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2020-2021 学年广西南宁市第三十三中学高二上学期开学考
试数学试题
一、单选题
1．角 的终边经过点 (3,4)P ，则 sin ( )
A． 3
4 B． 4
3 C． 3
5 D． 4
5
【答案】D
【解析】先求出 OP ，然后根据三角函数的定义即可得出
【详解】
由点 (3,4)P 得 5OP
所以 4sin 5
=
故选：D
【点睛】
本题考查的是三角函数的定义，属于基础题.
2．已知向量 3, 2a m
， 3 1,6 2b
，且 //a b
r r ，则实数 m （ ）
A．1 B． 3
2
C．2 D． 1
2
【答案】D
【解析】利用向量平行的坐标运算即可得到答案.
【详解】
因为向量 3, 2a m
， 3 1,6 2b
，且 //a b
r r ，
所以 1 3 3 02 2 6m ，即 1
2m ．
故选：D
【点睛】
本题主要考查根据向量平行求参数，同时考查平面向量的坐标运算.
3．直线 3 0x y 的倾斜角为（ ）
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A． 30° B． 45 C． 60 D．135
【答案】B
【解析】斜率 1k ，故倾斜角为 45，选 B.
4．已知向量 a
，b
的夹角为 60°， 3
2a b ， 3b
r
，则 a
（ ）
A．1 B． 3
3
C．3 D．2
【答案】A
【解析】根据 3
2a b ，利用向量的数量积运算结合向量 a
，b
的夹角为 60°， 3b
r
求
解.
【详解】
∵向量 a
，b
的夹角为 60°， 3b
r
，
∴ 3 3cos60 2 2a b b a a ．
∴ 1a
，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查平面向量的数量积运算，属于基础题.
5．某同学在研究性学习中，收集到某制药厂今年前 5 个月甲胶囊生产产量（单位：万
盒）的数据如下表所示：
x （月份） 1 2 3 4 5
y （万盒） 5 5 6 6 8
若 x ， y 线性相关，线性回归方程为 0.7y x a ，则以下判断正确的是（ ）
A． x 增加 1 个单位长度，则 y 一定增加 0.7 个单位长度
B． x 减少 1 个单位长度，则 y 必减少 0.7 个单位长
C．当 6x 时， y 的预测值为8.1万盒
D．线性回归直线 0.7y x a ，经过点 2,6
【答案】C
【解析】通过线性回归方程可以进行预测而不能做出确定的判断，排除 A，B 选项；线
性回归方程一定过样本中心点 ( , )x y
，排除 D 选项；令 6x ，代入方程求 y ，可得 C
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正确．
【详解】
由 ˆ ˆ0.7y x a ，得 x 每增（减）一个单位长度， y 不一定增加（减少）0.7，而是大
约增加（减少）0.7 个单位长度，故选项 A,B 错误；由已知表中的数据，可知
1 2 3 4 5 5 5 6 6 83, 65 5x y ，则回归直线必过点 (3,6) ，故 D 错
误；代入回归直线 ˆ ˆ0.7y x a ，解得 ˆ 3.9a ，即 ˆ 0.7 3.9y x ，令 6x ，解得
ˆy 0.7 6 3.9 8.1 万盒，
故选：C
【点睛】
本题考查了线性回归方程的性质，正确掌握线性回归方程的性质是解题的关键．
6．函数 2sin 2 4xf x
图象的对称轴方程为（ ）
A． 3
8 2
kx k Z B． 8x k k Z
C． 4 2
kx k Z D． 8 2
kx k Z
【答案】D
【解析】根据三角函数 siny x 对称轴方程是 ( )2x k k Z ，可令
2 ( )4 2x k k Z ，即可求解函数 ( )f x 的对称轴方程.
【详解】
由题意，令 2 ( )4 2x k k Z
则 2 ( )4x k k Z
则 ( )8 2
kx k Z 为函数 ( )f x 的对称轴方程.
故选：D.
【点睛】
本题考查 sin( )y A x 型三角函数的对称轴方程问题，属于基础题.
7．某工厂利用随机数表对生产的 600 个零件进行抽样测试，先将 600 个零件进行编号，
编号分别为 001，002， ，599，600.从中抽取 60 个样本，如表提供随机数表的第 4
行到第 6 行：
32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42
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84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04
32 56 78 08 43 67 89 53 35 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45
若从表中第 6 行第 6 列开始向右读取数据，则得到的第 6 个样本编号是（ ）
A．578 B．535 C．522 D．324
【答案】B
【解析】根据随机数表法抽取相应数字，超过 600 和前面重复的去掉．
【详解】
解：根据题意，808 不合适，436，789 不合适，533，577，348，994 不合适，
837 不合适，522，535 为满足条件的第六个数字．
故选： B ．
【点睛】
本题主要考查简单随机抽样中的随机数表法，属于基础题．
8．已知向量 1,2a
r ， 1,0b ， 3,4c
.若 b a c ，则实数 的值为（ ）
A． 1
2 B． 3
5 C． 11
3
D． 3
11
【答案】D
【解析】由题意可得 b a 的坐标，由题意可得 ( ) 0b a c ，代入数据可得关于 的
方程，解之可得．
【详解】
解：由题意 1,2a
r ， 1,0b ， 3,4c
所以 (1 ,2 )b a
( )b a c ， ( ) 0b a c ，
代入数据可得 3(1 ) 4 2 0 ，
解之可得 3
11
故选： D ．
【点睛】
本题考查平面向量数量积的运算，涉及向量的垂直于数量积的关系，属于基础题．
9．若执行如图所示的程序框图输出的结果为 26，则 M 处可填入的条件为（ ）
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A． 31k B． 31k C． 63k D． 15k
【答案】A
【解析】根据循环结构的程序框图,依次算出输出值为 26 时 k 满足的条件,即可得解.
【详解】
根据程序框图可得 1, 0k S= =
所以 1, 3S k
4, 7S k
11, 15S k
26, 31S k
所以当输出结果为 26 时, 31k 为是的条件.且当 31k 时都为否
故 M 处可填入的条件为 31k
故选:A
【点睛】
本题考查了循环结构程序框图的应用,根据输出值分析判断框,属于基础题.
10．在边长为 3 的菱形 ABCD 中，
3DAB ， 2AM MB ，则 DM DB （ ）
A． 17
2 B． 1 C．15
2 D． 9
2
【答案】C
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【解析】画出图形，根据条件得 2 ,3DM AB AD DB AB AD ，然后由
2( ) ( )3DM DB AB AD AB AD
，进行数量积的运算即可．
【详解】
解：如图，
2AM MB ， 2
3AM AB ，
2
3DM AM AD AB AD ，且 DB AB AD ，
又| | | | 3, 3AB AD DAB ，
2( ) ( )3DM DB AB AD AB AD
2 22 5
3 3AB AD AB AD
2 5 1 159 9 3 33 3 2 2
．
故选：C ．
【点睛】
本题考查了向量减法和数乘的几何意义，向量数量积的运算，考查了计算能力，属于基
础题．
11．连掷一枚均匀的骰子两次，所得向上的点数分别为 m ，n ，记t m n ，则下列
说法正确的是（ ）
A．事件“ 5t ”发生的概率为 1
6
B．事件“t 是奇数”与“ m ， n 同为奇数”互为对立事件
C．事件“ 2t ”与“ 3t ”互为互斥事件
D．事件“ 4t 且 6mn ”发生的概率为 1
9
【答案】D
【解析】计算出事件“ 5t ”发生的概率判断 A；根据互斥事件、对立事件的概念判断 B
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和 C，计算出事件“ 4t 且 6mn ”发生的概率判断 D．
【详解】
连掷一枚均匀的骰子两次，基本事件的总数是 6 6 36 ，即 ,m n 的情况有 36 种，事
件“ 5t ”包含基本事件：（1，6），（6，1），共 2 个，所以事件“ 5t ”发生的概率为 1
18
，
故 A 错；
m ， n 同为奇数或同为偶数时，t 是偶数，所以事件“t 是奇数”与“ m ， n 同为奇数”是
互斥事件，不是对立事件，故 B 错；
t 的所有取值为 0，1，2，3，4，5，所以事件“ 2t ”与“ 3t ”既不互斥也不对立，故 C
错；
事件“ 4t 且 6mn ”包含基本事件：（1，5），（1，6），（5，1），（6，1），共 4 个，所
以事件“ 4t 且 6mn ”发生的概率为 4 1
36 9
，故 D 正确．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查古典概型的概率求法，互斥事件与对立事件的概念，还考查了运算求解和
理解辨析的能力，属于基础题.
12．已知点 ,0A m ， ,0B m ，若圆 C： 2 2 6 8 24 0x y x y 上存在点 P，使
得 PA PB ，则实数 m 的最大值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【解析】首先将圆C 配成标准式，求出圆心坐标和半径，则点 P 的轨迹为以 AB 为直径
的圆 2 2 2x y m ，再根据点 P 在圆C 上，则两圆有公共点，由两圆的圆心之间的
距离的范围求出参数 m 的取值范围.
【详解】
解：根据题意，圆 C： 2 2 6 8 24 0x y x y ，即 2 23 4 1x y ，
其圆心为 3,4 ，半径 1r .
AB 的中点为原点 O，点 P 的轨迹为以 AB 为直径的圆 2 2 2x y m ，
若圆 C 上存在点 P ，使得 PA PB ，则两圆有公共点，
又 2 20 3 0 4 5OC ，即有 1 5m 且 1 5m ，解得 4 6m ，
即 6 4m 或 4 6m ，即实数 m 的最大值是6，故选：C
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【点睛】
本题考查由圆与圆的位置关系求出参数的取值范围，属于中档题.
二、填空题
13．经过点 2,1P 且与直线 2 4 0x y 平行的直线方程为______．
【答案】 2 0x y ．
【解析】设经过点 2,1P 且与直线 2 4 0x y 平行的直线方程为 2 0x y c ，然
后将 2,1P 求解.
【详解】
设经过点 2,1P 且与直线 2 4 0x y 平行的直线方程为 2 0x y c ，
把 2,1P 代入，得： 2 2 1 0c ，
解得 0c = ，
∴经过点 2,1P 且与直线 2 4 0x y 平行的直线方程为 2 0x y ．
故答案为： 2 0x y ．
【点睛】
本题主要考查平行直线的求法，属于基础题.
14．若在区间[ ]3,2- 上随机取一个数 x ，则事件“1 2 4x ”发生的概率是______．
【答案】 2
5
【解析】利用指数不等式的解法求得 0 2x ，然后由几何概型的长度类型求解.
【详解】
因为1 2 4x ，
所以 0 2x ，
所以事件“1 2 4x ”发生的概率是
2 0 2
2 3 5
p ，
故答案为： 2
5
【点睛】
本题主要考查几何概型的概率求法以及指数不等式的解法，属于基础题.
15．若圆 1C ： 2 2 0x y ax by c+ + + + = 与圆 2C ： 2 2 4x y 关于直线 2 1y x 对称，
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则 c ______.
【答案】 16
5
【解析】两圆关于直线对称即圆心关于直线对称，则两圆的圆心的连线与直线 2 1y x
垂直且中点在直线 2 1y x 上，圆 1C 的半径也为 2 ，即可求出参数 , ,a b c 的值.
【详解】
解：因为圆 1C ： 2 2 0x y ax by c+ + + + = ，即
2 2 2 2 4
2 2 4
a b a b cx y
骣 骣 + -琪 琪+ + + =琪 琪桫 桫
，
圆心 1
1 1,2 2C a b
，半径
2 2 4
2
a b cr ，
由题意，得 1
1 1,2 2C a b
与 2 0,0C 关于直线 2 1y x 对称，
则
1
12 ,1 2
2
1 1
2 22 1,2 2
b
a
b a
解得 8
5
a ， 4
5b ，圆 1C 的半径
2 2 4 22
a b cr ，
解得 16
5c .
故答案为： 16
5
【点睛】
本题考查圆关于直线对称求参数的值，属于中档题.
16．如图在平行四边形 ABCD 中，E，F 分别为边 CD，AD 的中点连接 AE，BF 交于
点 G.若 AG AB AD ( , )R ，则 ________.
【答案】 3
5
【解析】延长CD，BF交于点H，可得 HFD BFA ， ABG EHG ，从而 2
3
AG
GE
，
根据 2 2 ( )5 5AG AE AD DE 即可求解.
【详解】
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如图延长 CD，BF 交于点 H，
易证 HFD BFA .所以 DH AB .
又易证 ABG EHG .所以
2
1 3
2
AG AB AB
GE HE AB AB
.
则 2 2 ( )5 5AG AE AD DE 2 1 1 2
5 2 5 5AD AB AB AD
.
所以 1
5
， 2
5
， 3
5
.
故答案为： 3
5
【点睛】
本题考查了向量加法的三角形法则以及向量共性定理，属于基础题.
三、解答题
17．已知
2cos cos 32 4cos sin 2
．
（1）求 tan 的值；
（2）若 0 ，且 1tan 3
，求 ．
【答案】（1） 1tan 2
；（2） 3
4
.
【解析】（1）利用诱导公式结合弦化切思想可得出关于 tan 的等式，即可解得 tan 的
值；
（2）利用两角差的正切公式求得 tan 的值，结合角 的取值范围可求得 的值.
【详解】
（1）
2cos cos 3 2sin cos 2sin cos 2tan 12 4cos sin 2 cos sin sin cos tan 1
，
解得 1tan 2
；
（2）由两角差的正切公式得
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1 1
tan tan 2 3tan tan 11 11 tan tan 1 2 3
.
0 ，因此， 3
4
.
【点睛】
本题考查利用诱导公式、弦化切思想求值，同时也考查了利用两角差的正切公式求角，
考查计算能力，属于基础题.
18．某中学要从高一年级甲乙两个班级中选择一个班参加电视台组织的“环保知识竞
赛”，该校对甲乙两班的参赛选手（每班 7 人）进行了一次环保知识测试，他们取得的
成绩（满分 100 分）的茎叶图如图所示，其中甲班学生的平均分是 85，乙班学生成绩
的中位数是 85.
（1）求 x ， y 的值；
（2）根据茎叶图，求甲乙两班同学方差的大小，并从统计学角度分析，该校应选择甲
班还是乙班参赛.
【答案】（1） 9x ， 5y ；（2）乙班成绩比较稳定，故应选乙班参加．
【解析】（1）利用茎叶图，根据甲班 7 名学生成绩的平均分是 85，乙班 7 名学生成绩
的中位数是 85．先求出 x ， y ，
（2）求出乙班平均分，再求出甲班 7 名学生成绩方差和乙班名学生成绩的方差，由此
能求出结果．
【详解】
解：（1）甲班的平均分为： 1 (75 78 80 80 85 92 96) 857 x ；
解得 9x ，
乙班 7 名学生成绩的中位数是 85， 5y ，
（2）乙班平均分为： 1 (75 80 80 85 90 90 95) 857
；
甲班 7 名学生成绩方差 2 2 2 2 2 2 2 2
1
1 360(10 7 5 4 0 7 11 )7 7S ，
乙班名学生成绩的方差 2 2 2 2 2 2 2 2
2
1 300(10 5 5 0 5 5 10 )7 7S ，
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两个班平均分相同， 2 2
2 1S S ，
乙班成绩比较稳定，故应选乙班参加．
【点睛】
本题考查茎叶图的应用，解题时要认真审题，属于基础题．
19．已知直线 1 : 2 1 0l x y ， 2 : 2 8 0l ax y a ， 1 2l l 且垂足为 A ．
（1）求点 A 的坐标；
（2）若圆C 与直线 2l 相切于点 A ，且圆心C 的横坐标为 2，求圆C 的标准方程．
【答案】（1） 1, 3 ；（2） 2 22 5 5x y ．
【解析】（1）根据题意，由直线垂直的判断方法可得 2 2 0a ，解可得 a 的值，即可
得直线 2l 的方程，联立两个直线的方程，解可得 A 的坐标，即可得答案．
（2）根据题意，分析可得圆心C 在直线 1l 上，设C 的坐标为 (2, )b ，将其代入直线 1l 的
方程，计算可得b 的值，即可得圆心的坐标，求出圆的半径，即可得答案．
【详解】
解：（1）根据题意，直线 1 : 2 1 0l x y ， 2 : 2 8 0l ax y a ，
若 1 2l l ，则有 2 2 0a ，解可得 1a ，
则直线 2l 的方程为 2 7 0x y ，即 2 7 0x y ；
联立两直线的方程： 2 1 0
2 7 0
x y
x y
，解可得 1
3
x
y
，即 A 的坐标为 1, 3 ；
（2）根据题意，若圆C 与直线 2l 相切于点 A 且 1 2l l 且垂足为 A ，
则圆心C 在直线 1l 上，设C 的坐标为 2,b ，则有 2 2 1 0b ，解可得 5b ，
则圆心C 的坐标为 2, 5 ，
圆的半径 2 21 2 3 5 5r CA ，
则圆C 的标准方程为 2 22 5 5x y ．
【点睛】
本题考查直线与圆的位置关系，涉及圆的标准方程以及直线垂直的判断，属于基础题．
20．已知向量 cos , 3a x
， 1,sinb x ，函数 1f x a b ．
（1）求函数 f x 的单调递增区间；
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（2）若 2 3g x f x
， ,3 4x
时，求函数 g x 的最值．
【答案】（1） 2 2 , 2 Z3 3k k k
；（2）函数 g x 的最大值、最小值分别
为： 3 1 ， 1 ．
【解析】（1）利用向量的数量积以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式，利用正
弦函数的单调增区间求解即可．
（2）通过 x 的范围求出相位的范围，利用正弦函数的值域求解即可．
【详解】
（1） 1 cos 3sin 1 2sin 16f x a b x x x
．
由 2 22 6 2k x k ， Zk ，
可得 22 23 3k x k ， Zk ，
∴单调递增区间为： 2 2 , 2 Z3 3k k k
．
（2）若 2 2sin 2 13 6g x f x x
．
当 ,3 4x
时， 5 26 6 3x ，
即 31 sin 2 6 2x
，则 1 3 1g x ，
所以函数 g x 的最大值、最小值分别为： 3 1 ， 1 ．
【点睛】
本题主要考查平面向量与三角恒等变换，三角函数的性质的应用，还考查了运算求解的
能力，属于中档题.
21．从某小学随机抽取 100 名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布
直方图（如图）．
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（1）求抽取的学生身高在[120，130）内的人数；
（2）若采用分层抽样的方法从身高在[120，130），[130，140），[140，150]内的学生中
共抽取 6 人，再从中选取 2 人，求身高在[120，130）和[130，140）内各 1 人的概率．
【答案】（1）30；（2） 2
5
．
【解析】（1）根据频率分布直方图求出学生身高在[120，130）内的频率，然后由样本
容量 100 求解.
（2）根据采用分层抽样的方法得到身高在[120，130），[130，140），[140，150]内的学
生数，然后利用古典概型的概率求解.
【详解】
（1）由频率分布直方图得：
学生身高在[120，130）内的频率为： 1 0.005 0.035 0.020 0.010 10 0.3 ，
∴学生身高在[120，130）内的人数为：100 0.3 30 ．
（2）采用分层抽样的方法从身高在[120，130），[130，140），[140，150]内的学生中共
抽取 6 人，
则从[120，130）内的学生中抽取： 0.036 30.03 0.02 0.01
人，
从[130，140）内的学生中抽取： 0.026 20.03 0.02 0.01
人，
从[140，150]内的学生中抽取： 0.016 10.03 0.02 0.01
人，
设[120，130）内的学生为 A，B，C，[130，140）内的学生为 a，b，[140，150] 内的学
生为 c，
所以从 6 人中选取 2 人，基本事件
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, , , , , , , , , , , , , , , , ,A B A C A a A b A c B C B a B b B c A，B，C，
, , , , , , , , , , ,C a C b C c a b a c b c 共 15 种，
身高在[120，130）和[130，140）内各 1 人包含的基本事件
, , , , , , ,A a A b B a B b ， , , ,C a C b 共 6 种，
∴身高在[120，130）和[130，140）内各 1 人的概率 6 2
15 5p ．
【点睛】
本题主要考查频率分布直方图的应用，古典概型概率的求法，还考查了数形结合的思想
和运算求解的能力，属于中档题.
22．已知圆 2 2: 5M x a y 与两条坐标轴都相交，且与直线 2 5 0x y 相切．
（1）求圆 M 的方程；
（2）若动点 A 在直线 5x 上，过 A 引圆 M 的两条切线 AB ， AC ，切点分别为 B ，
C ，求证：直线 BC 恒过定点．
【答案】（1） 2 2 5x y ；（2）证明见解析.
【解析】（1）由圆 M 的方程求得圆心坐标与半径，再由圆心到直线 2 5 0x y 的距
离等于半径求得 a 值即可；
（2）设 5,A m ，写出以 AO 为直径的圆的方程，与圆 M 联立可得公共弦 BC 所在直
线方程，由直线系方程可得直线 BC 恒过定点．
【详解】
（1）圆 M ： 2 2 5x a y 的圆心坐标为 ,0a ，半径为 5 ，
∵圆 M 与直线 2 5 0x y 相切，
∴ 5 5
5
a ，即 0a 或 10a ．
又圆 M 与两条坐标轴都相交，∴ 0a ．
则圆 M 的方程为： 2 2 5x y ；
（2）设 5,A m ，则 A ， B ，O ，C 四点共圆，
AO 的中点为（ 5
2
，
2
m ）， 225AO m ，
则以 AO 为直径的圆的方程为
2 2
25 1 252 2 2
mx y m
，
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整理得： 2 2 5 0x y x my ．
又圆 M ： 2 2 5x y ，
两圆联立可得公共弦 BC 所在直线方程为5 5 0x my ．
∴直线 BC 恒过定点（1，0）．
【点睛】
本题主要考查圆的方程以及圆与圆的公共弦问题，还考查了运算求解的能力，属于中档
题.
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