 【答案】（1） 60A   ；（2）3. 【解析】（1）由向量数量积公式、 ABC 的面积 S 可求得 A； （2）由 cos cosac b A a B  及正弦定理得 1a  ，再由余弦定理及基本不等式可得答 案. 【详解】 （1） cosAB AC cb A   ， 由已知 2 3 1 sin cos3 2 bc A bc A  ，得 tan 3A  . 第 14 页 共 16 页 因为 0 180A  ，所以 60A   . （2）由题设及正弦定理得 sin sin cos sin cosa C B A A B  ， 所以  sin sina C B A  ，即 sin sina C C ， 由于 0 120C    ， sin 0C  ， 所以 1a  ， 由余弦定理 2 2 2a b c bc   ，得 所以  2 2 21 3 3b c bc b c          ，当且仅当 1b c  时取等号， 解得 2b c  ， 3a b c   ， 即 ABC 的周长的最大值为 3. 【点睛】 本题考查了向量与三角形结合，考查了正弦定理、余弦定理解三角形的问题. 21．已知等差数列 na 的前 n 项和为 nS ，且 1 2 3a a  ， 3 6S  . （1）求数列 na 的通项公式； （2）求数列 12 n n a      的前 n 项和 nT . 【答案】（1） 1 12na n  ；（2） 44 2n n nT   . 【解析】（1）利用等差数列的通项公式和前 n 项和公式,将已知条件转化为关于 1a 和 d 的 方程，解出 1a 和 d ，即可求出通项； （2）由（1）知 1 2 2 2 n n n a n   ，利用乘公比错位相减即可求和. 【详解】 （1）由 3 6S  得， 2 2a  ，代入到 1 2 3a a  得 1 3 2a  ， 1 2d  ， 所以 na 的通项公式为 1 12na n  . （2）由（1）知 1 2 2 2 n n n a n   ， 所以 2 1 3 4 1 2 2 2 2 2n n n n nT       ， 2 3 1 1 3 4 1 2 2 2 2 2 2n n n n nT       . 两式相减得 第 15 页 共 16 页 2 3 1 1 3 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2n n n nT          1 1 1 3 1 1 2 41 22 2 2 2 2n n n n n              所以 44 2n n nT   ， 【点睛】 本题主要考查了求等差数列通项，以及乘公比错位相减求和，属于中档题. 22．如图，某游乐园的平面图呈圆心角为 120°的扇形 AOB ，其两个出入口设置在点 B 及点 C 处，且园内有一条平行于 AO 的小路 CD .已知某人从 C 沿 CD 走到 D 用了 8 分钟，从 D 沿 DB 走到 B 用了 6 分钟.若此人步行的速度为每分钟 50 米. （1）求 CDB△ 的面积； （2）求该扇形的半径OA的长. 【答案】（1）30000 3 平方米；（2）370 米. 【解析】（1）利用三角形的面积公式可得 1 sin2S CD DB CDB    ，代入求解即可. （2）设扇形的半径为 r ，连结 CO ，可得 60CDO   ，利用余弦定理即可求解. 【详解】 （1）由题意 400CD  （米）， 300DB  （米）， 120CDB  ； CDB△ 的面积 1 300 400 sin120 30000 32S       （平方米） 所以 CDB△ 的面积为 30000 3 平方米. （2）设扇形的半径为 r ，连结 CO ， 第 16 页 共 16 页 由题意 60CDO   在 CDO 中， 2 2 2 2 cos60OC CD OD CD OD      ， 即    22 2 1400 300 2 400 300 2r r r        ， 解得 370r  （米） 则该扇形半径OA的长为 370 米. 【点睛】 本题考查了三角形的面积公式、余弦定理解三角形，考查了基本运算求解能力，属于基 础题.